純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (268ﾚｽ)
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1: １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 18:06:57.08 ID:JxJPBISF

クレレ誌：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%83%AC%E8%AA%8C
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)

そこで
現代の純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）スレとして
新スレを立てる（＾＾；

＜前スレ＞
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/
＜関連姉妹スレ＞
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋22
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 71
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1713536729/
IUTを読むための用語集資料スレ2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1606813903/
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 (過去スレ落ち)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/

＜過去スレの関連（含むガロア理論）＞
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む84
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582200067/
・現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/1

242: １３２人目の素数さん [] 2025/08/28(木) 07:24:16.57 ID:TYdOEijR

>>240
>離散的な存在である整数についてのS内での命題の証明をするのに、
>連続的な存在である実数や複素数などについての解析学を使ってS'内で
>証明した場合に、そのS'内部での証明の結果は、
>Sにおける命題の成立を保証するか？

その話は、下記の「整数論」ja.wikipedia の歴史そのものだね
つまり、「整数論」の中だけで考えるのは狭くて不便だ
だから、数論の世界を広げて、そこで数学をやろうということだ

で、いま思いついた即席のたとえ話をしておくと
フェルマーの最終定理 X^n+Y^n=Z^n  （n>=3 でX,Y,Zは整数）
これを満たす整数解は存在しない という
もし、人類が 無限の演算能力があれば、
X^n+Y^n=Z^n  n>=3 の全ての場合を計算し尽くせば 証明は終わる
しかし、それは出来ないので、”無限の演算”を 別の数学に置き換える必要があるのです
フェルマーの最終定理で、それを実行したのがワイルズさんで
下記の”数論幾何学”を使った（らしい　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
フェルマーの最終定理
n = 3：オイラー

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E8%AB%96
数論（英語: number theory）。整数論とも言う。
概要
フェルマーの最終定理のように、数論のいくつかの問題については、他の数学の分野に比して問題そのものを理解するのは簡単である。しかし、使われる手法は多岐に渡り、また非常に高度であることが多い。

分野
通常は代数学の一分野とみなされることが多い（しかし、解析学や幾何学、確率論など使えるものはなんでも使われる）。おおむね次の四つに分けられる。

初等整数論
他の分野の数学的手法を使わずに問題に取り組む、数論の中で最も基礎的な土台をなす。フェルマーの小定理やオイラーの定理、平方剰余の相互法則などはこの分野の成果である。

代数的整数論
ガウスの整数を研究したカール・フリードリヒ・ガウスがおそらくこの分野の創始者である。体論はこの分野の基礎的根幹であって、ガロア理論は（他の数学においてもそうだが）基本的な道具である。代数体のアーベル拡大の統制を記述する類体論も、この分野の大きな成果である。元来の岩澤理論もここに分類されよう

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/242

256: １３２人目の素数さん [] 2025/08/31(日) 20:25:18.91 ID:lylF2dxQ

>>254-255
(引用開始)
フェルマー予想の解決については知らないが
一般にZFCで解決不能な不定方程式は存在する
このことはヒルベルトの第１０問題の
否定的解決の証明の系として導ける
フェルマー予想がそうではないかという予想があったのは
1970年ごろ
(引用終り)

下記に類似記述がありますね
"Hilbertの第10問題とは、1900年にHilbertが、20世紀の数学の指針として挙げた23問題のひとつです。整数係数の多項式方程式が任意に与えられるとき（たとえばFermatが考察した x^n+y^n=z^n）、これに整数解があるか否かを判定できるようなアルゴリズムを構築するよう求めています。1970年に、すべての多項式方程式に対応可能な単一のアルゴリズムは存在しないことが証明されました（否定的解決、図2）"

https://www.sci.tohoku.ac.jp/news/20250123-13546.html
お知らせ
東北大学大学院理学研究科数学専攻
助教　甲斐　亘（かい　わたる）
2025年1月23日

素数の組み合わせ論の高次元化
数体の素元に隠れた「星座」

今回の取り組み
2019-2024年にわたる取り組みで、Green-Taoの定理と、それを深化したGreen-Tao-Zieglerの定理（文献 [GTZ], 2012年）という素数に関する定理を、数体の素元に対しても証明することができました。後者の結果は、私自身によって代数幾何の研究において、別の研究者によって整数論・数学基礎論（後述のHilbertの第10問題）の研究においても、すでに活用されています。

