面白い数学の問題おしえて～な 44問目

面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (300ﾚｽ)
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1(5): 05/01(木)12:31 ID:gmHMkXUG(1) AAS
面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨

前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 43問目
2chｽﾚ:math

まとめwiki
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270: 08/29(金)14:25 ID:RysJSoA6(1) AAS
方程式
x^(2k+1)-nx+1=0
の持つ実数解を、小さい順にa[1],a[2],...a[m]とする。これらm個の実数解の中央値をf(k,n)とする。
極限
lim[n→∞] f(k,n)
を求めよ。

271: 08/29(金)16:07 ID:51ikz61b(1) AAS
「f : W → 2^S の W(500) への制限が単射のとき f の W(1)～W(500) への制限がすべて単射」がいえたとしてもせいぜい「毒入りワインの本数と試験奴隷人数の最小値を与える関数が広義単調増大」しかいえない。

272: 08/29(金)16:17 ID:itPlGYv3(1) AAS
(2k+1)x^2k-n=0
x=±(n/(2k+1))^(1/2k)
0^(2k+1)-0+1>0
1^(2k+1)-n+1<0
0<f(n,k)<1
f(n,k)^(2k+1)+1=nf(n,k)
limf(n,k)=lim(f(n,k)^(2k+1)+1)/n=0

273: 08/29(金)19:15 ID:wapwkLPP(1) AAS
n=6本(毒入り3本)まで絨毯爆撃してみたが
n-2人以下でできないのは当然として
n-1人でも1本ずつ飲む以外の解はないようだ
6本(毒入り4本)とか8本(毒入り4本)以上は俺のPCでは死ぬ

274(1): 08/30(土)14:17 ID:kaOtwNfL(1) AAS
>>265 ヒント続き
（証明）
k<500 かつ A,B∈W(k) が互いに異なる時
|W/(A∪B)| = 1000 - |A| - |B| + |A∩B| ≧ 1000-2k > 500-k
より、AともBとも共通部分を持たない C⊂W s.t. |C|=500-k がとれる。
もし f(A)=f(B)と仮定すると、
f(A∪C) = f(A)∪f(C) = f(B)∪f(C) = f(B∪C)
となるが、これはW(500)に属する異なる集合 A∪C と B∪C による f の像が等しいことを意味し、f のW(500)への制限が単射であることと矛盾する。
ゆえに f(A)≠f(B).
（終わり）

275: 08/30(土)15:44 ID:HfVP711t(1) AAS
方程式
x^(2k+1)-nx+1=0
の持つ実数解を、小さい順にa[1],a[2],...a[m]とする。

（1）nが十分大きいとき、mをkで表せ。

（2）各整数i（i=1,2,...,m）に対して、
極限lim[n→∞] a[i]
を求めよ。

276: 08/30(土)17:24 ID:SzW44Fp8(1/2) AAS
aとbを整数とし、方程式x^3+ax+b=0が3つの異なる整数解をもつとする。
このとき、bの偶奇を判定せよ。

277(1): 08/30(土)18:28 ID:2/v7Mp9d(1) AAS
αβγ≡1 ( mod 2 ) → a+b+c ≡ 1 ( mod 2 )

278: 08/30(土)18:56 ID:SzW44Fp8(2/2) AAS
お見事です

279: 08/30(土)18:56 ID:fWoX7QGu(1/3) AAS
(2k+1)x^2k-n=0
x=±(n/(2k+1))^(1/2k)
0^(2k+1)-0+1>0
n>2
1^(2k+1)-n+1<0
m=3
lim a[1]=-∞
lim a[2]=0
lim a[3]=∞

280: 08/30(土)19:01 ID:fWoX7QGu(2/3) AAS
>>277
>αβγ≡1 ( mod 2 )
なんで？
α+β+γ=0
では？

281: 08/30(土)19:02 ID:fWoX7QGu(3/3) AAS
ああそうか
意図分かった

282(1): 08/31(日)18:56 ID:QaV2l/9l(1/2) AAS
>>274 ヒント続き
（今更だけど「/」は差集合。＼と間違えたけどこのまま進めます。ごめんちょ）

Wの部分集合A,Bが A⊂B でも B⊂A でもなく、|A|, |B| ≦ 500 を満たすならば、f(A)≠f(B).

