現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む78

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18(3): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)19:25 ID:ti2BclkQ(1/18) AAS
S5の位数20の部分群
外部ﾘﾝｸ:groupprops.subwiki.org
General affine group:GA(1,5)
(抜粋)
As GA(1,q), q = 5: q(q - 1) = 5(5 - 1) = 20
As holomorph of cyclic group:Z5: |Z5||Aut(Z5)| = 5・4 = 20
As Sz(q), q = 2: q^2(q^2 + 1)(q - 1) = 2^2(2^2 + 1)(2 - 1) = 4・5・1 = 20

Group properties
Function Value
abelian group No
nilpotent group No
metacyclic group Yes
supersolvable group Yes
solvable group Yes
Frobenius group Yes
Camina group Yes

外部ﾘﾝｸ:people.maths.bris.ac.uk
Tim Dokchitser Arithmetic/Algebraic Geometry University of Bristol
外部ﾘﾝｸ[html]:people.maths.bris.ac.uk
G = F5? order 20 = 2^2・5 Frobenius group Tim Dokchitser

外部ﾘﾝｸ:groupprops.subwiki.org
General affine group of degree one
GA(1,K) = K semix K^*
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
アフィン群

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Frobenius group
(抜粋)
In mathematics, a Frobenius group is a transitive permutation group on a finite set, such that no non-trivial element fixes more than one point and some non-trivial element fixes a point. They are named after F. G. Frobenius.

Structure
A subgroup H of a Frobenius group G fixing a point of the set X is called the Frobenius complement.
The identity element together with all elements not in any conjugate of H form a normal subgroup called the Frobenius kernel K.
(This is a theorem due to Frobenius (1901); there is still no proof of this theorem that does not use character theory, although see [1].)
The Frobenius group G is the semidirect product of K and H:
G=K semix H

つづく

19(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)19:25 ID:ti2BclkQ(2/18) AAS
>>18

つづき

(スレ77 2chｽﾚ:math より)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.isc.meiji.ac.jp
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
(抜粋)
P3
S5の部分群
位数20： < (12345), (2354) > S5中の共役な群6個

外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.isc.meiji.ac.jp
2004 年度卒業研究位数 30 以下の群の分類
(抜粋)
P3
位数20 5個；
アーベル：C4 × C5, C2 × C2 × C5 ２個,
非アーベル： C5 semix C4, Q20, D20 ３個
P16
11 位数 20 の群の分類

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
List of small groups
(抜粋)
List of small abelian groups
位数20
51 G202 Z20 = Z5 × Z4 Z10, Z5, Z4, Z2 GroupDiagramMiniC20.svg Cyclic. Product.
54 G205 Z10 × Z2 = Z5 × Z22 Z5, Z2 GroupDiagramMiniC2C10.png Product.

List of small non-abelian groups
位数20
50 G201 Q20 = Dic5 = <5,2,2> GroupDiagramMiniQ20.png Binary dihedral group
52 G203 Z5 semix Z4 GroupDiagramMiniC5semiprodC4.png Frobenius group
53 G204 Dih10 = Dih5 × Z2 = D20 GroupDiagramMiniD20.png Dihedral group, product
(引用終り)
以上

20: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)19:29 ID:ti2BclkQ(3/18) AAS
>>15
おっちゃん、どうも、スレ主です。
真面目なレスありがとう
私に対する誹謗中傷は許す。というか、ひょっとして私の側にも、おっちゃんに対する誹謗中傷があったかも。その場合はご容赦くださいm(＿＿)m

21(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)19:34 ID:ti2BclkQ(4/18) AAS
>>19 追加
＞非アーベル： C5 semix C4, Q20, D20 ３個

S5の位数20の部分群は、
非アーベル： C5 semix C4 （Ｃ5とＣ4の半直積）

（>>18より）
abelian group No
nilpotent group No
metacyclic group Yes
supersolvable group Yes
solvable group Yes
Frobenius group Yes

ということです
おっと、General affine group:GA(1,5) （線形群でもあります）
鈴木群 Sz(q), q = 2: q^2(q^2 + 1)(q - 1) = 2^2(2^2 + 1)(2 - 1) = 4・5・1 = 20 （>>18）
なんだって（＾＾；

22: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)19:40 ID:ti2BclkQ(5/18) AAS
>>21

追加参考
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Suzuki groups
(抜粋)
Constructions
Suzuki
Suzuki (1960) originally constructed the Suzuki groups as subgroups of SL4(F22n+1) generated by certain explicit matrices.

