[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね426 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)

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106: １３２人目の素数さん [sage] 2017/05/08(月) 00:15:11.61 ID:kIwDpys/ >>103 ライプニッツの収束条件から絶対収束 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1493648300/106

108: １３２人目の素数さん [] 2017/05/08(月) 00:35:33.24 ID:kmZQkan3 >>106 ありがとうございました。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1493648300/108

109: １３２人目の素数さん [sage] 2017/05/08(月) 01:48:03.43 ID:mdulbz+D >>106 交代級数に関するライプニッツの定理は、単純収束。 x>0 のとき log(1+x) < x なので、 Σ[n=1→∞]log(1+1/n^2) ≦ Σ[n=1→∞]1/n^2 ≦ 1 + Σ[n=2→∞]1/{n(n-1)} = 1 + lim[m→∞]Σ[n=2→m]{1/(n-1) - 1/n} = 1 + lim[m→∞]{1/1 - 1/m} = 2. 絶対級数が有界なので、与式は絶対収束する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1493648300/109

127: １３２人目の素数さん [sage] 2017/05/08(月) 19:49:31.33 ID:mdulbz+D >>124 Σ[n=2→∞]{(-1)^n}/log(n) の収束は、 >>106 の言うライプニッツ判定法で収束。 ただし、単純収束である。 絶対収束がどうかと言えば、与式の絶対級数 Σ[n=2→∞]1/log(n) が発散するので、 Σ[n=2→∞]{(-1)^n}/log(n) は条件収束となる。 絶対級数の発散は、前の例と同じ x>0 で log(1+x)<x から、 Σ[n=2→∞]1/log(n) = Σ[m=1→∞]1/log(m+1) ≧ Σ[m=1→∞]1/m = +∞　のため、発散。 Σ[m=1→∞]1/m は、大変有名な発散級数で、 ライプニッツ判定法が単純収束であることの 代表例としても有名だ。 Σ[m=1→∞]{(-1)^m}/m = log(2), Σ[m=1→∞]1/m = +∞. Σ[m=1→∞]1/m = +∞　を示すには、 x>m で　1/m > 1/x であることから 両辺を　m≦x≦m+1 で積分して 1/m > log(m+1)-log(m). これを m=1,2,3,→∞ で総和して Σ[m=1→∞]1/m ≧ lim[m→∞]log(m+1) = +∞. Σ[n=1→∞]1/n^s の収束条件が s>1 であることも 押さえておくといい。興味があれば、 「ディリクレ級数 ゼータ関数」を google. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1493648300/127

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