大学数学の質問スレ Part1 (318ﾚｽ)
上下前次1-新
125: 07/21(月)11:31 ID:+XuY0woP(2/5) AAS
ああ言い間違い
原点でも1回しか微分できないよ
126: 07/21(月)11:32 ID:+XuY0woP(3/5) AAS
>>112
こっちにレスするつもりで
127: 07/21(月)12:05 ID:FNiifGED(9/15) AAS
結局>>107は不連続な点が稠密に発生するから原点回りで f'(x) が定義できない点が無限に発生して原点での 2 回目の微分すら存在しない。ので求められてる条件みたしてない。補正すれば >>108 の条件満たすように直せるかもしれんけどこのままじゃだめですな。
128(1): 07/21(月)12:54 ID:fw99j+XX(1/2) AAS
そもそも一点で微分可能とはその点のある開近傍で微分可能を意味するもんだろ
129: 07/21(月)13:01 ID:+XuY0woP(4/5) AAS
x^2sin(1/x)みたいなのもあるしなあ
130(1): 07/21(月)14:53 ID:EG4WjVZR(1/8) AAS
>>128
関数 f がある点 a で、 C^k 級というとき、 f は点 a の近傍で C^k 級という意味ですが、
ある点で微分可能というのは単にその点で微分可能というだけのことですよね。
131(1): 07/21(月)14:58 ID:EG4WjVZR(2/8) AAS
f が点 a で任意階の微分係数をもつとしても、 f は点 a の近傍で C^∞ でないことがある。
この例を挙げてください。
132: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 07/21(月)14:58 ID:G4mILYCT(1/2) AAS
生物科に行って医者になるなら微分もいいかもな。しかし積分にはひと気が無い。たまたま違う過程になって積分から被害出さなかったのは運。
133: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 07/21(月)14:59 ID:G4mILYCT(2/2) AAS
誰か継いでくれるかも淡き希望か。
134: 07/21(月)15:02 ID:+XuY0woP(5/5) AAS
>>131
>>104は？
いずれにしよ
存在するなら例
存在しないなら証明が必要だよ
135: 07/21(月)16:10 ID:fw99j+XX(2/2) AAS
>>130
馬鹿アスペは気にするな
136(1): 07/21(月)17:24 ID:EG4WjVZR(3/8) AAS
>>104
具体的に書いてください。
137(1): 07/21(月)17:29 ID:S8ic7p3i(1/3) AAS
>>136
わいが104だが、Σ1/k! |x-1/k|^kでいけるんじゃないの
細かい確認は何もしてないけど
138(1): 07/21(月)20:16 ID:EG4WjVZR(4/8) AAS
>>137
その関数を f とする。
f : R → R は、 x = 1 で微分できない。
f' : (-∞, 1) → R はどこでも微分できる。
f'' : (-∞, 1) → R はどこでも微分できる。
以下同様
139: 07/21(月)20:26 ID:S8ic7p3i(2/3) AAS
>>138
証明して
>f'' : (-∞, 1) → R はどこでも微分できる。
140: 07/21(月)20:35 ID:EG4WjVZR(5/8) AAS
k が奇数のときに、 |x - 1/k|^k を k - 1 回微分すると 1/k で微分できないですね。
141: 07/21(月)20:37 ID:EG4WjVZR(6/8) AAS
k が奇数のときに、 |x - 1/k|^k の第 k - 1 次導関数は、 x = 1/k で微分できないですね。
142: 07/21(月)20:38 ID:S8ic7p3i(3/3) AAS
そうだよ
143(1): 07/21(月)20:46 ID:EG4WjVZR(7/8) AAS
f は (-∞, 1) で微分できる。
f^(2) は (-∞, 1/3) で微分できる。
f^(4) は (-∞, 1/5) で微分できる。
f^(6) は (-∞, 1/7) で微分できる。
…
f は原点でいくらでも微分できるが、原点の近傍で C^∞ ではない。