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Suzuki group
(抜粋)
In the mathematical discipline known as group theory, the phrase Suzuki group refers to:
・The Suzuki sporadic group, Suz or Sz is a sporadic simple group of order 213 ・ 37 ・ 52 ・ 7 ・ 11 ・ 13 = 448,345,497,600 discovered by Suzuki in 1969
・One of an infinite family of Suzuki groups of Lie type discovered by Suzuki

23(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)20:26 ID:ti2BclkQ(6/18) AAS
>>16-17
ID:S/ONPb/Gさん、どうも。スレ主です。

>Q上（Q(ζ)上としてもほぼ同じ）の可解5次方程式f(x)=0 は2項5次方程式に帰着するか？

ここ、下記松田　修のべき根拡大定理 61 があるのです
つまり、体 K が 1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして、
べき根拡大　←→ 巡回群
が成立つ

これは、小島寛之のガロア本（下記）の
P208 べき根拡大の定理1と（＝簡単に言えば、べき根拡大ならガロア群は巡回群）
P222 べき根拡大の定理1の逆（＝簡単に言えば、ガロア群が巡回群ならべき根拡大）
と同じです

これ、方程式のガロア理論では、多分頻出です

（参考）
外部ﾘﾝｸ:www.tsuyama-ct.ac.jp
Matsuda’s Web Page 松田　修　
外部ﾘﾝｸ[html]:www.tsuyama-ct.ac.jp
TSUYAMA E-MATH BOOKS
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.tsuyama-ct.ac.jp
PDF ガロア理論を理解しよう Osamu MATSUDA 津山高専 2018/11/16
(抜粋)
P76
10.2 べき根拡大

定理 61
体 K が 1 の原始 n 乗根 ζ （ζ≠ 1 (1 <= r <= n-1), ζn = 1）を含むとする．
(1) L が K の n 次巡回拡大であれば，L = K(α), Irr(α, K) = X^n - a となる α が存在する．
(2) もし L = K(α), α^n = a ∈ K であれば，L は K の巡回拡大である．
証明
略

外部ﾘﾝｸ:gihyo.jp
知の扉
【完全版】天才ガロアの発想力
―対称性と群が明かす方程式の秘密―
著者
小島寛之　著
発売日
2019年7月6日
(抜粋)
2010 年に刊行した『天才ガロアの発想力』を大幅加筆しました。
これまでにないガロアの定理の完全解説本です。

第7章 5次以上の方程式が解けないからくり
ガロアの基本定理1の証明
解けない方程式の「からくり」はこうだ（それなり版証明）
P208 べき根拡大の定理1（＝簡単に言えば、べき根拡大ならガロア群は巡回群）
解ける方程式の「からくり」はこうだ
P222 べき根拡大の定理1の逆（＝簡単に言えば、ガロア群が巡回群ならべき根拡大）

24(3): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)20:47 ID:ti2BclkQ(7/18) AAS
>>23 つづき

もし、体 K に 1 の原始 n 乗根 ζが添加されていない場合は
単純に、「べき根拡大　←→ 巡回群」は言えない
例えば、下記元吉文男
f(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1
のガロア群は、巡回群になるそうです
（詳しくは下記）

（参考）
スレ77 2chｽﾚ:math
外部ﾘﾝｸ[pd]:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
巡回群をガロア群に持つ5次方程式の判別とその解法(数式処理と数学研究への応用)
元吉文男
数理解析研究所講究録 (1990), 722: 17-20
(抜粋)
P17
§1. ガロア群が巡回群かどうかの判定
fのQ上の最小多項式はfであるのでfの 1 根をα としたときにfを Q(α)で因数分解して、
根がすべて分離できれば巡回群である。

