[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658ﾚｽ)
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47: 2017/12/29(金)00:27 ID:gcYWyS10(2/7) AAS
>>38
＞１）稠密でない場合は、どこかにリプシッツ連続な区間（a,b）がとれる
＞２）稠密である場合は、仮定を満たす関数は存在しない（空集合）
いつまでそのゴミみたいな場合分けに拘るつもりだ？場合分けせずとも、例の pdf の証明を辿ることで
直接的に結論が出せるのだから、その場合分けは必要ない。仮に場合分けしたところで、
>>26-30で書いたことと全く同じ理屈になるだけから意味が無い。一応やってみようか？
[続く]
48: 2017/12/29(金)00:29 ID:gcYWyS10(3/7) AAS
[続き]
R−B_f は第一類集合とする。f がある開区間の上でリプシッツ連続であることを示したい。(1),(2)で場合分けする。
「その１(>>28)」の流儀の場合
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れて
矛盾するので、このケースは起きない。よって、(1)のみ考えればよい。そして(1)の場合は、
例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「その２(>>29)」の流儀の場合
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(1)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れて矛盾するので、
矛盾した状態からは何でも帰結できることにより、「リプシッツ連続な区間が取れる」ことになる。
よって、いずれの場合もリプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「その３(>>30)」の流儀の場合
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(1)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
よって、いずれの場合もリプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
このとおり、どの証明の どの場合分けにおいても、「例の pdf の証明そのもの」を
その都度 持ち出せば証明が終わるので、お前の場合分けは実質的には全く機能していない。
49: 2017/12/29(金)00:47 ID:gcYWyS10(4/7) AAS
>>44
＞ならば、c = x-1/M 、d = x+1/M として、ある区間（c, d）と書けるだろ？
＞定理1.7の証明は、それで終りでは？
息をするように間違えるゴミクズ。ぜんぜん終わらないよ。
なぜなら、その pdf の(1)の部分では「x」が固定されていて、動かせるのは y だけだからだ。
もし、お前が言うように c, d を定義したとしても、(1)で言えているのは
∀y∈(c, d) [ ｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜ ]
ということに過ぎず、y しか動かせていない。一方で、f が(c,d)上でリプシッツ連続であるためには、
∀y,z∈(c, d) [ ｜f(y) − f(z)｜ <= N ｜y − z｜ ]
が言えなければならない。しかし、補題1.5の条件だけでは、ここまで強いことは言えない。
あるいは、別の言い方をすると、次のように言ってもよい。まず、
f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
という例の関数を考える。すると、｜Af(0)｜＝｜f '(0)｜＝0＜＋∞ だから、この f と x＝0 に対して補題1.5 の議論が使える。
すると、そのまま(1)のところまで来たとき、もしスレ主の言い分が正しいなら、「それで終わり」となり、
この f は原点の近傍でリプシッツ連続ということになるが、実際にはそんなことは無いだろ？
つまり、スレ主の言い分は自動的に間違ってるということ。
50: 2017/12/29(金)01:04 ID:gcYWyS10(5/7) AAS
>>44
＞というが、それ（”全体で”）を導くことは、定理1.7（「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」）をいうだけなら、不必要では？
＞（ 上記のある区間（c,d）で、リプシッツ連続を言えば、定理1.7の証明は、そこで終わってないかい？ ）
その言い分そのものは正しいが、そのような (c,d) を見つける方法が全く自明ではなく、
