[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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645(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)05:55 ID:aIAMZK1h(1/39) AAS
>>638-644
おサル
取り繕うのに深夜まで必死
狼狽が透けて見えるぜｗ（＾＾
646(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)06:01 ID:aIAMZK1h(2/39) AAS
>>639-640
仏では、数学者から政治家で大を成した人がいる
照明（証明？ｗ）がないと、一歩も進めない人がいる。そういう人には、政治はできない
政治は、理屈・理論通りの部分と、理屈・理論通りでない部分と両方あるからね
あと、直観やひらめきの無い人は、だめだな。実生活では使えないｗ（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
セドリック・パトリス・ティエリ・ヴィラニ（Cedric Patrice Thierry Villani、1973年10月5日 -）はフランスの数学者、政治家。
ボルツマン方程式とランダウ減衰に関する研究の成果により、2010年にフィールズ賞を授与された。2017年フランス議会総選挙で当選し、国民議会の議員を務めている。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ポール・パンルヴェ（Paul Painleve, 1863年12月5日 - 1933年10月29日）は、フランスの数学者、政治家。
パンルヴェは共和主義社会党から政界に入り、1917年と1925年に首相に選ばれるなどし、数学から離れていった。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
エミール・ボレル (Felix Edouard Justin Emile Borel, 1871年1月7日-1956年2月3日) は、フランスの数学者、政治家。ボレル測度などで知られ、アンリ・ルベーグとともに測度論の先駆者となった。
1924年 - 下院議員(-1936年)
1925年 - 海軍大臣(-1940年)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ピエール＝シモン・ラプラス（Pierre-Simon Laplace, 1749年3月23日 - 1827年3月5日）は、フランスの数学者、物理学者、天文学者。
ラプラスは政治家としても活動している。1799年、ナポレオン・ボナパルトの統領政府で1ヵ月余の短期間ながら内務大臣に登用され、元老院議員となり、王政復古後はルイ18世の下で貴族院議員となった。
つづく
647: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)06:02 ID:aIAMZK1h(3/39) AAS
>>646
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ジャン・バティスト・ジョゼフ・フーリエ男爵（Jean Baptiste Joseph Fourier, Baron de、1768年3月21日 - 1830年5月16日）は、フランスの数学者・物理学者。
フランスに帰国したフーリエは、エジプト遠征中に発揮した行政・外交手腕をナポレオンに認められ、1802年1月2日にイゼール県知事に任命された。
知事としては、革命後悪化していた治安の回復、トリノへの道路の建設、ブルゴア沼沢地の干拓、マラリアの一掃などといった事業を行なった。
これらの功績を称えられ、1808年に彼は皇帝に即位していたナポレオンによって男爵に叙された。
(引用終り)
以上
649(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)06:49 ID:aIAMZK1h(4/39) AAS
>>607
>モノドロミーで、GL(n, C)が出てくるよ（＾＾
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
モノドロミー
脚注
2 ^ V.P. Kostov (2004), “The Deligne?Simpson problem ? a survey”, J. Algebra 281 (1): 83?108, doi:10.1016/j.jalgebra.2004.07.013, MR2091962 and the references therein.
V.P. Kostov / Journal of Algebra 281 (2004) 83?108
The Deligne?Simpson problem?a survey
Vladimir Petrov Kostov
Universite de Nice?Sophia Antipolis, Laboratoire de Mathematiques,
Parc Valrose, 06108 Nice cedex 2, France
Received 18 September 2002
Available online 3 September 2004
(抜粋)
1. Introduction
1.1. Regular and Fuchsian linear systems on Riemann’s sphere
The problem which is the subject of this paper admits a purely algebraic formulation.
Yet its importance lies in the analytic theory of systems of linear differential equations, this
is why we start by considering the linear system of ordinary differential equations defined
on Riemann’s sphere:
dX/dt = A(t)X. (1)
Here the n × n-matrix A is meromorphic on CP1, with poles at a1, . . . ,ap+1; the dependent
variables X form an n×n-matrix.Without loss of generality we assume that∞is not
among the poles aj and not a pole of the 1-form A(t) dt . In modern literature (see, e.g.,
[18]) the terminology of meromorphic connections and sections is often preferred to the
one of meromorphic linear systems and their solutions and there is a 1?1-correspondence
between the two languages.
