[過去ﾛｸﾞ] 数学の本 第98巻 (1002ﾚｽ)
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664(1): 2024/07/17(水)12:49 ID:ZX0pBhN8(4/12) AAS
>>662
佐武一郎著『線型代数学』には基本変形は書いてありませんが、昔の本の良いところは残されているでしょうし、何よりテンソル代数まで書いてあります。
そして、別証や別解が書いてあったり、内容が豊富で説明が分かりやすいにもかかわらず、ページ数が少ないです。
これが最良ではないでしょうか？
あとは昔の本の良いところや悪いところはあまりないと思いますが、Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right Fourth Edition』は良い本です。
665(2): 2024/07/17(水)12:55 ID:XCjEJv6c(2/2) AAS
行列のランクが頭に入りにくかった理由が
思い出せない
666(1): 2024/07/17(水)13:01 ID:SACNuyQQ(1/2) AAS
>>664
基本変形が書いてないからダメ、というつもりはない
ちなみにブルバキ数学原論では行列式はテンソル代数，外積代数，対称代数のところでやっと出てくる
667: 2024/07/17(水)13:02 ID:SACNuyQQ(2/2) AAS
>>665
ランクの定義は？
668(1): 2024/07/17(水)13:18 ID:ZX0pBhN8(5/12) AAS
>>665
齋藤さんの本での行列のランクの定義のことでしたら、あれは最悪の定義ですので、分かりにくいはずです。
行列を基本変形して対角線上に 1 のみが並ぶようにして、その 1 の個数を階数と定義しています。
その後、階数の同値な定義は紹介されますが、最初の定義が最悪です。
これでは階数がなんで重要かが分かりにくいはずです。
669: 2024/07/17(水)13:25 ID:WxGB5Htb(1) AAS
行列を線形写像と思った時の像の次元がそうだと気付いた時に
やっとランクが頭に収まった
670(1): 2024/07/17(水)13:30 ID:ZX0pBhN8(6/12) AAS
行列の行空間（列空間）の次元というのが一番分かりやすいと思います。
671(1): 2024/07/17(水)13:35 ID:DIwyhRTF(2/4) AAS
線形代数入門は連続群論入門の為に書いた
672: 2024/07/17(水)13:37 ID:9JTXPK6/(1/9) AAS
>>668
＞行列を基本変形して対角線上に 1 のみが並ぶようにして、その 1 の個数を階数と定義しています。
それ、ブルバキ数学原論で、X’=PXQ（P,Qは可逆行列）のとき、XとX’は同値、という定義の後に
体上の有限次元線形空間の間の階数ｒの線形写像で、それぞれ適当な基底をとると
１がｒ個だけ対角に並んだ行列と同値になるとかいう定理が出てくるんで
それを逆手にとって、階数の定義にしたと思われる
ちなみにブルバキ数学原論では行列の列ベクトルが張る線形空間の次元を階数と定義している
673: 2024/07/17(水)13:39 ID:9JTXPK6/(2/9) AAS
>>671
>行列の行空間（列空間）の次元
それ、どういう定義？
674(1): 2024/07/17(水)13:42 ID:9JTXPK6/(3/9) AAS
>>670
ああ、行ベクトル（列ベクトル）が張る空間の次元ってことね
でもどうやってそれを求めるかといえば、結局階段化するんで
そう考えると齋藤の本の定義が最悪どころか最良じゃん、という人もいそうだな
675: 2024/07/17(水)13:43 ID:ZX0pBhN8(7/12) AAS
行ベクトル（列ベクトル）の生成する部分空間の次元のことです。
676: 2024/07/17(水)13:48 ID:9JTXPK6/(4/9) AAS
誰だか忘れたけど、数学者の分類で目型と手型があるっていうのがあって
目型の人は「行ベクトル（列ベクトル）が張る空間の次元」とかいう幾何的な定義を好むと思うけど
手型の人は「基本変形して対角線上に 1 のみが並ぶ形にしたときの 1 の個数」とかいう標準形への変換結果みたいた定義を好みそう
でも線形代数に慣れまくると
「そんなん最初はどっちが分かりやすいとかあるかもしれんけど
わかってしまえば物事に対する言い表し方の違いなんだからどうでもええやん」