ベールのカテゴリ定理を使わなければ そういう (c,d) が出て来ない、という話をしているんだよ。
つまり、(a,b) ⊂ B_f という条件に限定しても、例の定理の証明は ちっとも自明になってないってこと。
少し詳しく見てみようか？まず前提として、
状況Ａ：
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「 (a,b) ⊂ B_f を満たす開区間(a, b)が存在する」という条件からは
「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」という条件は導けない
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
という「状況Ａ」があるわけだ。すると、次のようになる。
(a,b)⊂B_f が成り立つとする。このとき、状況Ａにより、f は(a,b)全体でリプシッツ連続であるとは断言できない。
しょうがないので、(a,b)内の十分小さな区間(c,d)を取る。当然ながら、(c,d)⊂B_f である。
では、f は(c,d)上でリプシッツ連続なのか？残念ながら、状況Ａを区間(c,d)に対して適用すれば、
f は(c,d)上でリプシッツ連続だとは断言できない。では、(c,d)内の更なる小さな区間(s,t)を考えたらどうか？
当然ながら、(s,t)⊂B_f である。では、f は(s,t)上でリプシッツ連続なのか？
残念ながら、「状況Ａ」を区間(s,t)に対して適用すれば、f は(s,t)上でリプシッツ連続だとは断言できない。
……このように、いくら小さな開区間に限定しても、状況Ａがその開区間に適用できるので、
f がその区間の上でリプシッツ連続であるとは断言できなくなってしまう。
では、どうやって望みの部分区間(c,d)を見つければいいのか？
そのために本当に必要になるのが、ベールのカテゴリ定理である。
結局、(a,b) ⊂ B_f という条件に限定しても、例の定理の証明は ちっとも自明にならないのである。
51(2): ◆QZaw55cn4c 2017/12/29(金)01:06 ID:A/roP4cE(1) AAS
>>37
教科書（宮島微積分）では、逆像と逆写像を区別しており、
逆像：写像f: X->Y について、「B⊂Y に対してB に写されるような X の要素の全体 { x ∈X | f(x)∈B} をBのfによる逆像といい、f^(-1)(B) で表す」
逆写像：「写像f:X->Y が単写のときf の値域に属する要素 y に対して f(x) = y となる x ∈ Xが唯一つ存在するので、y∈f(X) にこの x を対応させる f(X) から X への写像が定義され
る。この写像をf^(-1) で表し、f の逆写像という。」
また、
「逆像 f^(-1)(B) に用いた f^(-1) と、逆写像の意味は微妙にずれている」
とも書かれています。教科書では
? f(A∩B)⊂f(A)∩ f(B)
?f^(-1)(A∩B)=f^(-1)(A)∩ f^(-1)(B)
の f^(-1) は逆像の意味で与えられているのですが、これは、 y = f(x) を満たす x が複数あっても??が成立するように見えます。
52: 2017/12/29(金)01:22 ID:gcYWyS10(6/7) AAS
>>44
＞それから、これは重要だが、補題1.5の証明中で、"∀y ∈ R[｜y − x｜ <1/M → ｜f(y) − f(x)｜ <= N(y − x)] (1) が成り立つ"というけれど
＞R−Bfが、稠密なら、区間(x-1/M, x+1/M)で、Dini微分が発散している点が、この区間内に多数存在することになるよ
＞それでも、"∀y ∈ R[｜y − x｜ <1/M → ｜f(y) − f(x)｜ <= N(y − x)] (1) が成り立つ"が言えるのかね？ （言えるとしても、区間内にDini微分発散点が稠密に存在するという前提を押さえた証明がなされるべきと思うが）
息をするように間違えるゴミクズ。その(1)では「x」が固定されていて、y の方しか動かせないので、
別の点におけるディニ微分が発散していようがいまいが、(1)にとっては何の関係も無いのである。
具体例を１つ挙げておく。
f(x) ＝ x^2 (｜x｜は有理数), −x^2 (｜x｜は無理数)
として f を定義すると、この f は原点以外の各点で不連続なので、特に Af(x)＝＋∞ (x≠0) が成り立つ。
しかし、この f は原点で微分可能であり、f '(0)＝0 である。特に、正整数 N を何でもいいから1つ取れば、
Af(0)＝｜f '(0)｜＝ 0 ＜ N
となるので、M＞0 を十分大きく取れば、
∀y ∈ R [｜y − 0｜ <1/M → ｜f(y) − f(0)｜ <= N｜y − 0｜] (1)
が成り立つことが実際に示せる。この(1)の様子を、グラフを書いて視覚的に確かめてみよ。
(f(y)−f(0)/(y−0))