つづく
650: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)06:50 ID:aIAMZK1h(5/39) AAS
>>649
つづき
This transformation preserves regularity but, in general, it does not preserve being Fuchsian.
The only invariant under the group of linear transformations (5) is the monodromy
group of the system.
Set Σ := CP1\{a1, . . . ,ap+1}. To define the monodromy group one has to fix a base
point a0 ∈ Σ and a matrix B ∈ GL(n,C). The monodromy group is defined only up to
conjugacy due to the freedom to choose a0 and B.
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Notes
2 V. P. Kostov (2004), "The Deligne?Simpson problem ? a survey", J. Algebra, 281 (1): 83?108, arXiv:math/0206298, doi:10.1016/j.jalgebra.2004.07.013, MR 2091962 and the references therein.
（上記と５章が微妙に違うな）
外部ﾘﾝｸ:arxiv.org
The Deligne-Simpson problem -- a survey
Vladimir Petrov Kostov
(Submitted on 27 Jun 2002)
The Deligne-Simpson problem (DSP) (resp. the weak DSP) is formulated like this:
{\em give necessary and sufficient conditions for the choice of the conjugacy classes Cj⊂GL(n,C) or cj⊂gl(n,C) so that there exist irreducible (resp. with trivial centralizer) (p+1)-tuples of matrices Mj∈Cj or Aj∈cj satisfying the equality M1...Mp+1=I or A1+...+Ap+1=0}.
The matrices Mj and Aj are interpreted as monodromy operators of regular linear systems and as matrices-residua of Fuchsian ones on Riemann's sphere.
The present paper offers a survey of the results known up to now concerning the DSP.
外部ﾘﾝｸ[pdf]:arxiv.org
以上
651: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)06:54 ID:aIAMZK1h(6/39) AAS
>>649
URL追加
外部ﾘﾝｸ:www.sciencedirect.com
Journal of Algebra
Volume 281, Issue 1, 1 November 2004, Pages 83-108
Journal of Algebra
The Deligne?Simpson problem?a survey
To the memory of my mother
Author links open overlay panelVladimir PetrovKostov
Show more
外部ﾘﾝｸ:doi.org rights and content
Under an Elsevier user license
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.sciencedirect.com
Download full text in PDF
656: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)07:51 ID:aIAMZK1h(7/39) AAS
数学関係ないけど
アマゾンミュージックに入っていたから（＾＾；
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
一首好聽的日語歌??《君はロックを聴かない 》あいみょん(Love Music 2017) 現場版（中文字幕）
9,726,113 回視聴?2018/07/15
チョコプリン
1 年前
生歌でこのクオリティはすごいと思う さすが路上から這い上がってきた実力派シンガー
SCP-1048ビルダー・ベア
10 か月前
路上から紅白へ。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
あいみょん
2017年
8月2日、3rdシングル「君はロックを聴かない」をリリース。
全国AM/FMラジオ計42局で8月度のパワープレイ/ヘビーローテーションを獲得し、獲得数の記録を4年3か月ぶりに更新した[20]。
2018年
12月31日、第69回NHK紅白歌合戦に初出場。
その選考理由について番組のチーフプロデューサー渋谷義人は、
「配信で人気。10代、20代の方の“デジタルネイティブ”と言われている世代に人気で、今年の活躍が顕著」であると述べている[22]。
本番では「マリーゴールド」を歌唱した[23]。
657(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)07:59 ID:aIAMZK1h(8/39) AAS
>>652
＞何わけわかんないこといってるんだろ
（>>645より 取り繕うのに深夜まで必死 狼狽が透けて見えるぜｗ（＾＾）
>>638 ：2019/11/08(金) 21:34:21.34 ID:68h7hXxU [14/17]
>>639 ：2019/11/08(金) 21:37:07.78 ID:68h7hXxU [15/17]
>>640 ：2019/11/08(金) 21:38:43.60 ID:68h7hXxU [16/17]
>>641 ：2019/11/08(金) 21:40:40.62 ID:68h7hXxU [17/17]
>>642 ：2019/11/08(金) 00:12:50.76 ID:25Bp2G/U [1/4]
>>643 ：2019/11/08(金) 00:16:52.60 ID:25Bp2G/U [2/4]
>>644 ：2019/11/08(金) 00:21:52.42 ID:25Bp2G/U [3/4]
まあ、深夜におよぶ必死の7連投、ごくろうさんってことよｗ（＾＾
704(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)14:53 ID:aIAMZK1h(9/39) AAS
外部ﾘﾝｸ:hyoshihara.web.fc2.com
pdate 2019.11.01,
The revised version of "Text of Galois Point" is uploaded.
