[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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208(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)00:01 ID:xSRlEtRO(1/17) AAS
>>146 補足
(引用開始)
(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
(引用終り)
この整列可能定理の系を思いついたので、書いておく
>>203の集合Tとその元 s1,s2,s3 ・・・∈T の表記を借用する
＜整列可能定理の系（冒頭 有限個は任意）＞：
可算無限以上の濃度とする集合Tに対して、整列可能定理を認めるとする
省11
216(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)07:53 ID:xSRlEtRO(2/17) AAS
ふっふ、ほっほ
ご苦労さまです
>>209
>>・答え N
>大間違い
>Tの元を余すことなく並べたことが否定されればよいので、並べ方は任意でよい
並べ方に、自由度があることは認めるが
しかし、完全な任意ではない！
そのことを、>>207で示した！！ｗ
>いや並べ方はTのだよｗ 何の話してんだよｗ
省19
218(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)09:49 ID:xSRlEtRO(3/17) AAS
>>217
おサルさんさ
可算選択公理を認めれば、対角線論法がスッキリと簡明になるって話よ
そんなに 必死に 可算選択公理を否定することもないと思うよ ｗ
『カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』
それだけの話なのだからｗ ；ｐ）
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
可算選択公理
省1
221(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)10:24 ID:xSRlEtRO(4/17) AAS
>>214
うん
有名な資料で、旧ガロアすれでも取り上げたが
下記の ”自己言及の論理と計算∗長谷川真人”
”自己言及と対角線論法”
”停止性問題”
”対角線論法から不動点へ”
ここらが、重要キーワードだな （＾＾
(参考)
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
省13
222(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)10:44 ID:xSRlEtRO(5/17) AAS
>>221
>”自己言及と対角線論法”
対角線論法より以前に、カントールの最初の実数の非可算を証明した話が下記にある
しかし、繰り返すが >>218『カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている』
ので、下記で 可算選択公理の役割は、定かではない（多分使っていると推測しています）
(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument
Cantor's diagonal argument
（google訳）
実数
省13
223: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)10:44 ID:xSRlEtRO(6/17) AAS
つづき
カントールの不可算定理の証明[見せる]
カントルは彼の不可算定理を述べるだけで、いかなる証明にもそれを使用していない。[ 3 ]
The proofs
First theorem
略す
Second theorem
略す
Cantor's 1879 uncountability proof
Everywhere dense
省11
224(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)10:51 ID:xSRlEtRO(7/17) AAS
>>221-222 補足
”自己言及の論理と計算∗長谷川真人”
の受け売りだが
”自己言及と対角線論法”などにあるように
対角線論法は、集合論の 実数の非可算を越えて
いろんな分野で、使われるようになった
その意味で、対角線論法は
超重要キーワードってことです！（＾＾
225(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)10:58 ID:xSRlEtRO(8/17) AAS
>>100
(引用開始)
なんらかの
例えば、可算選択公理や、従属選択公理がないと
有理コーシー列は出来ても
そこで”詰みます”ってことでいい？
(引用終り)
戻るよ
・可算選択公理や、従属選択公理 なしで
有理コーシー列は出来る
省4
235(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)18:14 ID:xSRlEtRO(9/17) AAS
戻る
>>83-84 より再録
fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix_d%C3%A9nombrable
Axiome du choix dénombrable 仏語 可算選択の公理
（google訳）
たとえば、集合S ⊆ Rの累積点xがS \{ x }の要素シーケンスの極限であることを証明するには、可算選択公理の (弱い形式) が必要です。任意の計量空間の累積点について定式化すると、このステートメントは AC ω 3と等価になります。
誤解
一般的に誤解されているのは、AC ωには反復性があるため、帰納法によって (ZF または同等のシステム、またはより弱いシステムでさえも) 定理として証明できるということです。しかし、そうではありません。この誤った考えは、可算選択の概念と、サイズ n の有限集合(n は任意に選択) に対する有限選択の概念との混同の結果であり、後者の結果です (組み合わせ分析の初等定理です)。それは帰納法で証明できます。
（google 仏→英 訳）
There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
省7
236(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)18:15 ID:xSRlEtRO(10/17) AAS
つづき
Notes et références
3．Pour d'autres énoncés équivalents à ACω, voir (en) Horst Herrlich, « Choice principles in elementary topology and analysis », Comment. Math. Univ. Carolinae, vol. 38, no 3, 1997, p. 545-552 (lire en ligne [archive]) et (en) Paul Howard et Jean E. Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, Providence, R.I., AMS, 1998.
archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
1. In the realm of the reals
We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles.
Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
省25
239(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)19:08 ID:xSRlEtRO(11/17) AAS
>>235-236より
1）可算選択の公理なしで、コーシー列の収束が言えることと
上記 fr.wikipedia 可算選択公理における下記の記述とは、矛盾しない と思う
”Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x,
3. a real-valued function f : A → R from a subspace A of R is continuous iff it is sequentially continuous,
4. each subspace of R is separable,
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
省14
240: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)19:09 ID:xSRlEtRO(12/17) AAS
つづき
(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Separable_space
Separable space
In mathematics, a topological space is called separable if it contains a countable, dense subset; that is, there exists a sequence
{xn}n=1〜∞ of elements of the space such that every nonempty open subset of the space contains at least one element of the sequence.
Like the other axioms of countability, separability is a "limitation on size", not necessarily in terms of cardinality (though, in the presence of the Hausdorff axiom, this does turn out to be the case; see below) but in a more subtle topological sense. In particular, every continuous function on a separable space whose image is a subset of a Hausdorff space is determined by its values on the countable dense subset.
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E5%88%86%E7%A9%BA%E9%96%93
可分空間
数学の位相空間論における可分空間（かぶんくうかん、英: separable space）とは、可算な稠密部分集合を持つような位相空間をいう。つまり、空間の点列 {xn}∞〜n=1 で、その空間の空でない任意の開集合が少なくとも一つその点列の項を含むものが存在する。
省4
242(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)19:40 ID:xSRlEtRO(13/17) AAS
>>239
(引用開始)
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
7. N is a Lindel¨ of space,
(引用終り)
1）リンデレフ空間 までしか言えてない ；ｐ）
2）Rだと、Compact space なのだが・・、下記 Compact space
Metric spaces の項 で、”For any metric space (X, d), the following are equivalent (assuming countable choice)”
とあって、
省11
243: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)19:41 ID:xSRlEtRO(14/17) AAS
つづき
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Compact space
（google訳）
数学、特に一般位相幾何学において、コンパクト性はユークリッド空間の閉じた有界部分集合の概念を一般化しようとする性質である。[ 1 ]コンパクト空間には「穴」や「欠けている端点」がなく、すべての点の極限値が含まれているという考え方である。例えば、開区間(0,1) は 0 と 1 の極限値を除外するためコンパクトではないが、閉区間 [0,1] はコンパクトである。同様に、有理数の空間Qは
コンパクトではない。なぜなら、無理数に対応する「穴」が無限にあり、実数空間Rは
2つの極限値+∞ 、−∞を除外しているため、コンパクトではありません。
しかし、拡張された実数直線は両方の無限大を含むためコンパクトになります。
この経験的概念を正確にする方法は多数あります。
これらの方法は通常、計量空間では一致しますが、他の位相空間では同等ではない場合があります
省12
247(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)22:48 ID:xSRlEtRO(15/17) AAS
>>244-246
ふっふ、ほっほ
>>255 より再録
(引用開始)
なんらかの
例えば、可算選択公理や、従属選択公理がないと
有理コーシー列は出来ても
そこで”詰みます”ってことでいい？
(引用終り)
戻るよ
省7
248: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)22:51 ID:xSRlEtRO(16/17) AAS
>>247 タイポ訂正
>>255 より再録
↓
>>225 より再録
250(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/13(月)23:59 ID:xSRlEtRO(17/17) AAS
>>242
(引用開始)
3）とすると、(assuming countable choice) ならば、>>239より
”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
だから、不足しているのは Rが ”Metric” であることだが。”Rが Metric”をいうには、countable choice だけでは 不足なのかな？
(引用終り)
下記 Construction of the real numbers の
Construction from Cauchy sequences で
metric spaces として completion（完備）までやっているが、どの選択公理を使うかの記述がない
”axiom of dependent choice”だと思うのだが・・ （＾＾
省11
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