という、x の方を x＝0 に固定して y の方だけ動かしたときの「傾き」は、y が原点に十分近ければ実際に有界の範囲に
収まっていることが視覚的に容易に確かめられるだろう(x≠0 なる任意の点では Af(x)＝＋∞が成り立っているにも関わらず)。
53(1): 2017/12/29(金)01:42 ID:gcYWyS10(7/7) AAS
>>44
＞（言えるとしても、区間内にDini微分発散点が稠密に存在するという前提を押さえた証明がなされるべきと思うが）
他の点でのディニ微分の値がどうなっているかなんて、全く考える必要がない。
なぜなら、そのような情報とは無関係に(1)が導けていることが、機械的に容易に確認できるからだ。
実際、(1)を導くのに使ったのは、ほとんど limsup の定義のみである。
お前は証明の読み方が おかしい。
証明の中に盛り込まれてない別の情報Ｐとの整合性が お前にとって気になったのだとしても、
それはお前が自分の頭の中で解決すればいいだけの話であって、
「この証明は情報Ｐについての議論を盛り込むべきである」
なんていうことにはならない。その証明が情報Ｐとは無関係に進むことが機械的に確認できたなら、
その情報Ｐはお前にとっての単なる「杞憂」に過ぎなかったのであり、その証明は情報Ｐを盛り込む必要がどこにも無い。
54(1): 2017/12/29(金)03:06 ID:fCvz7u7e(1/2) AAS
>>51
その通りです
yに対しy=f(x)を満たすxが複数有り得るからこそ?になり
ｘに対しy=f(x)を満たすyが複数あり得ないからこそ?になります
55: 2017/12/29(金)07:35 ID:fCvz7u7e(2/2) AAS
>>54
逆にfが写像(1価)でも単射なら
すなわち
yに対しy=f(x)を満たすxが複数あり得ないのであればf^-1の場合の?同様?は等号になります
56: 2017/12/29(金)15:32 ID:UhtZ751q(1) AAS
ガロアのスレ主がゴミクズ野郎なのがよく分かるな
57: 2017/12/29(金)17:19 ID:bDrChn34(2/2) AAS
スレ主は勉強するか黙るかどちらかにすべき
58(1): 2017/12/29(金)17:49 ID:41hqZa6e(1) AAS
お兄さん「先生来られました」
おばあさん「先生？」
おじいさん「数学の先生」
俺「まあ…うん…数学やってる」
おばあさん「計算が得意なの？」
俺「計算は…あまり得意じゃない。計算するのが数学じゃなくて計算するための理論を組み立てるのが数学だから」
59: 2017/12/30(土)12:02 ID:T5iI1wtu(1) AAS
スレ主は今年も進歩ゼロでしたとさ
60: 2017/12/30(土)13:17 ID:dSbKeTYf(1) AAS
ここまで酷いとホントにゴミだよ
なんで数学板にいるの？ってレベル
61: 2017/12/31(日)11:42 ID:yDllqZzl(1/2) AAS
>>58
これってスレ主？
62: 2017/12/31(日)12:15 ID:65THZoXS(1) AAS
ズレ主を表す今年の漢字2017は？
「誤」「乱」「偽」「劣」「愚」
63: 2017/12/31(日)15:12 ID:yDllqZzl(2/2) AAS
スレ主の反応が無い。
冬休み、うつ、飽きた
どれだ？
64: 2018/01/01(月)01:44 ID:9ORABeV3(1/2) AAS
スレ主がこのまま消えますように
65: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)17:04 ID:dCRrvhl7(1/27) AAS
皆さま、どうも。スレ主です。（＾＾
明けまして、おめでとうございます。
新年も、よろしくお願いします。ｍ（＿ ＿）ｍ
66: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)17:06 ID:dCRrvhl7(2/27) AAS
>>53
ID:gcYWyS10 さん、沢山レスありがとう
貴方のレスは、レベル高いね
あとで、じっくり読むよ（＾＾
67(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)17:07 ID:dCRrvhl7(3/27) AAS
で、勝手ながら、年末年始に読んだ関連を貼るよ（＾＾
まず、関連参考：検索でヒットしたので貼る。
BaireCategory.pdfの”3. Pointwise limits of continuous functions.”に、「422に書いた定理」の関連記述
「Theorem. If f : R → R is a pointwise limit of continuous functions,
then Df is Fσ meager (that is, a countable union of closed sets with empty interior).
