[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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259(2): 2019/10/27(日)10:01 ID:ek6S6+eD(1/9) AAS
K/kを有限次ガロア拡大とすると任意のαに対してK(α)/k(α)もガロア拡大で
Gal(K(α)/k(α))=Gal(K/K∩k(α)).
もしK∩k(α)=kであれば、Gal(K(α)/k(α))=Gal(K/k).
（そしてほとんどのαに対しては、K∩k(α)=kだろう。）
つまり小さい基礎体で与えられたガロア群を持つ拡大の存在が言えれば
それを拡大しても際限なく同じガロア群を持つ拡大が得られる。
それで「小さい基礎体上で構成した方が価値が高い」
という考えが生まれ、「Q上で構成する」という問題意識が生まれたのではなかろうか？
しかし、もしQ上で存在しない解があるとすれば、そもそも問題設定が人工的だったことになる。
Wikipedia で非存在が予想(?)されている例は
PSL(2,16)ではなくPSL(2,16):2という位数8160の群ですね。
これは S_17の部分群で、17個の元に推移的に作用する群。
260(2): 2019/10/27(日)10:16 ID:ek6S6+eD(2/9) AAS
ラングランズだとか非可換類体論だとか散々言い古されてきた話ですね。
このような問題を最も熱心に発展させてきた数学者こそ最近亡くなられた志村五郎氏。
約60年前の論説
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
には、気鋭の数学者の問題意識・見通しが書かれてある。
しかし、志村氏のちくまの本に書いてあったと思うが、単にアーベル拡大であっても
構成はそんなにうまくはいかない、問題も自然じゃないから「すべて」には拘らなくなったとのこと。
そもそも最も心血を注いできた問題にはラングランズの名が冠されている
（その経緯など詳しいことは知らないが）いわばおいしいところを
持っていかれた形であり、それは今後ラングランズ・プログラムを完成させることになる
研究者にしても同じだろう。
自分の先生は、「ラングランズなんて」「あんなセンスのない数学者」「見た目は立派だが」
みたいに悪印象で語っていた笑
272(4): 2019/10/27(日)12:44 ID:ek6S6+eD(3/9) AAS
スレ主さんは貼りまくってるけど
「正規部分群を理解していない」「円分体のガロア群を誤解している」
「ガロアの基本定理さえ理解していない」という話が出てますね。
まずは基礎からでしょう。それをやらずに高度な話を試みても虚しいでしょ？
>>243では4大トンデモスレの一つに認定されちゃってますよ。
287(1): 2019/10/27(日)20:42 ID:ek6S6+eD(4/9) AAS
>>259
>Wikipedia で非存在が予想(?)されている例は
よく読んだら
"known to be realizable over Q"
の否定だから、非存在を予想してるわけじゃなくて
「多分、（現時点で計算上）存在が知られていない」
くらいの意味でしょうかね。
失礼しました。m(__)m
もともとスレ主が言い始めた話ですけどね。
289(2): 2019/10/27(日)20:57 ID:ek6S6+eD(5/9) AAS
いやでも may not be realizable の意味なら、非存在を予想してるのかな？
290: 2019/10/27(日)21:01 ID:ek6S6+eD(6/9) AAS
>>288
どう思われます？
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
292(1): 2019/10/27(日)21:06 ID:ek6S6+eD(7/9) AAS
非存在が証明できれば結構な論文にはなりますね。
多分、もう誰か挑戦してるかもしれませんが。
クロネッカーウェーバーの定理の証明は読まされたことありますが
分岐素数の集合が持つべき性質から拡大体が限定される
（円分体と一致せざるを得ない）というような
精密な議論を要するかなり大変な証明でしたよ。
非存在を証明するというのも、同じような、それ以上の
大変な証明になるのでは。
294: 2019/10/27(日)21:12 ID:ek6S6+eD(8/9) AAS
わたしは脱ガロア理論で行こうと思います。
ガロア理論を使って導ける ガロア理論を使わなくても導ける
ことがあるとして、それは結局背後ではつながってるのだろうけど
使わない側から接近した方がいいことだってあるかもしれない。
295(1): 2019/10/27(日)22:10 ID:ek6S6+eD(9/9) AAS
簡単な例を一つ挙げますか。
ピタゴラス三角形（a^2+b^2=c^2をみたす整数辺を持つ直角三角形）
の鋭角が無理数度であることは
(a/c+bi/c)^n=1をみたす自然数nが存在するような
a/c+bi/c∈Q(i)は(1の4乗根を除いては）存在しない
ということと同値で、それは円分体のガロア群の計算から導ける
ということを半年くらい前に書きましたが
考えてみるともっと単純に、1のn乗根は代数的整数だが
a/c+bi/cは代数的整数ではない、ということだけから分かることですね。
既約分数の形にしたとき分母に自明でないイデアルが現れるので、いくらかけても消えようがない。
背後ではどうつながってるのか？
円分体のガロア群の計算には円分多項式のQ上での既約性を使いますが
その証明にはEisensteinの規準を使い
それは結局整数性・素数の性質を使っている
という点でつながってると言えるだろう。
つまらなかったらすみません。
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