[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 (1002ﾚｽ)
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261(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)12:05 ID:EUeYkluT(1/14) AAS
>>250 追加
類体論の一般化には、下記３つあって
1つは、the Langlands correspondence
1つは、anabelian geometry
1つは、higher class field theory
anabelian geometry が出てくるのが面白。IUTに関連
Langlands programは、
”・・to non-abelian extensions. This generalization is mostly still conjectural. For number fields, class field theory and the results related to the modularity theorem are the only cases known.”
とあるね。the modularity theorem＝谷山?志村予想だね
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Modularity theorem
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
谷山?志村予想
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Class field theory
(抜粋)
In mathematics, class field theory is the branch of algebraic number theory concerned with the abelian extensions of number fields, global fields of positive characteristic, and local fields.
The theory had its origins in the proof of quadratic reciprocity by Gauss at the end of 18th century. These ideas were developed over the next century, giving rise to a set of conjectures by Hilbert that were subsequently proved by Takagi and Artin.
These conjectures and their proofs constitute the main body of class field theory.
つづく
262: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)12:17 ID:EUeYkluT(2/14) AAS
>>259
ID:ek6S6+eDさん、どうも。スレ主です。
(引用開始)
つまり小さい基礎体で与えられたガロア群を持つ拡大の存在が言えれば
それを拡大しても際限なく同じガロア群を持つ拡大が得られる。
それで「小さい基礎体上で構成した方が価値が高い」
という考えが生まれ、「Q上で構成する」という問題意識が生まれたのではなかろうか？
(引用終り)
どうも
専門的になると、私ら素人にはよく分かりませんが
ともかく、Ｑ上というのは基本というか、Ｑが応用上も大事な話ですよね
「類体論の一般化
加藤 和也 数学/40 巻 (1988)」
”代数体が整数論において研究の対象とされる理由は,ひとつには有理数体が昔から人間にとつて
親しみ深い対象であり,有理数体を考察していけば自然にその有限次拡大である代数体に考察が及
んだからである”
(引用開始)
Wikipedia で非存在が予想(?)されている例は
PSL(2,16)ではなくPSL(2,16):2という位数8160の群ですね。
これは S_17の部分群で、17個の元に推移的に作用する群。
(引用終り)
なるほどね
これ（もし非存在だとして）の証明は
5次方程式に解の公式がないという話の類似かもしれませんね
263(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)12:28 ID:EUeYkluT(3/14) AAS
>>260
ID:ek6S6+eDさん、どうも。スレ主です。
>ラングランズだとか非可換類体論だとか散々言い古されてきた話ですね。
>このような問題を最も熱心に発展させてきた数学者こそ最近亡くなられた志村五郎氏。
なるほど
(引用開始)
約60年前の論説
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
には、気鋭の数学者の問題意識・見通しが書かれてある。
しかし、志村氏のちくまの本に書いてあったと思うが、単にアーベル拡大であっても
構成はそんなにうまくはいかない、問題も自然じゃないから「すべて」には拘らなくなったとのこと。
(引用終り)
”単にアーベル拡大であっても 構成はそんなにうまくはいかない”
”問題も自然じゃないから「すべて」には拘らなくなった”
ですか。
私ら、素人のヤジウマですが、でも、プロはそれがメシの種なんでしょうね
>そもそも最も心血を注いできた問題にはラングランズの名が冠されている
>（その経緯など詳しいことは知らないが）いわばおいしいところを
>持っていかれた形であり、それは今後ラングランズ・プログラムを完成させることになる
>研究者にしても同じだろう。
まあ、経緯は、私ら素人には、分かりませんが（＾＾
>自分の先生は、「ラングランズなんて」「あんなセンスのない数学者」「見た目は立派だが」
>みたいに悪印象で語っていた笑
なるほどね
でも、ラングランズ先生も証明なしの大風呂敷だけを吹きまくるみたいなところでしょうかね？
佐藤幹夫先生みたく、証明を付けるお弟子さんがいればよかったのかも
外からみれば、プロのメシの種として、ラングランズ先生のほら話（そういうホラの数学者は少ないし）に喜んで乗ったのでは？（＾＾
264(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)12:30 ID:EUeYkluT(4/14) AAS
>>261
つづき
Generalizations of class field theory
There are three main generalizations, each of great interest on its own. They are: the Langlands program, anabelian geometry, and higher class field theory.
