[過去ログ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658レス)
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(3): 2017/12/29(金)00:12 ID:gcYWyS10(1/7) AAS
>>40-42
>まだ、疑問に思っているのは
>下記のDifferentiability of the Ruler Functionの記述と貴方の定理との整合性だ

悪あがきは やめたまえ。前スレ540 で既に述べたとおり、
スレ主の大好きな f^r と f_w は、例の定理の反例になり得ない。

2chスレ:math

このレスにより、R−B_{f^r} は第一類集合にならず、R−B_{f_w} も第一類集合にならないので、
f^r と f_w は例の定理の「適用範囲外」ということになり、よって例の定理の反例になり得ない。

また、f^r と f_w が例の定理の「適用範囲外」であるという事実により、Differentiability of the Ruler Function が
どのように記述されていようとも、そのことと例の定理との間の整合性なんか 全 く 考 え る 必 要 が な い 。
47: 2017/12/29(金)00:27 ID:gcYWyS10(2/7) AAS
>>38
>1)稠密でない場合は、どこかにリプシッツ連続な区間(a,b)がとれる
>2)稠密である場合は、仮定を満たす関数は存在しない(空集合)

いつまでそのゴミみたいな場合分けに拘るつもりだ?場合分けせずとも、例の pdf の証明を辿ることで
直接的に結論が出せるのだから、その場合分けは必要ない。仮に場合分けしたところで、
>>26-30で書いたことと全く同じ理屈になるだけから意味が無い。一応やってみようか?

[続く]
48: 2017/12/29(金)00:29 ID:gcYWyS10(3/7) AAS
[続き]

R−B_f は第一類集合とする。f がある開区間の上でリプシッツ連続であることを示したい。(1),(2)で場合分けする。

「その1(>>28)」の流儀の場合
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れて
矛盾するので、このケースは起きない。よって、(1)のみ考えればよい。そして(1)の場合は、
例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――

「その2(>>29)」の流儀の場合
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(1)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れて矛盾するので、
矛盾した状態からは何でも帰結できることにより、「リプシッツ連続な区間が取れる」ことになる。
よって、いずれの場合もリプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――

「その3(>>30)」の流儀の場合
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(1)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
よって、いずれの場合もリプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――

このとおり、どの証明の どの場合分けにおいても、「例の pdf の証明そのもの」を
その都度 持ち出せば証明が終わるので、お前の場合分けは実質的には全く機能していない。
49: 2017/12/29(金)00:47 ID:gcYWyS10(4/7) AAS
>>44
>ならば、c = x-1/M 、d = x+1/M として、ある区間(c, d)と書けるだろ?
>定理1.7の証明は、それで終りでは?

息をするように間違えるゴミクズ。ぜんぜん終わらないよ。
なぜなら、その pdf の(1)の部分では「x」が固定されていて、動かせるのは y だけだからだ。
もし、お前が言うように c, d を定義したとしても、(1)で言えているのは

∀y∈(c, d) [ |f(y) − f(x)| <= N|y − x| ]

ということに過ぎず、y しか動かせていない。一方で、f が(c,d)上でリプシッツ連続であるためには、

∀y,z∈(c, d) [ |f(y) − f(z)| <= N |y − z| ]

が言えなければならない。しかし、補題1.5の条件だけでは、ここまで強いことは言えない。
あるいは、別の言い方をすると、次のように言ってもよい。まず、

f(x)= 0 (x=0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)

という例の関数を考える。すると、|Af(0)|=|f '(0)|=0<+∞ だから、この f と x=0 に対して補題1.5 の議論が使える。
すると、そのまま(1)のところまで来たとき、もしスレ主の言い分が正しいなら、「それで終わり」となり、
この f は原点の近傍でリプシッツ連続ということになるが、実際にはそんなことは無いだろ?
つまり、スレ主の言い分は自動的に間違ってるということ。
50: 2017/12/29(金)01:04 ID:gcYWyS10(5/7) AAS
>>44
>というが、それ(”全体で”)を導くことは、定理1.7(「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」)をいうだけなら、不必要では?
>( 上記のある区間(c,d)で、リプシッツ連続を言えば、定理1.7の証明は、そこで終わってないかい? )

その言い分そのものは正しいが、そのような (c,d) を見つける方法が全く自明ではなく、
ベールのカテゴリ定理を使わなければ そういう (c,d) が出て来ない、という話をしているんだよ。
つまり、(a,b) ⊂ B_f という条件に限定しても、例の定理の証明は ちっとも自明になってないってこと。
少し詳しく見てみようか?まず前提として、

