[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20 (1002ﾚｽ)
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963(1): 07/20(日)18:12 ID:JxJPBISF(1/10) AAS
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2chｽﾚ:math
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21
964(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/20(日)18:34 ID:JxJPBISF(2/10) AAS
>>949-950
>補題１
> ωは任意の帰納的集合の共通部分である。
うむ
１）その結論は、正しい。下記の独 de.wikipediaの英訳
Infinity axiomで、”The natural numbers are therefore defined as the intersection of all inductive sets, as the smallest inductive set.”
とある通りだ
２）ところで 下記の 独 de.wikipedia Infinity axiom では
記号∩ 使ってないよ？
記号∩ は、使わなくてもいいの？
記号∩ は、使わなくてもいいのならば、その方がすっきりしてないかな？ｗ ；ｐ）
(参考)
外部ﾘﾝｸ:de.wikipedia.org
（google翻訳 独→英）
Infinity axiom
The axiom of infinity is an axiom of set theory that postulates the existence of an inductive set . It is called the axiom of infinity because inductive sets are also infinite sets .
formulation
There are a lot A, which is the empty set ∅ and with each element
x∈A also the amount x∪{x}contains.
∃A:(∅∈A∧∀x:(x∈A⇒x∪{x}∈A))
The infinity axiom does not merely postulate, as the name might suggest, the existence of any infinite set. It postulates the existence of an inductive set and thus, consequently, the existence of the set of natural numbers according to John von Neumann's model .
Significance for mathematics
Natural numbers
By the existence of at least one inductive set
I together with the exclusion axiom, the existence of natural numbers as a set is also ensured:
N:={x∈I∣∀z(z inductive ⟹ x∈z)}
The natural numbers are therefore defined as the intersection of all inductive sets, as the smallest inductive set.
Infinite quantities
Without the infinity axiom, ZF would only guarantee the existence of finite sets. No statements could be made about the existence of infinite sets. The infinity axiom, together with the power set axiom , ensures that there are also uncountable sets, such as the real numbers.
965(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/20(日)19:27 ID:JxJPBISF(3/10) AAS
>>964 追加
下記 fr.wikipedia Axiom of infinity（無限公理）
ここでも
記号∩ 使ってないよ？
記号∩ は、使わなくてもいいの？
記号∩ は、使わなくてもいいのならば、その方がすっきりしてないかな？ｗ ；ｐ）
(参考)
外部ﾘﾝｸ:fr.wikipedia.org
（google翻訳 仏→英）
Axiom of infinity
Statement of the axiom
The axiom is therefore written:
There exists a set to which the empty set belongs and which is closed by application of the successor x ↦ x ∪ { x },
that is, in the formal language of set theory (the calculus of egalitarian first-order predicates with the only non-logical symbol being that for membership, "∈"):
∃A Cl(A)
where Cl( Y ) is the predicate “∅ ∈ Y and ∀ y ( y ∈ Y ⇒ y ∪ { y } ∈ Y )”,
expressing
“ Y is closed under successor and ∅ belongs to it”
(for the abbreviations “∅ ∈ Y ” and “ y ∪ { y } ∈ Y ”,
defined from ∈, see Axiom of the empty set , Axiom of the pair and Axiom of the union ).
The set of natural numbers
Definition
To formalize the "and so on", let us define the predicate
Ent(x) as :
∀A (Cl(A)⇒x∈A)
Throughout the following, we will call "natural integers" - or "integers" - the elements x verifying Ent( x ).
つづく
966(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/20(日)19:27 ID:JxJPBISF(4/10) AAS
つづき
With this definition, 0 is an "integer" — formally: we have Ent(0) — and the successor x + of any "integer" x is an "integer" — Ent( x ) ⇒ Ent( x + ), and the axiom of infinity is equivalent to
∃ω ∀x(Ent(x)⇔x∈ω),
that's to say :
The class of natural numbers is a set .
Indeed :
・let A be a set verifying Cl( A ) whose existence is ensured by the axiom of infinity. Then, the existence of the set ω is ensured by the axiom scheme of comprehension and its uniqueness by the axiom of extensionality , by defining ω as the intersection (therefore the smallest in the sense of inclusion) of all sets containing 0 and closed by successor ( A only intervenes to be able to define ω as a set, but ω does not depend on A ):
ω = { x ∈ A | Ent( x ) } ;
・conversely, let ω be a set whose elements are the natural numbers. Then, ω verifies Cl(ω).
The very definition of the set ω gives a statement of the principle of recurrence on the integers: any set to which 0 belongs and which is closed by successor is a superset of ω. We can give a slightly more familiar statement but equivalent in set theory by the comprehension scheme, we denote x + the successor of x , we then have for an arbitrary property expressed
in the language of set theory by the formula P x a 1 … a k (no other free variable ):
∀ a 1 , … , a k { [ P 0 a 1 … a k and ∀ y ∈ ω ( P y a 1 … a k ⇒ P y + a 1 … a k )] ⇒ ∀ x ∈ ω P x a 1 … a k }
(any property that is true at 0 and passes to the successor on integers is true for all integers).
For example: every element of ω is a finite ordinal .
The recurrence is valid for any property expressed in the language of set theory.
This is not trivial: it makes this recurrence a much stronger property than the recurrence of Peano arithmetic (as a first-order theory), the language of set theory being strictly more expressive than that of Peano arithmetic.