(In particular, by Baire's theorem, f is continuous on a dense subset of R.)」とあり（当たり前か？ （＾＾ ）
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.utk.edu
MATH 447- Advanced Calculus I- Fall 2016- A. FREIRE
(or: ANALYSIS IN R^n)
(抜粋)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.utk.edu
Sets of discontinuity and Baire's theorem Baire Category Notes (5 problems) (the problems are HW8, due Friday 11/4)A. FREIRE 2016
(抜粋)
1. Sets of discontinuity. For f : R → R, we define
Df = {x ∈ R; f is not continuous at xg:
3. Pointwise limits of continuous functions.
Theorem. If f : R → R is a pointwise limit of continuous functions,
then Df is Fσ meager (that is, a countable union of closed sets with empty interior).
(In particular, by Baire's theorem, f is continuous on a dense subset of R.)
Proof. We know Df = ∪ n>=1 D1/n (see Section 1), so it suffices to show
that the closed sets Dε have empty interior, for any ε > 0.
By contradiction, suppose Dε contains an open interval I.
We'll find an open interval J ⊂ I disjoint from Dε!
Let fn → f pointwise on R, with each fn : R → R continuous.
For each N >= 1, consider the set:
CN = {x ∈ I; (∀m, n >= N)|fm(x) - fn(x)| <= ε/3}.
Clearly ∪ N>=1 CN = I (by pointwise convergence). QED
(引用終り)
つづく
68(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)17:08 ID:dCRrvhl7(4/27) AAS
>>67 つづき
（上記の関連参考：出典URL）
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.utk.edu
Math 447 Fall 2016- A. FREIRE
TOPICS
PART I: Topology
Supplementary handouts (for advanced students):
(adapted from more advanced classes and not yet in final form)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.utk.edu
Definitions and Theorems from General Topology
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.utk.edu
Locally compact Banach spaces are finite dimensional (includes 4 problems)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.utk.edu
Spaces of Continuous Functions (outdated)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.utk.edu
Stone-Weierstrass theorem-notes (includes 6 problems)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.utk.edu
Ascoli-Arzela-Notes (final-included 7 exercises with solutions, and 11 extra problems.)
外部ﾘﾝｸ:www.math.utk.edu
Alex Freire
Department of Mathematics
University of Tennessee
（終り）
つづく
69(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)17:10 ID:dCRrvhl7(5/27) AAS
>>68 つづき
あと、いま、「422に書いた定理」に、似た文献を見つけて読んでいる。（＾＾
”I-DENSITY CONTINUOUS FUNCTIONS Krzysztof Ciesielski他 1994”
これ、出版されていて、アマゾンでもヒットした
疑問が二つ
１）Proposition 1.1.1. の「Given ε > 0 there is a δ > 0 such that {x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) : |f(x) − f(x0)| ≧ ε} ∈ J.」で、普通のεδ論法だと、 |f(x) − f(x0)| ＜ ε と不等号の向きが逆になると思うが、誤植か？ σ-ideal を考えているから、これで良いのか？ どうも良いみたいだが
２）Corollary 1.1.6. の「(ii): There exists a residual set K such that f|K is continuous.*2」で、f|Kは、Theorem 1.1.4.の”(ii): There exists a set K ∈ J such that the restricted function f|Kc is continuous.”の記載ぶりとの比較から、f|Kcの誤記かなと思ったり？ 意味が全く違ってくる
これにも、「422に書いた定理」の関連記述あり（後述）
つづく
70(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)17:10 ID:dCRrvhl7(6/27) AAS
>>69 つづき
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.wvu.edu
I-DENSITY CONTINUOUS FUNCTIONS Krzysztof Ciesielski他 1994- 被引用数: 84
(抜粋)
CHAPTER 1
The Ordinary Density Topology
1.1. A Simple Category Topology
To gain some insight into what is happening with limits like this, it is useful
to generalize this idea to a topological setting.
