不等式への招待第４章

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327(1): 2009/08/07(金)03:17 AAS
>>325
相加平均=相乗平均

328(1): 2009/08/07(金)03:20 AAS
a=-1,b=0,c=1の場合は？

329: 2009/08/07(金)03:21 AAS
>>328
≠0

330: 2009/08/07(金)03:23 AAS
>>327
適用条件

331(4): 2009/08/07(金)03:23 AAS
>>326
(負)^(1/3) は定義されてない，というかできない．

(-8)^(1/3) = -2 としたいところだが

(-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6) = 64^(1/6) = 2

と矛盾を起こしかねないから。

332(4): 2009/08/07(金)03:26 AAS
>>331
ネタ？
指数法則はどこいったの

333(1): 2009/08/07(金)03:30 AAS
（－１）＾１＝（－１）＾（２／２）＝（（－１）＾２）＾（１／２）＝１＾（１／２）＝１。

334(1): 2009/08/07(金)03:31 AAS
>>332
大丈夫だよ
どこにも行っていないよ
安心しておやすみ

335(2): 2009/08/07(金)03:40 AAS
ａ＝８。
ｂ＝－１。
ｃ＝－１。

336(2): 2009/08/07(金)03:58 AAS
高校数学の範囲では、√の左側にnを小さく書くのを(n)√と表すとすると
nが奇数のとき、
aが正なら(n)√aは正の実数値
aが負なら(n)√aは負の実数値
をとるものとする、と教科書に明記されている。
しかし、a^(1/n)という記法は、
教科書ではa＞0の場合しか定義されていない。
省2

337(1): 2009/08/07(金)04:01 AAS
>>336
それにしたって a>>0 に限定されているはずだ

338(2): 2009/08/07(金)04:16 AAS
>>333
これのおかしいところが分からないんだけど…
天才な俺に解説してください！

339: 2009/08/07(金)04:17 AAS
>>337
指数法則

340: 2009/08/07(金)04:18 AAS
338だった

341: 2009/08/07(金)04:26 AAS
>>335の場合はokやんな？

342: 2009/08/07(金)04:27 AAS
>okやんな？
ムカつく

343: 2009/08/07(金)04:30 AAS
三角形ABCにおいて、sinA+sinB+sinCの最小値を求めよ。

最大値は凸不等式で出るんですけど最小値の出し方がわかりません・・・

344: 2009/08/07(金)04:38 AAS
A,B,Cを0,0,πに近づければ値が0に近づく

345(1): 2009/08/07(金)07:24 AAS
>>331
多価関数として定義すれば無問題

346(2): 2009/08/07(金)08:00 AAS
>>338
お前ら複素関数論を知らんのか？
一般のベキの定義は多価関数だろうが！　　　　　　　

と思ったら、ここは工房スレかorz

347: 2009/08/07(金)08:47 AAS
>>346 2chは良く言えばがらくた市
掃きだめの中に鶴が見つかれば大吉

348(2): 2009/08/07(金)09:23 AAS
>>345 >>346
複素数まで広げちゃうと不等式にそぐわなくないかい？

349(1): 2009/08/07(金)09:35 AAS
>>348
そりゃ複素数に不等号（大小関係）は無いが、>>332や>>338のような奴がいるからなｗ
そういうアホな突っ込みをする前に、函数論を勉強してから来いと

350(1): 2009/08/07(金)09:37 AAS
>>348
負の実数の1/3乗の主値を、負の実数と決めれば
>>323に関しては問題ないだろ。

351(1): 2009/08/07(金)09:38 AAS
>>336
> aが負なら(n)√aは負の実数値

a=-1， n=2 のとき√-1は負の実数値なのですかｗ

ゆとりの影響は恐ろしいなｗ

352: 2009/08/07(金)09:39 AAS
>>351
nが奇数のとき
の文字が見えんのか

353: 2009/08/07(金)10:10 AAS
本当にゆとりの影響は恐ろしいな

354(1): 2009/08/07(金)11:28 AAS
>>350
それでも>>331の問題が解決できぬ

355: 2009/08/07(金)11:43 AAS
ゆとり不等式

356(1): 2009/08/07(金)14:22 AAS
>>354
あ゛ーもうどいつもこいつもお塩も法子も．．．

(-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6) = 64^(1/6) = 2
が
(-1)^1 = (-1)^(2/2) = ((-1)^2)^(1/2) = 1^(1/2) = 1
と同じ暴論だということもわからんのか。