P18
§3. 例
f(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1
を解くことにする。α をf(x)=0の根とする。

f(x)=(x-α)h(x,α)
=(x-α)(x-(α^4-4α^2+2))(x-(α^3-3α))(x-(α^2-2))(x-(-α^4-α^3+3α^2+2α-1))
となって因数分解ができ、 fのQでのガロア群が巡回群であることがわかる。

f(x) の代数的解法
上の因数分解から
θ(α)=α^2-2
とする。これより
θ^2(α)=α^4-4α^2+2
θ^3(α)=α^3-3α
θ^4(α)=-α^5-α^4+3α^3+2α-1
となる。
略（原文を見よ）
(実はα はω_{11} を 1 の原始 n 乗根として
α=ω_{11}+ω_{11}^10
と表すことができる。)

25(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)20:57 ID:ti2BclkQ(8/18) AAS
>>23-24 追加

(引用開始)
松田　修のべき根拡大定理 61 があるのです
つまり、体 K が 1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして、
べき根拡大　←→ 巡回群
が成立つ
(引用終り)

なので
１）方程式のガロア理論的の教育というか学習としては、「1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして」考えると
　”べき根拡大　←→ 巡回群”が成立つので、理論的にはすっきりしています
２）>>24 の元吉文男さんなどが研究されているのは（>>17の兵庫教育大学大迎規宏著）もそうかも知れないが
　数式処理等にのせるには、「1 の原始 n 乗根 ζが添加されている」という仮定は、かえってコンピュータの処理に乗せにくい部分があるのでしょう
　数体はQ（実際には整数ベース）として、数式処理の乗せる方が、素直なような気がします
　（数式処理ソフトは、あまり使っていないので、ここは外しているかも知れませんが）

なので、上記１）と２）の立場をうまく使い分けるのが良いと思います

26: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)20:59 ID:ti2BclkQ(9/18) AAS
>>25 タイポ訂正

方程式のガロア理論的の教育というか
　↓
方程式のガロア理論の教育というか

（>>17の兵庫教育大学大迎規宏著）もそうかも知れないが
　↓
（>>17の兵庫教育大学大迎規宏著もそうかも知れないが）

分かると思うが、念のため（＾＾；

27(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)21:31 ID:ti2BclkQ(10/18) AAS
>>25 補足

方程式のガロア理論的の教育というか学習としては
　↓
一般5次方程式のガロア理論的の教育というか学習としては
という意味ね
つまり、2次方程式、3次方程式、4次方程式ときて
果たして、5次方程式（あるいはそれ以上の次数の）に、べき根による根の公式が存在するか否かの問題ってこと

円分体とか、あるいはレムニスケートや楕円の等分点を求める方程式の解法については、
基礎体ｋに、どういう値が添加されているべきかという視点になります

（参考）
外部ﾘﾝｸ:reuler.blo（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾）
日々のつれづれ Author:オイラー研究所の所長高瀬正仁
ガウスの数学日記57　レムニスケート曲線の5等分
2012-06-19
(抜粋)
第62項目の話題はレムニスケート曲線の5等分ですが、ここでガウスが語っているのはただの5等分ではなく、「幾何学的な」5等分です。すなわち、定規とコンパスのみを用いて5等分点を指定することができるという事実です。
定規は直線を引くのに使い、コンパスは円を描くのに使います。直線と円という簡単な図形のみを手持ちにして、複雑な図形を描こうとするところにヨーロッパの数学の顕著な特徴が見られます。
これを代数の言葉に移すと、レムニスケート曲線の5等分方程式（その次数は25になります）の根を平方根のみを用いて表示することができるという言明になります。

62.［レムニスケート曲線］（1797年3月21日）
レムニスケート［曲線］は幾何学的に五つの部分に分けられる。
[1797年]3月21日　[ゲッチンゲン]

つづく

28: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)21:32 ID:ti2BclkQ(11/18) AAS
>>27

つづき

レムニスケート曲線の等分については高木先生の『近世数学史談』にも詳しく紹介されています。この方面のことでしたらファニャノの論文に言及しなければなりませんし、
ファニャノの影響を受けて書かれたオイラーの二論文も重要です。というのは、そこが楕円関数論の源泉だからです。
　ガウスはオイラーの論文は知っていたと思いますが、ファニャノの論文については何も語っていません。
オイラーの論文にはファニャノ名前が出ていますから、ガウスが知らなかったはずはなく、しかもレムニスケート曲線の等分はファニャノの創意です。
オイラーは微分方程式の代数的積分を求めようとする視点からファニャノの研究に注目し、等分そのものには関心を示していません。それにもかかわらずガウスがファニャノを語らないのはいかにも不審です。
　ガウスはレムニスケート曲線の等分問題を公表しませんでしたが、『アリトメチカ研究』の中でごくわずかにヒントを書き留めました。
それを受けてレムニスケート曲線のみならず一般に楕円関数の等分理論を構築したのはアーベルです。
(引用終り)
以上