Often, the Langlands correspondence is viewed as a nonabelian class field theory. If/when fully established, it would contain a certain theory of nonabelian Galois extensions of global fields.
However, the Langlands correspondence does not include as much arithmetical information about finite Galois extensions as class field theory does in the abelian case.
It also does not include an analog of the existence theorem in class field theory, i.e. the concept of class fields is absent in the Langlands correspondence.
There are several other nonabelian theories, local and global, which provide alternative to the Langlands correspondence point of view.
Another generalization of class field theory is anabelian geometry which studies algorithms to restore the original object (e.g. a number field or a hyperbolic curve over it) from the knowledge of its full absolute Galois group of algebraic fundamental group.[3]
Another natural generalization is higher class field theory. It describes abelian extensions of higher local fields and higher global fields.
The latter come as function fields of schemes of finite type over integers and their appropriate localization and completions.
The theory is referred to as higher local class field theory and higher global class field theory. It uses algebraic K-theory and appropriate Milnor K-groups replace K_{1}}K_{1} which is in use in one-dimensional class field theory.
(引用終り)
つづく
265: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)12:30 ID:EUeYkluT(5/14) AAS
>>264
つづき
”The inverse Galois problem asks what groups can arise as fundamental groups (or Galois groups of field extensions).
Anabelian geometry, for example Grothendieck's section conjecture, seeks to identify classes of varieties which are determined by their fundamental groups.[5]”
だとか
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Etale fundamental group
(抜粋)
The etale or algebraic fundamental group is an analogue in algebraic geometry, for schemes, of the usual fundamental group of topological spaces.
Contents
1 Topological analogue/informal discussion
2 Formal definition
3 Examples and theorems
3.1 Schemes over a field of characteristic zero
3.2 Schemes over a field of positive characteristic and the tame fundamental group
3.3 Further topics
Further topics
From a category-theoretic point of view, the fundamental group is a functor
{Pointed algebraic varieties} → {Profinite groups}.
The inverse Galois problem asks what groups can arise as fundamental groups (or Galois groups of field extensions).
Anabelian geometry, for example Grothendieck's section conjecture, seeks to identify classes of varieties which are determined by their fundamental groups.[5]
つづく
266(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)12:32 ID:EUeYkluT(6/14) AAS
つづき
分岐（Ramification）の話
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Algebraic number field
(抜粋)
In mathematics, an algebraic number field (or simply number field) F is a finite degree (and hence algebraic) field extension of the field of rational numbers Q. Thus F is a field that contains Q and has finite dimension when considered as a vector space over Q.
The study of algebraic number fields, and, more generally, of algebraic extensions of the field of rational numbers, is the central topic of algebraic number theory.
Ramification
画像ﾘﾝｸ
Schematic depiction of ramification: the fibers of almost all points in Y below consist of three points, except for two points in Y marked with dots, where the fibers consist of one and two points (marked in black), respectively. The map f is said to be ramified in these points of Y.
Ramification, generally speaking, describes a geometric phenomenon that can occur with finite-to-one maps (that is, maps f: X → Y such that the preimages of all points y in Y consist only of finitely many points): the cardinality of the fibers f-1(y) will generally have the same number of points, but it occurs that, in special points y, this number drops. For example, the map
C → C, z → zn
has n points in each fiber over t, namely the n (complex) roots of t, except in t = 0, where the fiber consists of only one element, z = 0.
One says that the map is "ramified" in zero. This is an example of a branched covering of Riemann surfaces.
つづく
267: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)12:33 ID:EUeYkluT(7/14) AAS
つづき
This intuition also serves to define ramification in algebraic number theory. Given a (necessarily finite) extension of number fields F / E, a prime ideal p of OE generates the ideal pOF of OF.
This ideal may or may not be a prime ideal, but, according to the Lasker?Noether theorem (see above), always is given by
pOF = q1e1 q2e2 ... qmem
with uniquely determined prime ideals qi of OF and numbers (called ramification indices) ei. Whenever one ramification index is bigger than one, the prime p is said to ramify in F.
