[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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90(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/21(月)07:31 ID:P3acsak1(1/9) AAS
>>87
ID:qT2QtwAUさん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
>任意の有限群Gを持つガロア拡大K/kの存在が示せる。
>kが予め固定されてないってのがミソです。
ええ、どうぞ示して下さい
「任意の有限群Gを持つガロア拡大K/kの存在」を
それで、「kが予め固定されてない」が、どう作用するのか分かるでしょうから
>(ガロア拡大)K/kがあればそれを
>うまく降下させれば、ガロア群Gを持つK'/Q
>が得られると思ってるようだが、そうはいかないんですよ。
それって、ガロアの順問題でしょ？
ガロアの順問題に反例、即ち、「そうはいかない」例があると？
（>>45）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、
与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。
91(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/21(月)07:53 ID:P3acsak1(2/9) AAS
>>81
＞答えは(243756)
（もとの問題は>>60-61）
注文つけて悪いが
下記の 卒業研究”S_3, S_4, S_5 の部分群の分類”の
P14 §4.13 S5 の位数 20 の部分群
と対比すると
１）問題の位数42の群が構成できることが示されていない
２）位数42の群が構成されたとして、構成された群がFrobenius group "x→ ax+b, a≠ 0"（下記） となることが示されていない
（∵ n>=3の 置換群自身は、当然非可換ですよね。非可換例1つで何が言いたい？ (Z/7Z)×とZ/7Zとで、部分群の位数42を示さなきゃ。そこが肝でしょ？（＾＾； ）
手を動かせとか言っていたよね（>>49）（＾＾；
どぞ
（参考）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.isc.meiji.ac.jp
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
（>>51）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Frobenius group
(抜粋)
Examples
・For every finite field Fq with q (> 2) elements, the group of invertible affine transformations x→ ax+b, a≠ 0 acting naturally on Fq is a Frobenius group.
92(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/21(月)08:01 ID:P3acsak1(3/9) AAS
>>91 訂正
（∵ n>=3の 置換群自身は、当然非可換ですよね
↓
（∵ n>=4の 置換群自身は、当然非可換ですよね
か(゜ロ゜;
参考
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
交代群
(抜粋)
群 An が可換群となるのは、n ? 3 のときかつそのときに限る。また単純群となるのは n = 3 もしくは n ? 5 のときかつそのときに限る。A5 は位数 60 を持つ最小の非可換単純群であり[4]、最小の非可解群である。
群 A4 はクラインの4元群 V を真の正規部分群として持つ。V は {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} であり、列 V → A4 → A3 (= C3) は完全である。
ガロワ理論によればこの写像、あるいはこれに対応する S4 → S3 に、四次方程式のフェラリの解法における（三次の）ラグランジュ分解方程式（分解方程式の根によって四次方程式を解くことができる）が対応している。
93: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/21(月)08:03 ID:P3acsak1(4/9) AAS
>>92 文字化け訂正
群 An が可換群となるのは、n ? 3 のときかつそのときに限る。また単純群となるのは n = 3 もしくは n ? 5 のときかつそのときに限る。A5 は位数 60 を持つ最小の非可換単純群であり[4]、最小の非可解群であ
↓
群 An が可換群となるのは、n >= 3 のときかつそのときに限る。また単純群となるのは n = 3 もしくは n >= 5 のときかつそのときに限る。A5 は位数 60 を持つ最小の非可換単純群であり[4]、最小の非可解群であ
104(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/21(月)20:59 ID:P3acsak1(5/9) AAS
>>97-101
ぱち ぱち ぱち
さすがだね
あとさ、
あんたは分かっているんだろうが
もとは、置換群の話で
例えば、コーシーの２行に書く記法で
（>>98）巡回置換(2354)なら
(1,2,3,4,5)
(1,3,4,5,2)
って話で、ちょっと、つなぎを入れてやると
親切だろうな
それと、１のベキ根のべきの話
1,ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6
で、ζの指数で書くと
1=ζ^0,ζ^1,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6
で、指数だけ取り出すと
(0,1,2,3,4,5,6)となって
各元にζを掛ける操作で(ζ(x+1))
ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6,1=ζ^0だと
指数だけ取り出すと
(1,2,3,4,5,6,0)となって
つまり
(0,1,2,3,4,5,6)
↓
(1,2,3,4,5,6,0)
コーシーの記法で
(0,1,2,3,4,5,6)