（証明）
|A|=|B|の時は証明済み。
|A|<|B|として一般性を失わないのでそのように仮定する。

0 < |A/(A∩B)| < |B/(A∩B)| より、集合 B/(A∩B) から任意に |B|-|A| 個の元を選んでその集合をCとおくと、
A':=A∪C は A⊂A'⊂B、 |A'|=|B|、 0<|A'/(A'∩B)| (すなわち A'≠B) を満たす。

f(A)=f(B) と仮定すると f(A') = f(A)∪f(C) = f(B)∪f(C) = f(B) より、f の W(|B|) への制限の単射性に反する。
（終わり）

283: 08/31(日)19:56 ID:hUOxpuc6(1) AAS
要するに
V、S:有限集合
f:S→2^V
♯V>♯S
∀w∃s w∈f(s)
→
∃A,B s.t.
♯A=♯B=⌈♯W/2⌉
{s;f(s)∩A≠Φ} = {s;f(s)∩B≠Φ}
A≠B
省2

284: 08/31(日)21:44 ID:QaV2l/9l(2/2) AAS
>>282
誤 A⊂A'⊂B
正 A⊂A'

285: イナ ◆/7jUdUKiSM 09/01(月)10:48 ID:bD/AUJQV(1) AAS
>>259
三人で一人三本ずつ飲むと、
たとえばA,B,C,D,E,Fのワインを、
太郎がA,Bを、
次郎がC,Dを、
花子がE,Fを飲んだと.
これだと二人死んだらだめだ.
ところが三人が飲むワインを一つずつずらし、
太郎がA,B,Cを、
次郎がB,C,Dを、
省2

286(1): 09/01(月)14:45 ID:FRAqeS7G(1) AAS
△ABCの形状がいろいろ変化するとき、sinAsinBsinCの最大値を求めよ。

287(1): 09/02(火)13:47 ID:y/H4brb4(1) AAS
△ABCの形状がいろいろ変化するとき、sinAsinBsinCの最大値と、cosAcosBcosCの最大値は一致するか。

288: 09/02(火)15:07 ID:jTpZzzZq(1) AAS
>>286-287
高校数学で解けるのな
二次関数に帰着させるか、相加・相乗平均を使うか

3つの角のsinとcosの和と積の最大
外部ﾘﾝｸ:examist.jp

289: 09/02(火)17:48 ID:fZOAs2Xe(1/11) AAS
以下有限グラフ G = (V,E) とは有限集合 V と V の2元集合の組とする。よって G はループや多重辺を含まない。以下「G から辺 {v,w} を取り除いたグラフ(G＼{{v,w}} と表す)」、「頂点 v と w を同一視して得られるグラフ(G/<v = w> と表す)」などの記述をもちいるが細かく規定せず多少の不正確な記述を適宜みとめ読者のエスパー力に期待するものとする。
グラフ G の頂点 x に対して x を端点とする辺の数を x の分岐数とよび μ(x) とかく。G の k 次ベッチ数を βₖ(G) と表す。Euler の定理より #V - #E = β₀(G) - β₁(G) である。

290: 09/02(火)17:49 ID:fZOAs2Xe(2/11) AAS
補題　任意の有限木 G について以下のいずれかが成立する。
(1) #G ≦ 2
(2) ある部分グラフの対 H,K で H∩K が一点、H が A₃ と同型であるものが存在する。
(∵) 容易。□

291: 09/02(火)17:49 ID:fZOAs2Xe(3/11) AAS
AA省

292: 09/02(火)17:50 ID:fZOAs2Xe(4/11) AAS
以下頂点の集合 A ⊂ V に対して S(A) := { e∈E ; e∩A ≠ ∅ } と定める。

補題　G = (V,E) が頂点数 n = #V ≧ 2 の連結有限グラフとする。⌈(n + β₁(G))/2⌉ ≧ n であるか、または相異なる頂点の集合 A,B で #A = #B = ⌈(n + β₁(G))/2⌉, S(A) = S(B) = V となるものがとれる。
(∵) 最小反例で前補題の条件を満たすものが存在しないことを示せばよい。
(i) #V = 2,3 のとき。V = {u,v} のときは A = {u}, B = {v}、V = {u,v,w} のときは A = {u,w}, B = {v,w} とすれば条件をみたすから反例となりえない。
(ii) 部分グラフ H と {x,y,z} ⊂ G で {x,y},{y,z} ∈ E、{x,z} ∉E、H ∩ {x,y,z} = {x} のとき。G が最小反例だから ⌈(n-2 + β₁(G))/2⌉ ≧ n-1 であるか A’, B’ ⊂ H で #A’ = #B’ = ⌈(n-2 + β₁(G))/2⌉、S(A’) = S(B’) = H が成立する。前者は容易に矛盾する。後者のときは y ∈ A’ なら A = A’∪{x}、そうでなければ A = A’∪{y} とし y ∈ B’ なら B = B’∪{z}、そうでなければ B = B’∪{z} とすれば条件をみたすから反例となりえない。
(iii) G が (2) を満たすとき。V = {x₁, x₂, ... ,xₙ}, E = {{x₁,x₂}, {x₂, x₃},...,{xₙ, x₁}} としてよい。n が偶数のときは A = {xₖ ; k odd}∪{xₙ}、B = {xₖ ; k even}∪{x₁} が条件を満たし、n が奇数のときは A = {xₖ ; k odd}、B = {xₖ ; k even}∪{x₁} が条件を満たすから反例となりえない。