We state the outline of concept of Galois point and Galois embedding. Then we
present the results of related research and make questions public on the internet.
What is Galois point?
Open Questions
Workshop
Symposium
Text of Galois Point
Report, abstract, preprint, ...
Links
外部ﾘﾝｸ[pdf]:hyoshihara.web.fc2.com
Text of Galois Point
ガロア点理論入門 2018 年 12 月 17 日
深澤 知, 東根 一樹
1 本書の概要
本書は「平面曲線のガロア点」に関する入門書であり, ガロア点研究に取り組むために
必要な事項についてまとめている. 2 つの研究レベルに対応して 2 つの目的がある. 第一
の目的はガロア点を研究する最低条件, つまり「ガロア点の定義」に少ない知識でたどり
着くことである. 第二の目的は, ガロア点研究の第一線に立つために必要な (かつミニマム
な) 知識を網羅することである. 第一の目的は前半部 (2, 3 章) で達成され, 深澤の山形大
学大学院での講義ノートが基になっている. 第二の目的は後半部 (4, 5 章) で達成され, 第
2 著者である東根一樹君の修士論文 [9] を基にしている.
平面曲線のガロア点とは, 射影平面内の「点」からの射影により誘導される関数体の拡
大がガロア拡大となるときに, その射影の中心点のことを言う. この概念は, 代数多様体の
関数体の研究を目的に, 1996 年に吉原久夫氏により導入された. ガロア点の魅力はたくさ
んあるが例えば, ガロア点理論の基本問題「ガロア点はいくつあるか？」という問題は面
白そうだ, と即座に理解していただけるのではないだろうか.
つづく
705(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)14:54 ID:aIAMZK1h(10/39) AAS
>>704
つづき
6 おわりに: 実際に研究するに当たって
本書の前半部を終えた読者は, 例えば「4 次平面曲線の外ガロア点」「5 次平面曲線の内
ガロア点」を研究することができる. 本書により射影を計算できるため, 後はガロアかど
うかの判定をすれば良いわけであるが, その拡大が 4 次であれば, それを判定する手段は
ガロア理論の多くのテキストに掲載されている. 実際に, これまでの深澤研究室の修了生
のうち数名がこれらの内容で修士論文を書いた.
本書の後半部まで終えられた読者は, ガロア点研究を行える知識を概ね得ていると言え
る. ガロア点配置を特定するにはガロア被覆の基本的な性質 (定理 4.7.11) が有効である.
このなかの「分岐が整う」という性質を使ってガロア点の位置を特定する作業は「ガロア
点研究の感覚」を養うのに役立つ. 本書では「ガロア点を 2 つ登場させる」という結果
を紹介し,「それ以外にない」という結果に Weierstrass 点を使った議論を紹介している.
「それ以外にない」という方向で本書で述べ切れていない可能性があるのは,「変曲点の個
数上限」だけである. 多くの場合, ガロア点一つに対して変曲点がたくさん必要となるた
め, この上限は大変便利である. 変曲点に関しては, [22] を参考にするとよい.
ガロア点の未解決問題集 [27] には 70 問近くの問題が掲載されているので, 一読をお薦
めする. この問題集の中のどれかを解ければ, 論文にできるであろう.
主観ではあるが, ガロア点理論の発展として「標数零において, 内ガロア点は最大で 4
個, 外ガロア点は最大で 3 個」という予想が解かれることが大変重要であると思う. 問題
の解決自体もそうであるが, それ以上に, 解かれる過程で良いアイデアや手法が提案され,
それが確立されることが望ましい. 現在でも良い手法が揃ってきており, 個人的には遅く
とも 2026 年頃には解かれるのではないかと予想している. 一方, もし読者が「変曲点」や
「Weierstrass 点」以外のテクニックを使って, ガロア点の個数を確定できたならば, それ
は新たな手法を見つけられた可能性が高い. むしろそのような新発見が, ガロア点理論の
発展には必要かもしれない. 挑戦を求む!