The connection between this definition and the geometric situation is delivered by the map of spectra of rings Spec OF → Spec OE. In fact, unramified morphisms of schemes in algebraic geometry are a direct generalization of unramified extensions of number fields.
Ramification is a purely local property, i.e., depends only on the completions around the primes p and qi. The inertia group measures the difference between the local Galois groups at some place and the Galois groups of the involved finite residue fields.
つづく
268: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)12:34 ID:EUeYkluT(8/14) AAS
>>266
つづき
An example
The following example illustrates the notions introduced above. In order to compute the ramification index of Q(x), where
f(x) = x^3 - x - 1 = 0,
at 23, it suffices to consider the field extension Q23(x) / Q23. Up to 529 = 232 (i.e., modulo 529) f can be factored as
f(x) = (x + 181)(x^2 - 181x - 38) = gh.
Substituting x = y + 10 in the first factor g modulo 529 yields y + 191, so the valuation |?y?|g for y given by g is |?-191?|23 = 1. On the other hand, the same substitution in h yields y2 - 161y - 161 modulo 529. Since 161 = 7?×?23,
|y|h = √?161?23 = 1 / √23.
Since possible values for the absolute value of the place defined by the factor h are not confined to integer powers of 23, but instead are integer powers of the square root of 23, the ramification index of the field extension at 23 is two.
The valuations of any element of F can be computed in this way using resultants. If, for example y = x^2 - x - 1, using the resultant to eliminate x between this relationship and f = x^3 - x - 1 = 0 gives y^3 - 5y^2 + 4y - 1 = 0.
If instead we eliminate with respect to the factors g and h of f, we obtain the corresponding factors for the polynomial for y, and then the 23-adic valuation applied to the constant (norm) term allows us to compute the valuations of y for g and h (which are both 1 in this instance.)
つづく
269(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)12:35 ID:EUeYkluT(9/14) AAS
つづき
Dedekind discriminant theorem
Much of the significance of the discriminant lies in the fact that ramified ultrametric places are all places obtained from factorizations in Qp where p divides the discriminant.
This is even true of the polynomial discriminant; however the converse is also true, that if a prime p divides the discriminant, then there is a p-place which ramifies.
For this converse the field discriminant is needed. This is the Dedekind discriminant theorem. In the example above, the discriminant of the number field Q(x) with x^3 - x - 1 = 0 is -23, and as we have seen the 23-adic place ramifies.
The Dedekind discriminant tells us it is the only ultrametric place which does. The other ramified place comes from the absolute value on the complex embedding of F.
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
分岐 (数学)
(抜粋)