357: 2009/08/07(金)15:42 AAS
お塩と法子ｗｗ

358: 2009/08/07(金)16:20 AAS
AA省

359: 2009/08/07(金)16:25 AAS
画像ﾘﾝｸ[jpg]:www4.himitsukichi.info
コイツも覚せい剤やってそう

360: 2009/08/07(金)17:45 AAS
>>323
3乗根に関して不毛(?)な議論が繰り広げられてるが、
{(a+b+c)/3}^3=abc≠0で考えればいいだろうし、この問題の場合
a,b,cをすべてt(≠0)倍してもkの値や条件式に変化がないから、
abc>>0として大丈夫だろう。

で、自信はないが
a+b+c=1としてよく、このときabc=1/27
省10

361(1): 2009/08/07(金)19:32 AAS
＞a,b,cをすべてt(≠0)倍してもkの値や条件式に変化がないから、
＞abc>>0として大丈夫だろう。

Why ?

362: 2009/08/07(金)19:33 AAS
whyもなにも書いてある通りだろ

363: 360 2009/08/07(金)19:36 AAS
>>361
abcが負のとき、-a,-b,-cを新たにa,b,cとすればabc>>0
でも、これでも{(-1)^3}^(1/3)がでてきて、
解決にはなってないような気がすると思い始めてきた

364: 2009/08/07(金)19:48 AAS
(abc)^(1/3)は或る実数 r か rω か rω^2 なんだから
そのうち r を表す場合以外は解無しだと思う

365: 2009/08/07(金)20:05 AAS
夏だからなのか？そうなのか？そうなんだな？

366(1): 2009/08/07(金)20:30 AAS
>>356
どの辺が暴論？

367: 2009/08/07(金)20:43 AAS
a,b,cを実数とするとき
r^3 = abc を満たす実数 r(a,b,c) は唯一つ存在する。

実数a,b,cが(a+b+c)/3=r(a,b,c)≠0を満たすとき
k=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)の取り得る値の範囲を求めよ

これなら問題ないんだよね

368: 360 2009/08/07(金)22:46 AAS
重大なミスを発見
> k≧(28/27)/(1/3-1/27)-2=3/2
ab+bc+ca<1/27を考えてなかった。
k<-2または3/2≦kだな。
実際>>335のように a=8,b=c=-1のときk=-30/7

369(5): 2009/08/07(金)23:06 AAS
>>366
指数定理
　(a^m)^n=a^(mn)
が成り立つのは、
「a＞0である」か「m,nがともに整数である」かの
どちらかの条件を満たす場合である。
だから
省3

370: 360 2009/08/07(金)23:12 AAS
頭に残ってたもやもやを取り除く方法を思いついたら、
また間違いに気付いたorz
十分性に欠けることには気づいてたんだが…

ab+bc+ca=pとおくとa,b,cは
t^3-t^2+pt-1/27=0の解
判別式 -{(4p+5/3)(p-1/3)^2}/27≧0より
p=1/3またはp≦-5/12
省2

371: 2009/08/07(金)23:14 AAS
>>369の修正
誤：指数定理
正：指数法則

372: 2009/08/07(金)23:27 AAS
>>369
知らなかった…

373: 2009/08/08(土)01:28 AAS
>>349
>>369を見ても>>332がおかしいと思う？

374(1): 2009/08/08(土)01:35 AAS
　>>326　→　>>331
→>>332　→　>>334

良く見ろ

しかし最近レベルの低いレスがやたら増えたな

375: 2009/08/08(土)01:42 AAS
>>369
だからこそ (-8)^(1/3) = -2 と安直に定義するわけにはいかない
というのが >>311 の趣旨ではないかと思うが

まあ，この矛盾を避けるために

[1] (負）^(1/3) の定義を許さない
[2] 定義は許すが指数法則の適用を許さない

の両者の立場の違いなのかとも思うが，
省3

376(2): 2009/08/09(日)08:26 AAS
p>>1 なる実数に対して、以下の不等式を示せ：

∫_[0-->∞] p/(t^p +1) dt ≦ π/ sin (π/p).

