[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第４章 (706ﾚｽ)

不等式への招待 第４章 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/

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503: １３２人目の素数さん [sage] 2009/09/30(水) 13:39:35 ＞F,Gを[0,1]→[0,1]を満たす実連続関数であるとし、Fを単調増加関数であるとする。 ＞∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dxを示せ 0≦x≦1とする。t∈[x,1]のときF(x)≦F(t)だから、両辺をxから1までtで積分して (1−x)F(x)≦∫[x,1]F(t)dt が成り立つ。変形してF(x)≦xF(x)＋∫[x,1]F(t)dt となる。F≧0だから ∫[x,1]F(t)dt≦∫[0,1]F(t)dtであり、また、x≧0，F(x)≦1よりxF(x)≦x である。これらを用いて F(x)≦x＋∫[0,1]F(t)dt を得る。これは任意のx∈[0,1]で成り立つから、(Gの値域)⊂[0,1]であることから x＝G(y)，y∈[0,1] と置いても上の不等式は成り立つ。つまり F(G(y))≦G(y)＋∫[0,1]F(t)dt が任意のy∈[0,1]で成り立つ。この不等式をyで0から1まで積分すればよい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/503

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