29: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)21:35 ID:ti2BclkQ(12/18) AAS
>>24 タイポ訂正

外部ﾘﾝｸ[pd]:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
　↓
外部ﾘﾝｸ[pdf]:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp

最後のfが抜けていた（＾＾；

30(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)22:02 ID:ti2BclkQ(13/18) AAS
メモ

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Projective linear group
(抜粋)
PGL(V) = GL(V)/Z(V)
where GL(V) is the general linear group of V and Z(V) is the subgroup of all nonzero scalar transformations of V

PSL(V) = SL(V)/SZ(V)
where SL(V) is the special linear group over V and SZ(V) is the subgroup of scalar transformations with unit determinant.

PGL and PSL are some of the fundamental groups of study, part of the so-called classical groups, and an element of PGL is called projective linear transformation, projective transformation or homography.
If V is the n-dimensional vector space over a field F, namely V = Fn, the alternate notations PGL(n, F) and PSL(n, F) are also used.

there are other exceptional isomorphisms between projective special linear groups and alternating groups (these groups are all simple, as the alternating group over 5 or more letters is simple):

L_2(4) ＝～ A_5
L_2(5) ＝～ A_5 (see here for a proof)

つづく

31: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)22:02 ID:ti2BclkQ(14/18) AAS
>>30

つづき

The groups over F5 have a number of exceptional isomorphisms:

PSL(2, 5) ＝～ A5 ＝～ I, the alternating group on five elements, or equivalently the icosahedral group;
PGL(2, 5) ＝～ S5, the symmetric group on five elements;
SL(2, 5) ＝～ 2 ・ A5 ＝～ 2I the double cover of the alternating group A5, or equivalently the binary icosahedral group.

They can also be used to give a construction of an exotic map S5 → S6, as described below. Note however that GL(2, 5) is not a double cover of S5, but is rather a 4-fold cover.

・PSL(2, 4) = PGL(2, 4) → S5, of order 60, yielding the alternating group A5.
・PSL(2, 5) < PGL(2, 5) → S6, of orders 60 and 120, which yields an embedding of S5 (respectively, A5) as a transitive subgroup of S6 (respectively, A6).
This is an example of an exotic map S5 → S6, and can be used to construct the exceptional outer automorphism of S6.[6]
Note that the isomorphism PGL(2, 5) ＝～ S5 is not transparent from this presentation: there is no particularly natural set of 5 elements on which PGL(2, 5) acts.

・L_2(5) ＝～ A_5. To construct such an isomorphism, one needs to consider the group L2(5) as a Galois group of a Galois cover a5: X(5) → X(1) = P1,
(引用終り)
以上

32(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)23:27 ID:ti2BclkQ(15/18) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
中心化群と正規化群
(抜粋)
群 G の部分集合 S の中心化群とは、S の各元と可換な G の元全体からなる集合であり、S の正規化群とは、「全体で」S と可換な G の元全体からなる集合である。S の中心化群と正規化群は G の部分群であり、G の構造について知る手掛かりを得られる。

（正規化群）
中心化群の定義と似ているが同じではない。g が S の中心化群の元で s が S の元であれば、gs = sg でなければならないが、g が正規化群の元であれば、s とは異なってもよい t ∈ S に対して gs = tg である。

