[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第４章 (706ﾚｽ)
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360: 2009/08/07(金)17:45 AAS
>>323
3乗根に関して不毛(?)な議論が繰り広げられてるが、
{(a+b+c)/3}^3=abc≠0で考えればいいだろうし、この問題の場合
a,b,cをすべてt(≠0)倍してもkの値や条件式に変化がないから、
abc>>0として大丈夫だろう。

で、自信はないが
a+b+c=1としてよく、このときabc=1/27
a/(b+c)+1=(a+b+c)/(b+c)=1/(b+c)
k+3=1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)
よって(k+3)(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)

(a+b)(b+c)(c+a)=(1-a)(1-b)(1-c)
=1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc=ab+bc+ca-1/27
(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)=(a+b+c)^2+ab+bc+ca=ab+bc+ca+1
k=(ab+bc+ca+1)/(ab+bc+ca-1/27)-3=(28/27)/(ab+bc+ca-1/27)-2

ab+bc+ca={(a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2}/2=(1-a^2-b^2-c^2)/2であり、
(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)≧(a+b+c)^2からab+bc+ca≦(1-1/3)/2=1/3
k≧(28/27)/(1/3-1/27)-2=3/2

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