つづく
706: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)14:54 ID:aIAMZK1h(11/39) AAS
>>705
つづき
他には「ガロア点による自己同型が射影変換に拡張される」という定理も必要だ, とい
う方もいらっしゃるかもしれない. 但しこれが保証されるのは「非特異平面曲線」に限定
される. 非特異平面曲線についてはガロア点の基本問題は解決されているので, これを敢
えて網羅した命題群の中に入れなかった. しかしながらその基本問題解決の証明は, ガロ
ア点研究の根幹をなすものであり, ガロア点理論を語る上で本当はとても重要である.
文責: 深澤 知
(引用終り)
以上
707(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)14:57 ID:aIAMZK1h(12/39) AAS
>>659
＞わたしとID:68h7hXxU氏は別人ですよ。
＞自分を批判する人間がみんな同じに見えるのは病気。
さあな
なりすましかも
名無しさんで出没するなら、他人と間違われてもしかたないよ
そういう定義でしょ（＾＾
708(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)15:07 ID:aIAMZK1h(13/39) AAS
>>668
＞パズルゲームで楽しむ写像類群入門
その本買った（＾＾
あまり勉強しなかったがね（＾＾；
711(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)15:17 ID:aIAMZK1h(14/39) AAS
有限位数の射影平面
”既に説明したように、各素数冪 p^n に対して同位数の射影平面が存在する。事実として、「知られている」全ての有限射影平面はその位数が素数冪である。
それ以外の位数についても有限射影平面が存在するかどうかというのは、未解決の問題である。
位数に関する一般的な制限として知られているのは、位数 N が法 4 に関して 1 または 2 と合同ならば、それは二つの平方数の和にならなければいけないというブルック＝ライザー＝チョウラの定理である。
これにより N = 6 が除外できる。次の場合は N = 10 が、大規模計算機の計算により除外された。それ以上の場合については知られていない（特に N = 12 も未解決である）。
射影平面の分類は全然終わっていない。いくつかの結果を位数の順に以下に示す。
・10 : この位数の射影平面は存在しない（計算機による膨大な計算の結果として証明された）。
・11 : すくなくとも PG(2,11) が挙げられる。他は知られていないが可能性はある。
・12 : この位数の射影平面は存在しないと予想されているが証明はされていない。”
ガロア逆問題に似ているね（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
射影平面
線型代数学的な定義
例
・K として実数体 R を取れば、実射影平面 RP2 が生じる。これは位相幾何学において、向きを持たない実二次元の多様体の基本的な例を与えるものである[4]。
・K として複素数体 C を取れば、複素射影平面 CP2 が生じる。これは複素二次元の閉多様体であり、従って向きを持つ実四次元の多様体である。他の体上の射影平面ともども代数幾何学の基本的な例を与える[5]。
・四元射影平面もまた別な意義を持つ対象である。ケーリー平面は八元数環上の射影平面と考えられるが、八元数環が斜体を成さないため、きちんとした構成を十分に記述することはできない[3]。
・K として位数 p n の有限体を取れば、p^2n + p^n + 1 個の点を持つ射影平面が得られる。後述するファノ平面は p n = 2 とした場合にあたる。
組合せ論的な定義
より一般な組合せ論的定義によれば、射影平面は直線の集合と点の集合から成り、点と直線との間の結合あるいは接続 (incidence) と呼ばれる以下のような性質を持つ関係を備えるものである。
つづく
712(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)15:18 ID:aIAMZK1h(15/39) AAS
>>711
つづき
任意の異なる二点に対し、それらを接続する直線がただ一つ存在する。
任意の異なる二直線に対し、それらのいずれとも接続する点がただ一つ存在する。
平面上の四点で、そのうちの二点よりも多くに接続するような直線は一つも存在しない、というものが存在する。
条件2は平行線が存在しないことを意味する。また条件3は退化する場合（後述）を除くためだけにある。
性質
射影平面においては、それが含む直線の数と点の数とが同じであることを示すことができる（有限でも無限でも）。有限射影平面は
N^2 + N + 1 個の点と、
N^2 + N + 1 本の直線を持ち、
各直線上に N + 1 個の点が載っていて、
各点を N + 1 本の直線が通る。
ここで、N >= 2 は射影平面の位数 (order) と呼ばれる整数である（有限幾何学も参照）。
前節に述べたような線型代数学的定義から生じる射影平面はどれも、本節に言う組合せ論的な定義に基づく射影平面として記述することができる。従って、位数 p^n の有限体から、位数 N = p^n の射影平面を与えることができる。