293: 09/02(火)17:51 ID:fZOAs2Xe(5/11) AAS
AA省

294: 09/02(火)17:51 ID:fZOAs2Xe(6/11) AAS
以下記号の定義を再掲する。W, S は有限集合、f : S → 2^W は写像で A ⊂ W に対して S(A) = { s ; f(s)∩A ≠ ∅ } とする。さらに
(※) 任意の A≠∅ に対して S(A)≠∅
とする。
(W : ワインの集合、S : 奴隷の集合、f(s) : 奴隷 s が飲むワインの集合、S(A) : A に毒をいれたときの犠牲者の集合であり、(※) は「すべてのワインはいずれかの奴隷が必ず試飲する。に相当する。)

295: 09/02(火)17:51 ID:fZOAs2Xe(7/11) AAS
補題　(※) n = #W > #S であるとき W の相異なる部分集合 A,B が存在して次を満たす。
(1) #A = #B = ⌈ #W/2 ⌉
(2) S(A) = S(B)
(∵) S₁ = { s∈S | #f(s) = 1 } とおく。W を最小反例とする。
#S₁ = 0 とする。すべての s について #f(s) ≧ 2 である。各 s について f(s) から２元集合 e(s) = {p(s), q(s)} ⊂ f(s) を選んでグラフ (W,E) = (W, {e(s) ; s∈S} ) を考える。グラフはe(s) の選び方で任意性があるが、この中でその一つの連結成分 G₀ = (W₀, E₀) の点の数が最大となるものをとる。このとき任意の s に対して e(s) が G₀ の辺でないなら #E₀ の最大性から f(s) は G₀ と共通元をもたない。すなわち任意の s に対して e(s) が G₀ の辺であるか、もしくは f(s) と W₀ は互いに素となる。 n₀ = #W₀ とする。

296: 09/02(火)17:52 ID:fZOAs2Xe(8/11) AAS
⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ ≧ n₀ のとき。容易に n₀ + β₁(G₀) ≦ 1 + #S ≦ n だから n₀ ≦ ⌈n/2⌉ である。よって A₀,B₀ ⊂ W、C ⊂ W ＼ W₀、 #A₀ = #B₀ = n₀ - 1、#C = ⌈n/2⌉ - n₀ + 1 となる相異なる A₀, B₀, C をえらぶ。A = A₀∪C、B = B₀∪C とすれば S(A) = S(A₀)∪S(C) = W₀∪S(C)、 S(B) = S(B₀)∪S(C) = W₀∪S(C) だから条件が成立する。

297: 09/02(火)17:53 ID:fZOAs2Xe(9/11) AAS
⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ < n₀ のとき。補題から #A₀ = #B₀ = ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉、S(A₀) = S(B₀) = W₀ となる相異なる A₀, B₀ がとれる。このときさらに C⊂W ＼ W₀ を #C = ⌈n/2⌉ - ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ となるようにとれる。

298: 09/02(火)17:53 ID:fZOAs2Xe(10/11) AAS
(∵ ⌈n/2⌉ - ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ ≦ n/2 - (n₀ + β₁(G₀))/2 + 1/2 より n/2 - (n₀ + β₁(G₀))/2 + 1/2 ≦ n-n₀ であれば十分だが、これは 1+n₀ ≦ β₁(G₀) + n と同値である。これが成立しないのは n₀ = n、β₁(G₀) = 0 の場合のみである。しかしこのときは C = ∅ とすればよい。) よって A = A₀∪C、B = B₀∪C とすればよい。
以上により #S₁ = 0 である最小反例はない。

299: 09/02(火)17:53 ID:fZOAs2Xe(11/11) AAS
#S₁ > 0 とする。s₀ ∈ S₁ をえらんで f(s₀) = {w₀} とおく。S’ = S＼{s₀}、W’ = W＼{w₀} とし f’(s) = f(s)＼{w₀} とする。W が最小反例だから W’ の相異なる部分集合 A’,B’ で
(1) #A’ = #B’ = ⌈ #W’/2 ⌉
(2) S(A’) = S(B’)
となるものがとれる。⌈ #W’/2 ⌉ = ⌈ #W/2 ⌉ なら A = A’、B = B’ とすれば S(A) = S(A’)、S(B) = S(B’) となり矛盾する。⌈ #W’/2 ⌉ = ⌈ #W/2 ⌉ - 1 なら A = A’∪{w₀}、B = B’∪{w₀} とすればS(A) = S(A’)’∪{s₀}、S(B) = S(B’)’∪{s₀} となり矛盾する。 □

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