数学における分岐 (ramification) とは、例えば多価関数としての平方根が零点から符号の異なる二つの枝に分かれているような意味で、「枝分かれ」することをいう。
またその逆に、例えばある点で退化しているような被覆写像により複数のファイバーが合流するような場合も（逆の視点から見れば枝分かれしているので）分岐という。
画像ﾘﾝｸ
系統的に分岐を図示：Y 上のほとんど全ての点のファイバーは、3個の点から構成される。
しかし例外は、Y のドットでマークした 2か所の点では、ファイバーがそれぞれ 1つと 2つの点からなる。
写像 f は Y のこれらの点で分岐するといわれる。
目次
1 複素解析
2 代数トポロジー
3 代数的整数論
3.1 Q の代数拡大
3.2 局所体
4 代数学
5 代数幾何学
つづく
270: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)12:36 ID:EUeYkluT(10/14) AAS
>>269
つづき
代数的整数論
Q の代数拡大
「ガロア拡大での素イデアルの分解」も参照
代数的整数論での分岐は、ある素イデアルへの素数の繰り返しの分解を意味する。R を代数体 K の整数環とし、P を R の素イデアルとする。各々の K の体の拡大 L に対し、L の中の T の整閉包 S と S のイデアル PS とを考えることができる。PS は素であるかどうか分からないが、[L:K] を有限とすると、素イデアルの積
P1e(1) ? Pke(k)
となる。ここに Pi はそれぞれ S の異なる素イデアルである。すると P が L で分岐しているとは、ある i に対して e(i) > 1 であるときとを言う。言い換えると、P が L で分岐するとは、分岐指数 e(i) が 1 より大きな Pi が存在することを言う。全ての i に対して、e(i) = 1 の場合を不分岐と言う。
同値な条件としては、S/PS が零でない冪零元を持つことである。べき零元は有限体の積ではない。リーマン面との類似は、19世紀に既にリヒャルト・デーデキント (Richard Dedekind) とハインリッヒ・ウェーバー（英語版） (Heinrich M. Weber) が指摘していた。
つづく
271: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)12:36 ID:EUeYkluT(11/14) AAS
>>269
つづき
分岐は、相対判別式（英語版）(relative discriminant)により K にエンコードされ、相対差イデアル（英語版）(relative different)により L にエンコードされる。相対判別式は K の整数環のイデアルであり、P で割りきれることと、P を割る S のイデアル Pi が存在し分岐することをは同値である。
相対差イデアルは L の整数環のイデアルであり、Pi が分岐するとき、S の素イデアル Pi で割り切れる。
分岐指数 e(i) が全て P の標数 p と互いに素であるときを、分岐が順 (tame) と言い、そうでない場合を激 (wild) と言う。この条件はガロア加群の理論に重要である。デデキント整域の有限生成なエタール拡大 B/A が順であることと、トレース Tr: B → A が全射であることとは同値である。
局所体
詳細は「局所体の分岐（英語版）」を参照
数体での分岐のさらに詳しい分析は、局所的な問題であるので、p-進数の拡大を使い進めることができる。局所的な場合には、基本的にはどのくらいガロア群が計量から動くかを問うことで、分岐を測る量がガロア拡大に対して定義される。
分岐群（英語版）の列が定義され、とりわけ、暴 (wild) 分岐が具体化される。つまり、幾何学的な類似を超えた意味を持っている。
(引用終り)
以上
273(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)12:53 ID:EUeYkluT(12/14) AAS
>>263 補足
>でも、ラングランズ先生も証明なしの大風呂敷だけを吹きまくるみたいなところでしょうかね？
>佐藤幹夫先生みたく、証明を付けるお弟子さんがいればよかったのかも
>外からみれば、プロのメシの種として、ラングランズ先生のほら話（そういうホラの数学者は少ないし）に喜んで乗ったのでは？（＾＾
私ら、アマですから、論文書いてそれでメシを食うという立場にはない
まあ、このスレに来ている人も、ほとんどはそれでしょう
「論文書いてそれでメシを食う」：
・もちろん、未解決の有名問題を解決するホームラン論文なら問題ないでしょうけど
（なんとか賞を貰えるとかの）
・論文の大半は、ある分野のニッチな結果だと思うのですが
そういう論文を人に評価してもらおうとすると、「”ラングランズ”（とか分り易いキーワード）と関連しています」という説明が分り易い
・それで、みなさん、”ラングランズ”の名前に乗ったのかも
余談ですが、私ら、素人ですから、数学だけを特別視するつもりもないのです
物理や化学と横並びです
ですが、物理や化学の基礎が数学でもあるのです
別に、おっちゃんみたく、数学の論文を書くつもりもない
趣味と実益を兼ねては居ます
ちょっと上のレベルまでやっておけば、下のレベルの話は理解しやすい
逆もまた真で、下のレベルのみが必要だとしても、少し上のレベルまでやっておく方が、見通しもよく応用もきく
昔、”猫”さんというコテハンの人が、意識が高く「自分の数学を作る」みたいなことを、このスレで言われていましたが
私ら、素人ですから、意識のレベルが違いましたね
まあ、そういう人もいるのでしょうね（プロとして、「自分の数学を作」って、論文書いて、それをメシの種にしていくという人も）
274(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)12:56 ID:EUeYkluT(13/14) AAS
>>272
そう慌てないで
それもやりますよ
ガロア理論に関連したところ
但し、自分の趣味主体でね
そもそも、大学でも、半年から１年かけるでのでしょ
そう慌てないで
275(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/27(日)13:10 ID:EUeYkluT(14/14) AAS
>>272
ID:ek6S6+eDさん、あなたはレベル高そうだがから
人に要求してばかりじゃなく、自分の書きたいことを書いて見てはいかが？
そもそも、５ＣＨには、スレ主（管理者）がいないのが基本だし
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