そういうアイディアですか。
144: 07/21(月)20:49 ID:l1OzVRQ7(2/3) AAS
>>143
やっと気づいたの？
145: 07/21(月)20:52 ID:EG4WjVZR(8/8) AAS
微分積分の本に、多変数実関数のテイラー展開ってなんで書かれていないんですか？
小平邦彦さんの本には少し書いてありますが分かりにくいです。
146: 07/21(月)21:01 ID:l1OzVRQ7(3/3) AAS
ただ
微分可能を言うには項別微分可能つまり一様収束してる必要があると思うけど
べき乗に符号付けたぐらいのものだからすぐ言えるのかな
147(1): 07/21(月)21:18 ID:lprS0dfP(1/2) AAS
上野代数幾何入門p194に
xとyの２変数多項式
(y-a_1 x)…(y-a_n x)-x^(n-2) (a_1,,,a_n は 複素数)
の根が
y=x (x^(-2/n)-b/n+ c_1 x^(2/n) +c_2 x^(4/n)+c_3 x^(6/n)+…)
(ここでb=-(a_1+…+a_n) ，c_1,,,c_n は複素数)
という形になると書いてあるのですが、
なぜそうなるかがわかりません
148: 07/21(月)21:24 ID:FNiifGED(10/15) AAS
n 回導関数の属が一様可積分なんだからいけるでしょ。
f[N](x) := Σ[n≦N]1/n! |x-1/n|^(n) として f[N](x) は |x|<1/n において n 回微分可能。 f⁽ⁿ⁾[N](x) は一様有界関数族である gₙ(x) に各点収束する。すなわち
f⁽ⁿ⁾[N](x) → gₙ(x)、f⁽ⁿ⁻¹⁾[N](x) → gₙ₋₁(x)、関数族は一様可積分
だから gₙ₋₁(x)' = gₙ(x)。∴ f(x) = g₀(x) は |x|<1/n において n 回微分可能。
149: 07/21(月)22:27 ID:FNiifGED(11/15) AAS
こんなかんじかな？
t := x^(2/n)、z := ty/x とおいて与式は
(z-ta_1)...(z-ta_n) = 1...①
となる。z が t のべき級数としてえられるべき級数解をかんがえる。
150: 07/21(月)22:28 ID:FNiifGED(12/15) AAS
まずℂ[[t]] での解を考える。z(0) = 1 である。z⁽ⁿ⁾(0) まで決まってそれが a の多項式でかけているとする。 ①の対数微分より
(z’-a_1)/(z-ta_1)+...+(z’-a_n)/(z-ta_n) = 0
であるからn階微分して
151: 07/21(月)22:28 ID:FNiifGED(13/15) AAS
ΣₙCₖ z⁽ᵏ⁺¹⁾ (1/( z-ta_1 ))⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ + ... + ΣₙCₖ z⁽ᵏ⁺¹⁾ (1/( z-ta_1 ))⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ = 0
ここに t = 0 を代入すると (1/( z-ta_i ))⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ の分母にでてくる式は ( z-ta_i )) のべきであり t=0 のとき 1 である。よって結果は nz⁽ⁿ⁺¹⁾(0) + (z⁽ᵏ⁾(0) と a の多項式) = 0 の形である。
152: 07/21(月)22:28 ID:FNiifGED(14/15) AAS
よって帰納的に z⁽ⁿ⁾(0) は a の多項式でかける。さらに展開にあらわれる項の数は n の指数オーダーより小さいから得られる z⁽ⁿ⁾(0) の大きさは高々 n の指数オーダーでおさえられるから得られる級数は 0 でない収束半径をもつ。
153: 07/21(月)22:28 ID:FNiifGED(15/15) AAS
細かいとこあってないかも
154: 07/21(月)22:46 ID:lprS0dfP(2/2) AAS
凄い
素早いレスありがとうございます！
ちょっとたどってみます
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 164 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.014s