統計解析R たぶんpart3くらい

統計解析R たぶんpart3くらい (587ﾚｽ)
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281: デフォルトの名無しさん [] 2019/06/16(日) 06:52:42.48 ID:PJMZgBiU

[so-2](#so-2)のバグ：誤: `vector (t, x)` 正: `vector (x, t)`
でも誤の方が素直 - 数式上は`vector :: Time -> (Position -> Vector)`

$$\newcommand{\calM}{\mathcal{M}}\DeclareMathOperator*{\arginf}{arg\,inf}$$
$\calM$を多様体とし、その上の
[経験分布](https://en.wikipedia.org/wiki/Empirical_distribution_function)
$p:\calM\to(0,1)$が与えられた時、モデル$q:\Theta\to(\calM\to(0,1))$を
[KL距離](https://en.wikipedia.org/wiki/Kullback%E2%80%93Leibler_divergence)
$D$を使って、$\theta_*:=\arginf_{\theta\in\Theta}D(p,q_\theta)$と
フィッティングするというのが典型的なパターンだと思う。[so](#so)では、
初期分布$\alpha:=q_0$と推定した分布$\beta:=q_{\theta_*}$を繋ぐ座標変換の
集合$\phi_t:\calM\to\calM$を具体的に作っている。写像$\phi_t$で$\alpha$が
$q_t$になったとすると、粒子数が保存すべしという要請は次のように
書かれる。$$\int_{x\in\phi_t(D)} q_t(x) = \int_{x\in D} \alpha(x)
\quad\text{for all}\quad D\subseteq\clM.$$$\phi_t(x)$が$x$について微分できる
ことを仮定すれば、この式は$\phi_t^*q_t=\alpha$という形にまとめられ、
$q_t$を$\phi_t$で
[プルバック](https://en.wikipedia.org/wiki/Pullback_(differential_geometry))
すると$\alpha$になると読む。$\phi_t(x)$が$t$について微分できることと、
$x$について可逆なことを仮定すると、次の式が得られる。$$(\partial_t
+d\iota_{X_t})q_t = 0\quad\text{with}\quad\phi_t^*q_t = \alpha\eqtag{adv}$$
導出の経緯から、この式は頻出問題になっていて、
[移流](https://en.wikipedia.org/wiki/Advection)という名前がついているが、
あまりに頻出過ぎて、多くの分野で名無しになっていると思う。問題は、
$q_1=\beta$となる$\eqref{eq:adv}$の解があるか？ということになる。
[so](#so)では、Moserのトリックを使って、そのような解があることを示している。
もう少し続ける。

http://mevius.5ch.net/test/read.cgi/tech/1340339592/281

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