377: 2009/08/09(日)08:29 AAS
>>374
本当だよ。
複素ベキを知らない奴が８割もいるｗ

はっきり言って、受験生は板違いだから。

このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20)
＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part89＊＊＊ [大学受験]

378: 2009/08/09(日)08:49 AAS
>>369
嘘つくなボケ！

379: 2009/08/09(日)08:51 AAS
オイラーの公式をしらんのか？

e^{πi}=-1

380: 2009/08/10(月)01:53 AAS
AA省

381(1): 2009/08/10(月)02:14 AAS
>>40

382: 2009/08/10(月)03:09 AAS
>>381
a≧c≧0≧bの場合を考えれば良く
a(a+c)x+c(a+c)y=xa^2+yc^2+(x+y)ac≧(x+y+2√xy)ac
より
abx+bcy+caz≦(z-x-y-2√xy)ac=(√z+√x+√y)(√z-√x-√y)ac　……①
ここで条件より√z≦1≦√x+√yなので①≦0
よってabx+bcy+caz≦0

383(1): 2009/08/11(火)21:09 AAS
kＣ［n，r］≦Ｃ［nk，rk］

384(1): 2009/08/12(水)01:41 AAS
Ｃ[nk,rk]≧(Ｃ[n,r])^k
より明らか

385(2): 2009/08/12(水)13:26 AAS
>>383 >>384
r≠0,nか?

ζ(s)=Σ[n=1,∞]1/(n^s)とする。
Σ[s=3,∞]{ζ(s)-1}<1/2を示せ。
(できればζ(2)=π^2/6を用いないで)

386(1): 2009/08/12(水)15:15 AAS
>>385
ζ(3)-1<∑[n=2_∞]1/(n^3-n)<1/4
ζ(s+1)-1<{ζ(s)-1}/2
より
Σ[s=3_∞]{ζ(s)-1}<2{ζ(3)-1}<1/2

387(1): 2009/08/12(水)18:15 AAS
AA省

388: 2009/08/12(水)18:24 AAS
>>315

〔補題〕
A+B+C=π、mは整数のとき
　{sin(mA)}^2 + {sin(mB)}^2 + {sin(mC)}^2 ≦ ９／４,
(略証)
m=0 のときは明らかだから m>>0 とする。
左辺は mA, mB, mC について周期π をもつ。剰余を
省22

389(1): 2009/08/12(水)19:35 AAS
α＝ｅ＾π、β＝π＾ｅとする

ｅ＾α、ｅ＾β、π＾α、π＾β

の大小関係を答えよ

390: 2009/08/13(木)17:44 AAS
>>387 (別解)

A+B+C = π のとき
　{sin(mA)}^2 + {sin(mB)}^2 + {sin(mC)}^2
　= 2 -(1/2){cos(2mA) + cos(2mB)} - {cos(mC)}^2
　= 2 - cos(m(A+B))cos(m(A-B)) - {cos(mC)}^2
　= 2 - cos(m(π-C))cos(m(A-B)) - {cos(mC)}^2
　= 2 - γ･cos(mC) - {cos(mC)}^2
省4

391(1): 2009/08/13(木)19:03 AAS
>>385

n≧2 のとき
　1/n ≦ 3/{2(n+1)},
∴　Σ[s=3,∞) 1/(n^s) = 1/{(n^3)[1-(1/n)]}
　= 1/{(n^2)(n-1)}
　≦ 3/{2(n-1)n(n+1)}
　= (3/4){1/((n-1)n) - 1/(n(n+1))},
省13