性質
下記の性質は Isaacs 2009, Chapters 1?3 による。
・S の中心化群と正規化群はともに G の部分群である。
・明らかに、CG(S) ⊆ NG(S) である。実は、CG(S) は必ず NG(S) の正規部分群である。
・CG(CG(S)) は S を含むが、CG(S) は S を含むとは限らない。S のすべての元 s, t に対して st = ts であれば含む。なので・もちろん H が G の可換な部分群であれば CG(H) は H を含む。
・S が G の部分半群であれば、NG(S) は S を含む。
・H が G の部分群であれば、H を正規部分群として含むような最大の G の部分群が NG(H) である。
・元 a ∈ G の属する共役類の大きさと中心化群の指数 [G : CG(a)] は等しい。
・群 G の部分群 H と共役な部分群の数と正規化群の指数 [G : NG(H)] は等しい。
・G の部分群 H は、NG(H) = H であるときに、G の自己正規化部分群と呼ばれる。
・G の中心はちょうど CG(G) であり、G がアーベル群であることと CG(G) = Z(G) = G は同値である。
・単集合に対して、CG(a) = NG(a) である。
・対称性により、S と T が G の 2 つの部分集合であれば、T ⊆ CG(S) と S ⊆ CG(T) は同値である。
・群 G の部分群 H に対して、N/C定理は、剰余群 NG(H)/CG(H) は H の自己同型群 Aut(H) の部分群に同型であるという定理である。NG(G) = G および CG(G) = Z(G) であるから、N/C theorem は、G/Z(G) は、G のすべての内部自己同型からなる、Aut(G) の部分群 Inn(G) に同型であるということも意味している。

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Centralizer and normalizer

33: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)23:33 ID:ti2BclkQ(16/18) AAS
>>32 追加
＞中心化群と正規化群

これ、>>17の大迎規宏で”正規化群”が出てくるので、調べた

外部ﾘﾝｸ[pdf]:repository.hyogo-u.ac.jp
PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学大迎規宏著

34(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)23:49 ID:ti2BclkQ(17/18) AAS
メモ
成川淳（なるかわあつし）
”[4] 群と群から群を作る話
　群の直積・半直積を包括する bicrossed product という概念について紹介しています。左作用・右作用が同等に扱われる定義が美しいです。”
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ac.cyberhome.ne.jp
群と群から群を作る話
成川淳（なるかわあつし）
(抜粋)
数学の世界ではしばしば、2 つの群から 1 つの群を作る場面があります。方法としては、
「直積」という概念が最も自然で、最も頻繁に見かけるのですが、少し複雑な「半直積」とい
う概念も頻繁に見かけます。しかし、半直積の定義は 2 つの群それぞれの役割が非対称で、
気持ち悪いなという印象が私にはありました。その気持ち悪さを解消し、直積・半直積を包
括する概念として、群の Bicrossed Product というものがあります。この概念を知って感心
した覚えがあるので、ここで紹介することにしました。本稿では群の定義と直積の定義は省
略して、作用という概念の紹介から話を進めます。

5 最後に
私は半直積という非対称な概念が嫌いでした。しかし、一度 Bicrossed Product という概
念を知り、対称性の高さに感心しつつも厳しい条件 (11)-(14) を考えると、逆に半直積の有
用性が理解できました。半直積が素晴らしいのは、(13) が退化した (5) が「準同型」という
扱いやすい性質だからです。逆に (5) を仮定するためには、H の K への右作用が自明でな
ければなりません。つまり、半直積は二項演算としての対称性を犠牲にしつつも、扱いやす
い別の対称性を構成する手段と言えます。実用的ではなさそうな群の Bicrossed Product で
すが、半直積の特殊性を浮き彫りにできるだけでも、価値のある概念だと私は思います。
(引用終り)

つづく

35: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/19(土)23:50 ID:ti2BclkQ(18/18) AAS
>>34

つづき

外部ﾘﾝｸ[html]:www.ac.cyberhome.ne.jp
成川淳の文書集へようこそ！
(抜粋)
純粋数学関連の文書
外部ﾘﾝｸ:arxiv.org
[1] The modular properties and the integral representations of the multiple elliptic gamma functions (Advances in Math. 189 (2) (2004) 247-267,math.QA/0306164).
　修士論文を英訳したものです。テータ関数のモジュラー変換式を、多重楕円ガンマ関数の性質として一般化するとともに、多重サイン関数との関係を明らかにしています。著名な数学者、物理学者（黒川信重氏、カムラン・バッファ氏等）にも参照されているようです。
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ac.cyberhome.ne.jp
[2] 多重化展覧会
　ゼータ関数、ガンマ関数、サイン関数、対数関数、ベルヌーイ多項式、テータ関数の多重化の概念を紹介するとともに、私の学生時代の研究結果を紹介しています。
(引用終り)
以上

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