有限位数の存在
既に説明したように、各素数冪 p^n に対して同位数の射影平面が存在する。事実として、「知られている」全ての有限射影平面はその位数が素数冪である。
それ以外の位数についても有限射影平面が存在するかどうかというのは、未解決の問題である。
位数に関する一般的な制限として知られているのは、位数 N が法 4 に関して 1 または 2 と合同ならば、それは二つの平方数の和にならなければいけないというブルック＝ライザー＝チョウラの定理である。
これにより N = 6 が除外できる。次の場合は N = 10 が、大規模計算機の計算により除外された。それ以上の場合については知られていない（特に N = 12 も未解決である）。
射影平面の分類は全然終わっていない。いくつかの結果を位数の順に以下に示す。
つづく
713: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)15:18 ID:aIAMZK1h(16/39) AAS
>>712
つづき
・2 : 全て PG(2,2) に同型
・3 : 全て PG(2,3) に同型
・4 : 全て PG(2,4) に同型
・5 : 全て PG(2,5) に同型
・6 : この位数の射影平面は存在しない（オイラーの士官36人の問題（英語版）として、タリーにより示された）。
・7 : 全て PG(2,7) に同型
・8 : 全て PG(2,8) に同型
・9 : PG(2,9) および三種類の異なる（同型でない）非デザルグ平面
・10 : この位数の射影平面は存在しない（計算機による膨大な計算の結果として証明された）。
・11 : すくなくとも PG(2,11) が挙げられる。他は知られていないが可能性はある。
・12 : この位数の射影平面は存在しないと予想されているが証明はされていない。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Projective plane
The archetypical example is the real projective plane, also known as the extended Euclidean plane.[1]
This example, in slightly different guises, is important in algebraic geometry, topology and projective geometry where it may be denoted variously by PG(2, R), RP^2, or P2(R), among other notations.
There are many other projective planes, both infinite, such as the complex projective plane, and finite, such as the Fano plane.
A projective plane is a 2-dimensional projective space, but not all projective planes can be embedded in 3-dimensional projective spaces.
Such embeddability is a consequence of a property known as Desargues' theorem, not shared by all projective planes.
(引用終り)
以上
715(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)15:23 ID:aIAMZK1h(17/39) AAS
>>484
いまごろですが（＾＾
”射影変換群
一般線形群 GL(n + 1, K) はベクトル空間 V = Kn+1 に原点を固定して作用し、原点を通る直線を原点を通る直線に写すので、射影空間 KPn には GL(n + 1, K) が作用する。”
ってことね（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
射影空間
射影空間（しゃえいくうかん、projective space） とは、その次元が n であるとき、(n + 1)個の「数」の比全体からなる空間の事をさす。
比を構成する「数」をどんな体（あるいは環）にとるかによって様々な空間が得られる。
非ユークリッド幾何学のひとつである射影幾何学がその概念の端緒であるが、射影空間は位相幾何学、微分幾何学、代数幾何学など幾何学のあらゆる分野にわたって非常に重要な概念である。
目次
1 定義
2 多様体の構造
3 コンパクト性
4 モジュライ空間としての射影空間
5 射影変換群
6 超平面と双対射影空間
7 斉次座標環とスキーム論的定義
8 フビニ・スタディ計量
9 射影空間の位相
10 脚注
11 参考文献
定義
K が実数体 R や複素数体 C など位相体であるとき、その積位相から定まる Kn+1 \ {0} の位相の商位相でもってKPnは自然に位相空間になる。
ベクトル空間 Kn+1 の座標をひとつ定めると、射影空間の点を比として表す表し方 [x0 : x1 : ... : xn] がひとつ定まる。これを射影空間の斉次座標（あるいは同次座標; homogeneous coordinate）と呼ぶ。
つづく