A nonempty family J ⊂P(X) of subsets of X is an ideal on X if A ⊂ B and
B ∈ J imply that A ∈ J and if A∪B ∈ J provided A,B ∈ J. An ideal J on X
is said to be a σ-ideal on X if ∪n∈N An ∈ J for every family {An : n ∈ N} ⊂ J.
Let J be an ideal on R and Ｔo be the ordinary topology on R. The set
T (J) = {G ＼ J : G ∈ Ｔo, J ∈ J}
is a topology on R which is finer than Ｔo. The following proposition is evident
from the definitions.
Proposition 1.1.1. Let J be a σ-ideal on R and T (J ) be as above. For
f : (R, T (J )) → (R, Ｔo) and x0 ∈ R the following statements are equivalent to
each other.
(i): f is continuous at x0.
(ii): Given ε > 0 there is a δ > 0 such that
{x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) : |f(x) − f(x0)| ≧ ε} ∈ J.
つづく
71(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)17:11 ID:dCRrvhl7(7/27) AAS
>>70 つづき
Theorem 1.1.4. Let J be a σ-ideal and f : R → R. The following statements
are equivalent.
(i): The function f is J -continuous J -a.e.
(ii): There exists a set K ∈ J such that the restricted function f|Kc is continuous.
Furthermore, if the ideal J contains no interval, then the following statement is
equivalent to (i) and (ii)
(iii): There exists a function g : R → R such that f = g J -a.e. and g is continuous in the ordinary sense J -a.e.
Proof. The fact that (ii) implies (i) is obvious. Suppose (i) is true and let
f be J -continuous on a set M = Jc for J ∈ J. For each n ∈ N and x ∈ M,
by Proposition 1.1.1(ii) there is an open interval I(n, x) and a J(n, x) ∈ J such
that
x ∈ I(n, x) \ J(n, x) ⊂ f−1((f(x) − 1/n, f(x) + 1/n)).
For each fixed n, there must be a countable sequence xn,m ∈ M such that
M ⊂∪m∈N I(n, xn,m).
Let
K = J ∪ ∪ n,m∈N J(n, xn,m) ∈ J.
If x ∈ Kc and ε > 0, then there must exist natural numbers n and m such that
2/n < ε and x ∈ I(n, xn,m). Then |f(x) − f(xn,m)| < 1/n so that
f(x) ∈ (f(xn,m) − 1/n, f(xn,m) + 1/n) ⊂ (f(x) − ε, f(x) + ε)
つづく
72(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)17:11 ID:dCRrvhl7(8/27) AAS
>>71 つづき
and
I(n, xn,m) ∩ Kc ⊂ f−1((f(x) − ε, f(x) + ε)).
Hence, f|Kc is continuous at x.
To prove the last part of the theorem, note first that (iii) implies (ii) even
without the restriction that J contains no interval. Now suppose that J contains
no interval and that f,K are as in (ii). Define
(1) G(x) = lim sup t→x,t∈Kc f(t)
and
(2) g(x) = G(x) when G(x) is finite,
or = f(x) otherwise.
In particular, it follows from (ii) that f|Kc = g|Kc . Let x ∈ Kc and ε > 0.
