純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (255ﾚｽ)
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113: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/26(土) 10:06:12.07 ID:w9PY0JQs

>>111 追加

ZFCが urelement（下記）
を持たない 集合論であることは、しばしば 看過される
日常の集合論は、urelementを常用するので その感覚で ZFCの公理系を見ると イミフになる

上記 渕野(>>111)にも 同様の注意書きがある
P8
"公理的集合論では，考察の対象はすべて集合である，と考える．したがっ
て，以下で「ある x について ...」と言ったときには， 「ある集合 x につい
て ...」という意味である．"

"集合論の公理系の一番最初の公理は，すべての集合はその要素の全体から
一意に決まることを主張する次のものである：
（外延性公理）略．
ZFC の他の公理は，すべて，「集合 x1, x2, . . . が与えられたとき，これらか
ら ... という性質を持つ集合を作ることができる」というタイプの主張（存在公理）となっている．”

これらを あたまに叩き込んでおきましょう！　（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E5%85%83_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)
原始元 (集合論)
原始元(英語: urelement ドイツ語の接頭辞 ur- は「原始的な」を意味する)とはオブジェクトであってそれ自身は集合でないが、集合の要素には成り得るもののことである。原始元は原子、アトムとも呼ばれることがある。また、日本語文献でも翻訳せずにurelementのまま用いられることも多い。原始元は空集合とは異なるものである
集合論における原始元
1908年のツェルメロ集合論の論文では原始元が含まれており、これが今日ZFAやZFCA (すなわちZFAに選択公理を加えたもの)と呼ばれるものの一種である。[1] 公理的集合論と密接に関連する文脈では、集合論は原始元を持たない理論で簡単にモデル化できるので、原始元は必要ないことがすぐにわかった。[2]したがって、公理的集合論ZFとZFCの標準的な説明では、原始元については触れていない（例外については、Suppes[3]を参照）。
集合論の公理化であって原始元を呼び出すものには、原始元付きクリプキ＝プラテック集合論や、メンデルソンによって記述されたフォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論の変形がある。[4]
型理論では、型0のオブジェクトを原始元、アトムと呼ぶことができる。
新基礎集合論(NF)に原始元を追加してNFUを生成する試みは、驚くべき結果をもたらす。
略

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/113

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