717: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)15:23 ID:aIAMZK1h(18/39) AAS
>>715
つづき
多様体の構造
射影空間の概念は純粋に代数的であり非常に標準的であるため、適切な枠組みを用いる事によって、その性質は体 K の取り方によらず共通しているものが多い。
以下の記述は特に断らない限り、スキーム論の枠組みを用いる事で任意の体上の代数多様体としての射影空間に対して成り立つが、
代数幾何学以外で重要な場合は体 K が実数体 R または複素数体 C の場合であるので、実射影空間および複素射影空間の場合に則した記述を行う。
射影変換群
一般線形群 GL(n + 1, K) はベクトル空間 V = Kn+1 に原点を固定して作用し、原点を通る直線を原点を通る直線に写すので、射影空間 KPn には GL(n + 1, K) が作用する。
単位行列の定数倍は射影空間に自明に作用するので、この作用は剰余群 PGL(n, K) = GL(n + 1, K)/K^× を経由する。
群 PGL(n, K) をKPn の射影変換群 (projective linear transformaton group) と言う。
射影変換群は、代数多様体としての（あるいは K = C のときは、複素多様体としての）KPn の自己同型群にほかならない。[1]
GL(n + 1, K) の KPn への作用の1点の等方部分群 (stabilizer) は
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&*\\0&A\end{pmatrix}}}{\begin{pmatrix}a&*\\0&A\end{pmatrix}} ただし {\displaystyle a\in K^{\times },\quad A\in GL(n,K)}a\in K^{{\times }},\quad A\in GL(n,K)
の形の行列からなる部分群 H であり、空間 KPn は、剰余類 GL(n + 1, K)/H と同型である。すなわち、KPn は等質空間である。等質空間としての記述の点でも、射影空間はグラスマン多様体や旗多様体のもっとも簡単な場合に当たる。
フビニ・スタディ計量
^ フビニ・スタディ計量の存在により、CPn はケーラー多様体になる。ケーラー多様体の部分多様体はケーラー多様体である事から、射影代数多様体は全て自動的にケーラー多様体になるという意味でも重要である。
(引用終り)
以上
721: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)15:29 ID:aIAMZK1h(19/39) AAS
>>716
だから、ワッチョイ付けようという議論があるよ
おれ、賛成しておいたけどね
いや、過去に他の板同様にワッチョイやろうとしたけど
数学板では、できなかった経験があるね
（参考）
ワッチョイ、IP表示議論スレ
2chｽﾚ:math
724(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)15:35 ID:aIAMZK1h(20/39) AAS
>>718
＞読んでも理解できない本買いまくるのは買い物依存症
まあ、そういう考えもあるけど（＾＾
昔言われたのは、書店で見かけて、良いと思ったら買わないと、絶版になったりして買えなくなるとか
でも、いまネットで、古書でも買えるし（＾＾
（なんか、定価より高くなっている本もあったりするけどな）
あと、辞書代わりみたいな考えもあるよ
それも、いまは、ネット検索で代用できる時代だが
なので、最近はあまり買わなくなったな
図書館が近いので、原則は、図書館に頼んで入れて貰うようにしている（＾＾
725: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)15:36 ID:aIAMZK1h(21/39) AAS
>>723
どうも。スレ主です。
ありがとう
>>724な（＾＾
726(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)15:39 ID:aIAMZK1h(22/39) AAS
>>723
＞とりあえず、買った、コピーした、いつでも読めるという状態になった、しかしそれで安心して読んだような気持ちになって結局いつまで経っても読まない病。
＞理系の人間なら必ず一度はかかる。
確かに、それはあるよね
みんなも経験あると思うが
書店で、買う前に立ち読みしてるときとか、コピーを取るときが、一番集中して読んでいるなんてね
だれかが、どこかに書いていたけどね
775(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)17:49 ID:aIAMZK1h(23/39) AAS
>>704 追加引用
(例えば標数零のフェルマー曲線は, ガロア点を曲線の外に 3 個もつ非特異
平面曲線として特徴づけられる). このように「代数多様体の分類の観点」を与えているこ
とが代数幾何におけるひとつの重要な貢献であると思われる. また最近では, 正標数の代
数曲線の重要なクラスに必ずと言っていいほどガロア点が関係していることがわかってき
た. さらに, 有限体上の有理点や代数幾何符号との関連があり, ガロア点の登場する領域は
代数幾何の範囲をすでに越えている.