Green-Taoの定理の数体の素元への拡張は、東北大学の（元）同僚、関真一朗、見村万佐人、宗政昭弘、吉野聖人の各氏との共同研究で得られたものです（論文 [KMMSY]）。メンバーのひとりである関さんは、高校時代に韓国ドラマ（主人公が数学者を志します）を観て、劇中で印象的に使われたGreen-Taoの定理を、明確に意識するようになったとのことです。それがなければ今回の私たちの共同研究も始まらなかったかもしれません。

論文公開後、この経緯が当ドラマの数学顧問や脚本家の方々にも伝わりました。関さんとドラマ関係者は、互いに感謝の気持ちを伝え合うことができたそうです。不思議な巡り合わせに立ち会うことができ、私も感無量です。関さんの著書『グリーン・タオの定理』あとがきに詳しいことが書かれています。韓国の一般向け科学雑誌『数学東亜』でもこのエピソードが取り上げられました（文献 [東亜]）。

数体の中の代数的整数は、高次元の空間に等間隔に一様に散らばった点であり、素元はその中に一見ランダムに配置されています（図1）。

に、私の予想だにしなかったことですが、数体版Green-Tao-Zieglerの定理を用いて、Hilbertの第10問題の否定的解決を、大幅に拡張することができたとの報が入りました（文献 [KP]）。
Hilbertの第10問題とは、1900年にHilbertが、20世紀の数学の指針として挙げた23問題のひとつです。整数係数の多項式方程式が任意に与えられるとき（たとえばFermatが考察した x^n+y^n=z^n）、これに整数解があるか否かを判定できるようなアルゴリズムを構築するよう求めています。1970年に、すべての多項式方程式に対応可能な単一のアルゴリズムは存在しないことが証明されました（否定的解決、図2）。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/256

262: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/31(日) 22:30:54.82 ID:lylF2dxQ

>>260
死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ さん
いつもありがとうございます

＞色々の層をいろいろに埋めるのが現代的。

そうそう
数理科学2025年9月号に 層の特集が・・（下記）

https://www.saiensu.co.jp/search/?magazine_id=1&latest=1
数理科学 2025年9月号 Ｎｏ.747
多彩な拡がりをもつ《層》の魅力
様々な数学概念の統一的理解に迫る
内容詳細
現代数学の随所に現れる層（sheaf）の理論は，数学における局所的見方と大域的見方をつなぐ言葉として，様々な分野を統一的に捉えることができる極めて重要な概念となっています．しかしながら，層の定義やその周辺理論は非常に抽象的であり，層の正体を捉えることは容易ではありません．本特集では，層のディテールを数理諸分野それぞれの視点から捉え，層の理論がどのような場面でどのように活躍するのか，そのメカニズムから多彩なトピックを取り上げ，層の魅力に迫ります．
目次
特集
巻頭言 戸田幸伸 https://www.saiensu.co.jp/preview/2025-4910054690958/202509.pdf
層理論入門
〜 定義や例，基本的な性質など 〜
平野雄貴
代数幾何学と層
大内元気
複素幾何学と層
松村慎一
代数解析学と層
〜 佐藤超函数やD加群との関連 〜
池　祐一
超局所層理論入門
桑垣　樹
非可換代数幾何学
大川新之介
代数トポロジーと層
増田成希
数え上げ幾何学と層理論
〜 DT理論からコホモロジー的DT理論へ 〜
金城　翼
書評
測度距離空間の幾何学への招待
〜 高次元および無限次元空間へのアプローチ 〜
永野幸一
重点解説 モンテカルロ法と準モンテカルロ法
田中健一郎
研究室の窓
私の研究遍歴
山下公子

https://researchmap.jp/yukinobutoda
戸田 幸伸
トダ ユキノブ  (Yukinobu Toda)
所属東京大学 国際高等研究所カブリ数物連携宇宙研究機構 教授

エドワード・ウィッテンさんとの京都賞記念座談会 超弦理論の過去20年を振り返る(下)
ウィッテン エドワード, 戸田 幸伸, 山崎 雅人
数学セミナー 54(5) 40-47 2015年5月
エドワード・ウィッテンさんとの京都賞記念座談会 超弦理論の過去20年を振り返る(上)
ウィッテン エドワード, 戸田 幸伸, 山崎 雅人
数学セミナー 54(4) 50-58 2015年4月

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/262

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