(1,2,3,4,5,6,0)
で、巡回置換の記法では
(1,2,3,4,5,6,0)と書くとか
まあ、ζ^n（n=0〜6）の指数と、
順列 (0,1,2,3,4,5,6)が対応するとか
（常識といえば常識だけれど）
ここもつなぎがあると、大学1〜2年くらいには親切だろうな
参考
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
置換 (数学)
(抜粋)
記法について
有限集合 S の置換に対して、その記法は大きく三種類が存在する。
1815年、コーシーによって導入された[8]二行記法[訳語疑問点]は一行目に S の元を書き、その各元の下に置換による像を書いて二行目とするものである。
二行記法の下の行だけを書くのが一行記法[訳語疑問点]であり、先ほどの例であげた置換は一行記法だと 25431 で表される（成分が複数の文字、例えば二桁の数で表されるような場合には、成分の間にコンマを入れるのが典型的である）。
第三の記法として置換の巡回置換表現（英語版）[10]は、置換を続けて施す効果に焦点を当てたものになっている。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Permutation
(抜粋)
Notations
Two-line notation
One-line notation
Cycle notation
105: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/21(月)21:04 ID:P3acsak1(6/9) AAS
>>102
ID:QnREEzq+さん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
ID:QnREEzq+と、私スレ主に言っているのだろうが
おれは、”まぁその人の人生どう使おうがその人の勝手なんだけど”の通りですが
ID:QnREEzq+は、人生落ちこぼれで
このスレしか、自分の不遇な人生を慰める場所ないみたいだ
まあ、大目に見てやれよ
おれは、そうしている
108(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/21(月)21:17 ID:P3acsak1(7/9) AAS
数学科の学生が半年で通り過ぎるレベルも、結構個人差があるみたいだがね
例えば、下記、東京大学数学科生であってもね
（”数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地”とか（＾＾； ）
外部ﾘﾝｸ:hiroyukikojima.hate（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
hiroyukikojima’s blog
2008-03-27
ガロアの定理をわかりたいならば
(抜粋)
ガロワと方程式 (すうがくぶっくす)
作者: 草場公邦
とりわけ最初の『ガロワと方程式』はめちゃめちゃいい。
ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。
おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（ そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。
ところが、最近になってこの『ガロワと方程式』を読んで、急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。
数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地というのもスゴイやら情けないやらである。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
小島寛之
(抜粋)
略歴
小島 寛之（こじま ひろゆき、1958年 - ）
東京都生まれ[要出典]。東京大学理学部数学科卒業。
東京大学大学院理学系研究科数学専攻(現数理科学研究科)の大学院入試に3度落第したため、数学者への道を諦め
109: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/21(月)22:10 ID:P3acsak1(8/9) AAS
>>107
＞それで任意の有限群が実際にあるガロア拡大K/kのガロア群となることは証明できましたか？
つー、>>90な
証明は、あんたとおっちゃんに任すぜｗ（＾＾
117(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/21(月)23:57 ID:P3acsak1(9/9) AAS
>>107
>それで任意の有限群が実際にあるガロア拡大K/kのガロア群となることは証明できましたか？
>スレ主は検索で引っかからないような「自明すぎるから誰も問題にしていない
>でも暗黙にはその分野のひとは皆当然分かってる」ような話に弱いですねｗ
「自明すぎるから誰も問題にしていない
でも暗黙にはその分野のひとは皆当然分かってる」
ええ、>>87
「ガロア対応の基本中の基本ですよ。
基礎体を特に定めなくてもいいなら
任意の有限群Gを持つガロア拡大K/kの存在が示せる。」
でしたね
そういうのは、一般に”存在定理”とかいうそうですよ
どぞ、証明を（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
存在定理
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Existence theorem
(抜粋)
In mathematics, an existence theorem is a theorem with a statement beginning 'there exist(s) ..', or more generally 'for all x, y, ... there exist(s) ...'. That is, in more formal terms of symbolic logic, it is a theorem with a prenex normal form involving the existential quantifier.
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
カラテオドリの存在定理
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