According to (ii) there is a δ > 0 such that
(3) |g(y) − g(x)| = |f(y) − f(x)| < ε/2
whenever y ∈ (x − δ, x + δ) ∩Kc. If z ∈ (x − δ, x + δ) ∩K, then the assumption
that K can contain no nonempty open set implies the existence of a sequence
{zn : n ∈ N} ⊂ (x − δ, x + δ) ∩ Kc
such that f(zn) → G(z). Hence, by (3), G(z) is finite, so g(z) = G(z) and
|g(z) − g(x)| ? ε/2 < ε. Therefore, g is continuous at x. QED
つづく
73(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)17:12 ID:dCRrvhl7(9/27) AAS
>>72 つづき
The following example is interesting in light of the previous theorem.
Example 1.1.5. Let I be the σ-ideal consisting of all first category subsets of
R. I-continuity is often called qualitative continuity [26]. It is well-known in
this case that f is a Baire function if, and only if, f is qualitatively continuous I-a.e.
In particular, combining Example 1.1.5 with Theorem 1.1.4 yields the following
well-known corollary, which will be useful in the sequel.
Corollary 1.1.6. Let f : R → R. The following statements are equivalent.
(i): f is a Baire function.
(ii): There exists a residual set K such that f|K is continuous.*2
(iii): f is qualitatively continuous I-a.e.
In the case of Lebesgue measure, the following is true.
*2 A set is residual if its complement is first category. This is often called comeager.
つづく
74(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)17:12 ID:dCRrvhl7(10/27) AAS
>>73 つづき
If condition (i) in Theorem 1.1.4 is strengthened to everywhere, the following corollary results.
Corollary 1.1.8. Let J be a σ-ideal which contains no nonempty open set.
A function f : R → R is continuous everywhere if, and only if, it is J -continuous everywhere.
Proof. If f is continuous, then it is clearly J -continuous. So, suppose f is
J -continuous everywhere, x0 ∈ R and ε > 0. Using Proposition 1.1.1(ii), there
must be an ordinary open neighborhood G0 of x0 such that
F0 = {x ∈ G0 : |f(x) − f(x0)| > ε} ∈ J.
Suppose there is an x1 ∈ F0. Choose δ > 0 such that
δ < |f(x1) − f(x0)| − ε.
As before, there exists an ordinary open neighborhood G1 ⊂ G0 of x1 such that
F1 = {x ∈ G1 : |f(x1) − f(x)| > δ} ∈ J.
It is clear that G1 ⊂ F0 ∪ F1 ∈ J, because |f(x1) − f(x0)| > ε + δ. But, this
implies J contains a nonempty open set, which contradicts the condition placed
on J in the statement of the corollary. This contradiction shows that F0 = Φ.
The preceding corollary demonstrates that global J -continuity may not be a
very useful concept. In particular, it is worthwhile noting for future reference
that global I-continuity and global N-continuity are no different than ordinary continuity.
(引用終り)
つづく
75: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)17:13 ID:dCRrvhl7(11/27) AAS
sage
76(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/01/01(月)17:13 ID:dCRrvhl7(12/27) AAS
>>74 つづき
（上記の関連参考：出典URL）
外部ﾘﾝｸ:www.math.wvu.edu
Krzysztof Chris Ciesielski, Ph.D. Professor of Mathematics at Department of Mathematics, West Virginia University and Adjunct Professor at Medical Image Processing Group, Dept. of Radiology, Univ. of Pennsylvania.
(抜粋)
Books:
(with L. Larson and K. Ostaszewski) I-density continuous functions, Memoirs of the AMS vol. 107 no 515, 1994; MR 94f:54035.
(引用終り)
外部ﾘﾝｸ:www.amazon.co.jp
I-Density Continuous Functions (Memoirs of the American Mathematical Society) (英語) Krzysztof Ciesielski (著),? Lee Larson (著),? Krzysztof Ostaszewski (著) 1994/1/1
外部ﾘﾝｸ:www.jstor.org
JOURNAL ARTICLE I-density Continuous Functions Krzysztof Ciesielski, Lee Larson and Krzysztof Ostaszewski Real Analysis Exchange Vol. 15, No. 1 (1989-90), pp. 13-15 Published by: Michigan State University Press
（終り）
つづく
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