代数幾何の基礎をマスターしていれば, ガロア点の定義とガロア点理論の基本問題は理
解できよう. 予備知識が多く必要とされる代数幾何においては, これは極めてまれなケー
スである. したがって, 修士論文の題材に適している. 優秀な学生なら, 学部 4 年生の段階
でこの問題と向き合えるかもしれない. 深澤が山形大学に赴任してから, ガロア点を題材
に修士論文を書く学生を数名送り出してきたが, そこで不満に思っていたのが「ガロア点
の定義を一切の妥協なしに理解する」ことが予想以上に難しいことである. (多くのテキス
トで採用されている) 代数幾何の入門の内容とガロア点の定義に必要な知識はちょっとだ
けずれていて, このギャップを埋めるのが案外と難しいのである. 但しここでは, 修士号を
取得して社会に出ていく一般レベルの大学院生を想定している. もしかしたら上記の発言
は, 研究者を目指す優秀な学生には奇妙に映るかもしれない. 優秀な学生は教員が何も言
わなくとも, そういったギャップを自分で埋めてくるのである. したがって前半部は, そ
のギャップを埋めるためのものであり, 修士論文を書いて社会へ出ていく一般大学院生の
ための入門, と言える. より詳しくガロア点以外の内容を述べれば, Shafarevich [19, I.1,
I.2] をベースに, 射影双対性とそれに必要な導分,「射影」に関するいくつかのリマーク,
というものである. 代数幾何の入門書をいくつか並べればこれらは包含されることと思う
が, 一冊の中にこれだけ少ないページ数で収まっているものは見当たらないと思われる.
つづく
776: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)17:49 ID:aIAMZK1h(24/39) AAS
>>775
つづき
本書は「正標数代数曲線入門」という使い方もできる. 実際, 説明に使われる具体例は,
標数零より正標数の方が多い. 本書の前半部の内容は代数幾何への導入として使われるこ
とが多いので, 多くのテキストで標数零を仮定している. 研究者レベルでも, 学生時代に標
数零で勉強してしまって今さら標数の差を確認するのが億劫だ, という方にも役に立つ可
能性がある. 正標数においては標数零と異なる現象がたくさん見られるが, 平面幾何とい
うかなり入り口の段階でその現象が現れることはどれほど広く知られているであろうか.
平面曲線における正標数の奇妙な現象を予備知識を要せず解説している点は, 他のテキス
トでは見られない本書の特徴の一つである. また, 紹介されてはいるが証明が度々省略さ
れている「射影双対性」についても証明を与えている.「双対写像が分離的」という仮定の
下で正標数でも証明している和文のテキストは, 深澤が知る限りにおいて, 他にはない.
本書が, 代数幾何入門として大学院生の役に立ち, ガロア点研究が広く知られる契機と
なれば幸いである. そして, ガロア点研究に参入する若い方々が出てきてくれることを
願う.
(引用終り)
以上
780(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)17:56 ID:aIAMZK1h(25/39) AAS
>>737
ぼくちゃん
正則性公理が分かってなかったし
選択公理も分かってなかったし（「時枝が不成立なら選択理校が否定される」だぁ？ それホントなら論文になるぜｗ）
確率過程論（確率変数の無限族の独立等）知らなかったし
ガロアの第一論文もしらなかったし
自分の力で数学やれるつもりだったんかなー？
789(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)18:35 ID:aIAMZK1h(26/39) AAS
>>107
＞それで任意の有限群が実際にあるガロア拡大K/kのガロア群となることは証明できましたか？
＞スレ主は検索で引っかからないような「自明すぎるから誰も問題にしていない
数学では、”「自明すぎるから誰も問題にしていない”ということはない
自明と思えることでも、必ずだれかが、言及している
見つかりましたよ
下記ですよね
”ウォーターハウスは「任意の」射有限群が、「ある」体 K 上のガロア群に同型なる群として得られることを示した[1]”
「有限群は離散位相に関して射有限である」から、上記のウォーターハウスの定理ですね
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
射有限群
(抜粋)
例
・有限群は離散位相に関して射有限である。
・F が F/K が有限次ガロア拡大であるような L/K の中間体すべてを亘るとき、有限ガロア群 Gal(F/K) が成す射影系の逆極限である。
この射影系における射は、F2 ⊆ F1 なるとき、制限準同型 Gal(F1/K) → Gal(F2/K) で与えられる。
得られる Gal(L/K) の位相はヴォルフガンク・クルルに因んでクルル位相 (Krull topology) として知られる。
ウォーターハウスは「任意の」射有限群が、「ある」体 K 上のガロア群に同型なる群として得られることを示した[1]が、
このとき具体的にどのような体 K を選べばよいか決定する方法はいまだ知られていない。
事実、多くの体 K で、どのような有限群が体 K 上のガロア群として得られるかということは一般にははっきりしない。
このような問題は体 K に対するガロアの逆問題と呼ばれる（複素一変数の有理函数体のように、ガロアの逆問題が解決されている体もある）。
・代数幾何学において考察される基本群もまた射有限である。
これは大雑把に言って、代数的には代数多様体の有限被覆だけしか「見る」ことができないということを反映するものであり、
代数的位相幾何学における基本群は一般には射有限ではない。
参考文献
1^ William C. Waterhouse. Profinite groups are Galois groups. Proc. Amer. Math. Soc. 42 (1973), pp. 639?640.