392: 385 2009/08/13(木)19:41 AAS
>>386 >>391
正解です。にしても評価粗すぎたなw
最初の想定では
Σ[s=2,∞]{ζ(s)-1}=1とζ(m)-1>Σ[s=m+1,∞]{ζ(s)-1}
で証明だったが(だからζ(2)の条件を付けた)
考えてみたらζ(s)<1+2/2^s+4/4^s+…くらいの評価で示せたorz

ついでに
省2

393: 2009/08/13(木)19:59 AAS
つまらん

394(3): 2009/08/14(金)20:49 AAS
>>316
　
〔問題38〕
三角形の辺の長さの和をa,b,c,
頂角A,B,Cの二等分線と対辺の交点をA",B",C" とおくとき、
　(1/2)(a+b+c) < AA" + BB" + CC" ≦ {(√3)/2}(a+b+c),
等号成立は a=b=c (正三角形) のとき。 (大塚氏による)
省3

395(2): 2009/08/14(金)20:55 AAS
>>394

(左側) 　
角の二等分線は△の内部で交わるから、
　a = BC < BB" + C"C,
　b = CA < CC" + A"A,
　c = AB < AA" + B"B,
辺々たして2で割る。　
省18

396: 2009/08/15(土)01:37 AAS
AA省

397(1): 2009/08/15(土)02:35 AAS
516:大学への名無しさん[]
2009/08/07(金) 17:14:38 ID:ZA6uauFfO
みんな聞いてくれ。昨日電車で勉強してたんだが、前にいた女がいきなり「この人、今痴漢しました。」って俺に指さして騒いだわけ。この意味が分かるかな？
そう俺はそのとき痴漢積分していたのだ。

398: 2009/08/15(土)03:12 AAS
褒美だ！

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ、ｿﾚﾊﾎｳﾋ！
　くく　へﾍﾉ ←>>397

399: 2009/08/15(土)15:29 AAS
>>376は？

400(5): 2009/08/15(土)18:16 AAS
x,y,x∈R、x+y+z=1, xy+yz+zx=-8 のとき x^3+y^3+z^3 の最大最小。

2文字消去して定義域出して微分して解析、
という吐き気を催す解法しか思いつかなかった。
誰かかっこよく頼む。

401(1): 2009/08/15(土)19:30 AAS
>>400
x y z = s とおくと x, y, z は X^3 + X^2 - 8 X + s の解．また，
x^3 + y^3 + z^3
= 3 (x y z) + (x + y + z)^3 - 3 (x + y + z) (x y + y z + z x)
= 3s + 25
なので x^3 + y^3 + z^3 の最小化するためには，
X^3 + X^2 - 8 X + s が３実数解を持つ条件で s を最小化すればよい．
省5

402: 2009/08/15(土)19:30 AAS
そんな数II・Bﾚﾍﾞﾙの問題はスレ違い

403: 401 2009/08/15(土)19:32 AAS
最大値を忘れてたが、判別式から 176/27 だな。

404(1): 2009/08/15(土)20:23 AAS
>>401
アンチョコって？

405: 2009/08/15(土)20:34 AAS
>>404
覚えてないからメモを見たってことでしょ

406(1): 2009/08/16(日)06:33 AAS
f(x),f'(x),f''(x),g(x)は連続でf''(x)≧0とする

(∫[a,b]f(g(x))dx)/(b-a)≧f((∫[a,b]g(x)dx)/(b-a))

407(2): 2009/08/17(月)02:02 AAS
>>400
n∈N, t[n]=x^n+y^n+z^nとおくとt[1]=1, t[2]=-15
x, y and zはtの3次方程式t^3-t^2-8t-xyz=0の根で
y=t^3-t^2-8tとy=xyzのグラフを考えてx, y, and z∈Rとなるのは-12≦xyz≦176/27
t^3-t^2-8t-xyz=0にt=x, y, and zを代入し辺ごと足してt[3]+15-8-3xyz=0 i.e. t[3]=3xyz-7
よって求める最小値, 最大値は-43, 113/9

t^3-t^2-8t-xyz=0の両辺にt^nをかけてからx. y and zを代入して辺ごと足すと
省1

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