(引用終り)
以上
967(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/20(日)19:36 ID:JxJPBISF(5/10) AAS
>>966 補足
fr.wikipedia Axiom of infinity（無限公理）より
”let A be a set verifying Cl( A ) whose existence is ensured by the axiom of infinity. Then, the existence of the set ω is ensured by the axiom scheme of comprehension and its uniqueness by the axiom of extensionality , by defining ω as the intersection (therefore the smallest in the sense of inclusion) of all sets containing 0 and closed by successor ( A only intervenes to be able to define ω as a set, but ω does not depend on A ):
ω = { x ∈ A | Ent( x ) } ;”
とあるよ
”by defining ω as the intersection (therefore the smallest in the sense of inclusion) of all sets containing 0 and closed by successor ( A only intervenes to be able to define ω as a set, but ω does not depend on A )”
とあるよ
”by defining ω as the intersection”
とあるよ
だけど、
記号∩ 使ってないよ？
記号∩ は、使わなくてもいいの？
記号∩ は、使わなくてもいいのならば、その方がすっきりしてないかな？ｗ ；ｐ）
970: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/20(日)19:43 ID:JxJPBISF(6/10) AAS
>>965 蛇足
>外部ﾘﾝｸ:fr.wikipedia.org
>（google翻訳 仏→英）
みんな知っていると思うが
ネット検索で 外国語のページで 日本語訳が出せるが
そのとき、日本語訳のところに 言語選択のスイッチがあって
英訳が選べる（詳しくは 自力検索してくれ）
で、いいたいことは
英→日 は、結構 訳がまともだが
仏→日とか、独→日の訳は 結構あやしいんだ
なので 英訳を選んで それを参照するのが 良いときが多い
今回もそれ
971(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/20(日)19:52 ID:JxJPBISF(7/10) AAS
>>968
命題 P→Q
これの証明は、しばしば 出発がPで
そこから 論理の道を通って 結論のQに到達することで
達成される場合が多い
P→Q の道で、最短は幾何学では しばしば2点間を結ぶ直線だ
必要ない 記号∩ を使うのは しばしば 寄り道になるよ
私がいうのは、記号∩ を使うのは 寄り道じゃね？
おっと、『寄り道の多い数学』という本があるらしい（下記）
”寄り道”も、それで見通しが良くなるならば、ありと思うけどね
どうなんだろうね？ （＾＾
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
著書
大沢健夫『寄り道の多い数学』岩波書店〈岩波科学ライブラリー ; 172〉、2010年。ISBN 978-4-00-029572-7。
975(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/20(日)20:15 ID:JxJPBISF(8/10) AAS
>>968
>>記号∩ は、使わなくてもいいのならば、その方がすっきりしてないかな？ｗ ；ｐ）
>それってあなたの感想ですよね？
ふっふ、ほっほ
＜おれの感想＞
１）命題 P→Q 2点間を結ぶ直線 最短距離が しばしば”エレガント”の場合がおおい
>>967 fr.wikipedia Axiom of infinity（無限公理）
>>964 独 de.wikipedia Infinity axiom
どちらも 記号∩ は、使わない
ご存知だろうが、2025年から振り返れば この話は 100年くらいの歴史があるよ
２）ど素人が、いろいろ試行錯誤して 証明を考えるのは悪くない
お勉強だからね
でも、100年の歴史の 当時の数学の天才たちが 考えた 自然数(N＝ω) の証明
この証明と、自分たちの それは 泥臭い 素人証明かもしれないが（多分 そうだろうが）
それと 比較するのも 君達の勉強だよ
981: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/20(日)20:43 ID:JxJPBISF(9/10) AAS
>>975 余談
>命題 P→Q 2点間を結ぶ直線 最短距離が しばしば”エレガント”の場合がおおい
余談だが
命題 P→Q 2点間を結ぶ直線 最短距離
これが、しばしば 平らな平面でなく
デコボコの多様体ふうで
ちょっと 横にそれて 高い地点にのぼって、そこから ゴールのQを目指す
そうすると 見通しよく ゴールのQにたどり着ける とする
それも
しばしば”エレガント”と呼ばれることがある
余談ついで だが
フェルマーの最終定理
X^n + Y^n ＝ Z^n
見かけは、シンプルな式で
20世紀に 証明が発表されるまで
アマチュア数学者の無数の証明が
提出されたという
ワイルズさんの証明は
X^n + Y^n ＝ Z^n
を
フライの楕円曲線に持ち込んで
それに、現代数学の代数幾何の知識を総動員して
もっと 見通しのよい高みに持ち上げる
そうすると、谷山-志村との関連が見えてくる・・
あとの詳細は、下記をご覧あれ
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明
982: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/20(日)20:58 ID:JxJPBISF(10/10) AAS
>>980
>>それと 比較するのも 君達の勉強だよ
>わろた どっから目線だよｗ
ふっふ、ほっほ
いるんだね オレサマ数学の天才というやつ
と勘違いしてるやつ
（だけど、ほんとは オチコボレさん）
100年前の数学を 自分で再構築する？
数学科生は、そればっかりを やらない方が良いのでは？
車輪の再発明（下記）
数学科生、特に旧帝以上の数学科生に求められているのは
100年前の 古い数学の研究だけ で終わらずに
21世紀の数学を 前進させることじゃね？ ；ｐ）
そんなことを、昔 糸川英夫 先生（下記）が どこかに書いていたね
だれかの後追いでなく、最前線に立てと
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
車輪の再発明
車輪の再発明（英: reinventing the wheel）とは、「広く受け入れられ確立されている技術や解決法を（知らずに、または意図的に無視して）再び一から作ること」を指すための慣用句。誰でも直観的にその意味が分かるように、車輪という誰でも知っていて古くから広く使われている既存の技術を比喩の題材として使った慣用表現で、世界中で使われている。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
糸川英夫
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