794(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)20:44 ID:aIAMZK1h(27/39) AAS
>>778
>そもそも興味があれば自分で検索するので、ド素人から
>「これ、なんか分かんないけど面白そう」
>とか薦められても
>「( ﾟДﾟ)ﾊｧ? お前いったいどういうつもりでそんなこといってんだ？」
>というしかない
おっさん、ID:r8iFY6b2 [57/62] よ
あんた、もう論文読めなくなっているだろ？ フッｗ（＾＾
/62 わかるよね
あんた、現時点で62レス投稿したってことよ
で、なんで、おれみたいなアホバカ相手にレス書いているんだ？
そんなヒマあったら、自分のすきな論文嫁が良いとおもうけどね フッｗ（＾＾
あんた、もう論文読めなくなっているだろ？ フッｗ（＾＾
795: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)20:48 ID:aIAMZK1h(28/39) AAS
>>791-792
どうも。スレ主です。
レスありがとう
それで良い
同意ですよ
ただ言いたかったのは
「自明だからだれも言わない」じゃなく
「むかしむかし、すでに言われたから、いまはだれも言わない」というのが、数学では正しいってことですよ
796(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)20:55 ID:aIAMZK1h(29/39) AAS
>>788
どうも。スレ主です。
>まぁスレ主はかなり重度の積読病みたいだからな。
>もう理系の世界には戻って来れないだろうし。
まあ、そういう見方もあるだろうが
おれにとっちゃ、数学も物理も化学も自分の専門の工学の論文や本と同じなのよ
学生みたく、１本の論文を一月かけてとか、一冊の本を数ヶ月かけてという、そういう読み方はしないだけのこと
みんな、自分の目的と、それに合った自分の流儀があって良いんじゃ無い？
院試ひかえた人には、それなりの
論文を書いている人は、それなりの
論文のテーマを模索しているひとはそれなりの
おれみたいな、遊び人はそれなりの（おれは試験も論文も関係ないから）
798: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/11/09(土)21:03 ID:aIAMZK1h(30/39) AAS
>>99-101 追加
遠隔すまんが
ごくろうさん
だが、あんたのでは、論文にならんが
下記、梶谷美帆 PGL(2, 29)/A5 ”利用したソフトウェアはMAGMA とGAP”
は、論文（多分修士）になるってことな（＾＾
外部ﾘﾝｸ:tohoku.repo.nii.ac.jp
ある置換表現の部分次数と2-アーク推移的なグラフ の構成
梶谷美帆
東北大学大学院情報科学研究科
情報基礎科学専攻情報基礎数理学I 研究室 2012 年3 月
学位授与機関Tohoku University
(抜粋)
2-arc-transitive graph は現
在のところ分類が未完成である. しかし, [Sco93] で初めに扱っている群PSL(2, 29) に
は2 つの共役でない5 次交代群A5 が含まれており, PGL(2, 29) の中ではA5 は共役
を除いて一意的で, PGL(2, 29)/A5 は5-regular な2-arc-transitive graph を与えること
からPGL(2, q), PSL(2, q) について調査していった結果, PGL(2, q)/A5, PSL(2, q)/A5
上のsuborbit に時折現れる事が確認された. そこで, どのような素数冪q に対して
PSL(2, q)/A5, PGL(2, q)/A5 から2-arc-transitive graph が得られるかソフトウェアを
利用して実際に計算する等して条件を考察していった. その結果, q がある条件を満たす
場合はq によって2-arc-transitive graph の存在を判定出来る事が示された.
利用したソフトウェアはMAGMA とGAP である.
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