[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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522: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)10:00 ID:OWxAi42s(1/12) AAS
＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
(あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ）
>>520-521
ふっふ、ほっほ
なんか、「循環論法」から ズレまくってないか？
えーと
(再掲)>>510より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
省22
526(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)11:46 ID:OWxAi42s(2/12) AAS
>>524-525
>左側はfの反復によって決まるので
>fの定義の前には決まらない
>だからfに先立って反復に現れる集合の全体を決めるのは循環論法
言っている意味がわからんｗ ；ｐ）
下記の 東北大 尾畑研 第13章 整列集合 定理13.18 (超限帰納法)
百回音読してねｗ ；ｐ）
その上で、いま 選択公理だけで
>>510 Jech, Thomas (2002).の
A∖{aξ∣ξ<α} が定義できれば
省25
533(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)13:43 ID:OWxAi42s(3/12) AAS
＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
(あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/
>>521 >>529-532
>選択公理から整列定理が導けるが、可算選択公理から”可算整列定理”が導けるなんて誰もいってない
ふっふ、ほっほ
さあ、徹底的にやろうな！！ｗｗｗ ；ｐ）
そこは>>480 に整理したよ。百回音読してね
>>480より
”可算選択公理(可算無限ωに制限) ←→ 可算整列可能定理 (列長さ 可算無限ωに制限) *)
省16
534: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)13:43 ID:OWxAi42s(4/12) AAS
つづき
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の n 項を有限列としてとることはできる。
従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである。
公理 DC は AC の断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である。
DCはツォルンの補題の弱い形と同値である; 具体的には
DC は全ての整列された鎖が有限で有界であるような半順序は必ず極大元を持つという命題と同値である。[3]
他の公理との関連
省18
535: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)13:44 ID:OWxAi42s(5/12) AAS
つづき
de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlbares_Auswahlaxiom
独語（google英訳）
Countable Axiom of Choice
Of course, for certain (possibly uncountable) sets of nonempty sets, a selection function can also be specified without the (countable) selection axiom, e.g.
・when the cut ∩A is not empty, because then there is a constant selection function,
・if the association ∪A well-ordered , because then the smallest element in terms of well-ordering can be taken from any set, and
・if it is a family of intervals of real numbers, because then the midpoint of each interval can be taken.
On the other hand, even for a countable family of two-element sets, the existence of a selection function cannot be proven in ZF.
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
省7
536: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)13:44 ID:OWxAi42s(6/12) AAS
つづき
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数（英: ordinal number）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする写像 GA, < を超限帰納法によって
GA,< (a)={GA,<(x)∣x<a}
と定義したとき、GA, < の値域 ran(GA, <) を (A, <) の順序数といい、
これを ord(A, <) で表す。
ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[2]。
集合の濃度と基数
省20
537: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)13:45 ID:OWxAi42s(7/12) AAS
つづき
en.wikipedia.org/wiki/Countable_set
Countable set
Theorem — (Assuming the axiom of countable choice)
The union of countably many countable sets is countable.[f]
We need the axiom of countable choice to index all the sets
a,b,c,… simultaneously.
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大 尾畑研
第13章 整列集合
省12
540: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)14:12 ID:OWxAi42s(8/12) AAS
追加参考
順序数の算術 藤田博司 愛媛大
外部ﾘﾝｸ:www.sci.shizuoka.ac.jp
数学基礎論サマースクール
選択公理と連続体仮説 2019年9月3日
世話人：依岡輝幸（静岡大学理学部数学科
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.sci.shizuoka.ac.jp
集合・濃度・順序数・基数
藤田博司 愛媛大学理学部
2019 年9月3日
省3
541(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)14:34 ID:OWxAi42s(9/12) AAS
>>538
>間違い読みしてるうちは正しく理解できないよ
ふっふ、ほっほ
>>533より
”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
(あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
おれは、
自分が何をどこまで理解しているかを
示そうとしては いない！ｗｗ
省12
547(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)18:26 ID:OWxAi42s(10/12) AAS
>>541 つづき
”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
(あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
>>544 お愉しみを邪魔して悪いが
ちょっと、『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に戻る
結論は
１）ZF上で、コーシー列が収束することは言える
２）ZFC上でならば、コーシー列が収束することが、実数の定義として成り立ち
従来知られている 実数の位相的な性質 完備距離空間だとか なんだとか いろいろ 言える
省24
548: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)18:27 ID:OWxAi42s(11/12) AAS
つづき
(参考 追加)
en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice
Equivalent forms
There are many equivalent forms to the axiom of countable choice, in the sense that any one of them can be proven in ZF assuming any other of them. They include the following:[8][9]
・Every countable collection of non-empty sets has a choice function.[8]
・Every infinite collection of non-empty sets has an infinite sub-collection with a choice function.[8]
・Every σ-compact space (the union of countably many compact spaces) is a Lindelöf space (every open cover has a countable subcover).[8] A metric space is σ-compact if and only if it is Lindelöf.[9]
・Every second-countable space (it has a countable base of open sets) is a separable space (it has a countable dense subset).[8] A metric space is separable if and only if it is σ-compact.[9]
省7
549: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/23(木)18:27 ID:OWxAi42s(12/12) AAS
つづき
en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
Construction of the real numbers
en.wikipedia.org/wiki/Constructivism_(philosophy_of_mathematics)#Example_from_real_analysis
Constructivism (philosophy of mathematics)
Example from real analysis
In classical real analysis, one way to define a real number is as an equivalence class of Cauchy sequences of rational numbers.
en.wikipedia.org/wiki/Complete_metric_space
Complete metric space
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
省4
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