状況A:
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「 (a,b) ⊂ B_f を満たす開区間(a, b)が存在する」という条件からは
「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」という条件は導けない
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

という「状況A」があるわけだ。すると、次のようになる。

(a,b)⊂B_f が成り立つとする。このとき、状況Aにより、f は(a,b)全体でリプシッツ連続であるとは断言できない。
しょうがないので、(a,b)内の十分小さな区間(c,d)を取る。当然ながら、(c,d)⊂B_f である。
では、f は(c,d)上でリプシッツ連続なのか?残念ながら、状況Aを区間(c,d)に対して適用すれば、
f は(c,d)上でリプシッツ連続だとは断言できない。では、(c,d)内の更なる小さな区間(s,t)を考えたらどうか?
当然ながら、(s,t)⊂B_f である。では、f は(s,t)上でリプシッツ連続なのか?
残念ながら、「状況A」を区間(s,t)に対して適用すれば、f は(s,t)上でリプシッツ連続だとは断言できない。

……このように、いくら小さな開区間に限定しても、状況Aがその開区間に適用できるので、
f がその区間の上でリプシッツ連続であるとは断言できなくなってしまう。
では、どうやって望みの部分区間(c,d)を見つければいいのか?
そのために本当に必要になるのが、ベールのカテゴリ定理である。
結局、(a,b) ⊂ B_f という条件に限定しても、例の定理の証明は ちっとも自明にならないのである。
52: 2017/12/29(金)01:22 ID:gcYWyS10(6/7) AAS
>>44
>それから、これは重要だが、補題1.5の証明中で、"∀y ∈ R[|y − x| <1/M → |f(y) − f(x)| <= N(y − x)] (1) が成り立つ"というけれど
>R−Bfが、稠密なら、区間(x-1/M, x+1/M)で、Dini微分が発散している点が、この区間内に多数存在することになるよ
>それでも、"∀y ∈ R[|y − x| <1/M → |f(y) − f(x)| <= N(y − x)] (1) が成り立つ"が言えるのかね? (言えるとしても、区間内にDini微分発散点が稠密に存在するという前提を押さえた証明がなされるべきと思うが)

息をするように間違えるゴミクズ。その(1)では「x」が固定されていて、y の方しか動かせないので、
別の点におけるディニ微分が発散していようがいまいが、(1)にとっては何の関係も無いのである。
具体例を1つ挙げておく。

f(x) = x^2 (|x|は有理数), −x^2 (|x|は無理数)

として f を定義すると、この f は原点以外の各点で不連続なので、特に Af(x)=+∞ (x≠0) が成り立つ。
しかし、この f は原点で微分可能であり、f '(0)=0 である。特に、正整数 N を何でもいいから1つ取れば、

Af(0)=|f '(0)|= 0 < N

となるので、M>0 を十分大きく取れば、

∀y ∈ R [|y − 0| <1/M → |f(y) − f(0)| <= N|y − 0|] (1)

が成り立つことが実際に示せる。この(1)の様子を、グラフを書いて視覚的に確かめてみよ。

(f(y)−f(0)/(y−0))

という、x の方を x=0 に固定して y の方だけ動かしたときの「傾き」は、y が原点に十分近ければ実際に有界の範囲に
収まっていることが視覚的に容易に確かめられるだろう(x≠0 なる任意の点では Af(x)=+∞が成り立っているにも関わらず)。
53
(1): 2017/12/29(金)01:42 ID:gcYWyS10(7/7) AAS
>>44
>(言えるとしても、区間内にDini微分発散点が稠密に存在するという前提を押さえた証明がなされるべきと思うが)

他の点でのディニ微分の値がどうなっているかなんて、全く考える必要がない。
なぜなら、そのような情報とは無関係に(1)が導けていることが、機械的に容易に確認できるからだ。
実際、(1)を導くのに使ったのは、ほとんど limsup の定義のみである。

お前は証明の読み方が おかしい。

証明の中に盛り込まれてない別の情報Pとの整合性が お前にとって気になったのだとしても、
それはお前が自分の頭の中で解決すればいいだけの話であって、

「この証明は情報Pについての議論を盛り込むべきである」

なんていうことにはならない。その証明が情報Pとは無関係に進むことが機械的に確認できたなら、
その情報Pはお前にとっての単なる「杞憂」に過ぎなかったのであり、その証明は情報Pを盛り込む必要がどこにも無い。
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