と思ってしまう
677(1): 2024/07/17(水)13:50 ID:ZX0pBhN8(8/12) AAS
>>674
手計算で階数を計算するとすると基本変形で求める人が多いと思いますが、効率的に計算できることって重要ですか？
数学ではそういうのは重視しないのではないでしょうか？
678: 2024/07/17(水)13:50 ID:9JTXPK6/(5/9) AAS
ただ、行列式を使ったランクの定義もあって、それは確かにそうなんだけど
なんかそこまでやるんなら、階段化使ったほうがええやん、というのはある
別に行列式が嫌いなわけではないが、最初から行列式振り回されたら
なんか分からんと思う
679: 2024/07/17(水)13:54 ID:9JTXPK6/(6/9) AAS
>>677
>効率的に計算できることって重要ですか？
>数学ではそういうのは重視しないのではないでしょうか？
切り捨てたものの中に、”金”が入ってることってよくあるよね
まあ、個人的には計算好きだし、うまく整理できると見通しがいいこともあるので
それはそれでありじゃね？と思ったりする
680: 2024/07/17(水)13:58 ID:9JTXPK6/(7/9) AAS
数学でも他のことでもそうだけど
ゴミだと思ってたものの中にお宝があったりする
681(1): 2024/07/17(水)13:59 ID:ZX0pBhN8(9/12) AAS
佐武一郎さんの本の線形空間の章の最初の問題が、いくつか与えられた数ベクトルの列から一次独立な極大な部分列を求めよという問題だったと思います。
l = 空列 とする。
a_1 は一次独立か？
一次独立でなければ部分列 l に a_1 を入れない。
一次独立であれば部分列 l の最後尾に a_1 を入れる。
l, a_2 は一次独立か？
一次独立でなければ部分列 l に a_2 を入れない。
一次独立であれば部分列 l の最後尾に a_2 を入れる。
…
みたいな素朴なやり方を想定した問題です。
省1
682: 2024/07/17(水)14:01 ID:9JTXPK6/(8/9) AAS
>>681 その場合、一次独立かどうか、どうやって判定する？
基本的な質問で恐縮だけど、一応
683: 2024/07/17(水)14:08 ID:9JTXPK6/(9/9) AAS
ベクトルを空間の中の矢印として「見る」のか、数の並びとして「扱う」のかで発想が異なる
「見る」人は一時独立なんて見ればわかるやん、で終わっちゃう
「扱う」人はどういう手続きで判定するのかが大事やん、と言い出す
684: 2024/07/17(水)14:47 ID:DIwyhRTF(3/4) AAS
線形代数で盛り上がる
685(1): 2024/07/17(水)14:52 ID:ZX0pBhN8(10/12) AAS
a_1 = 0 ならば a_1 は一次従属。
a_1 ≠ 0 ならば a_1 は一次独立。
a_1 の成分のうちゼロでない成分が存在する。
第 i 成分がゼロでないとする。
a_{i, 1} * x_1 = a_{i, 2} を解く。
a_1 * x_1 = a_2 ならば a_1, a_2 は一次従属。
a_1 * x_1 ≠ a_2 ならば a_1, a_2 は一次独立。
a_{i_1}, …, a_{i_k} が一次独立であるとする。
行列 (a_{i_1}, …, a_{i_k}) の行から k 行選んだ結果できる k 次の部分正方行列 A' は正則行列。
ベクトル a_{i_{k+1}} の行から↑と全く同じように k 行選んだ結果できる k 次元の部分ベクトルを a' とする。
省5
686: 2024/07/17(水)14:55 ID:ZX0pBhN8(11/12) AAS
>>685
訂正します：
☓
行列 (a_{i_1}, …, a_{i_k}) の行から k 行選んだ結果できる k 次の部分正方行列 A' は正則行列。
◯
行列 (a_{i_1}, …, a_{i_k}) の行から適当に k 行選べばその結果 k 次の部分正方正則行列 A' が得られる。
687: 2024/07/17(水)14:59 ID:2myTo7gm(1) AAS
キチガイの日記
いらね
688: 2024/07/17(水)14:59 ID:ZX0pBhN8(12/12) AAS
訂正します：
a_1 = 0 ならば a_1 は一次従属。
a_1 ≠ 0 ならば a_1 は一次独立。
a_1 の成分のうちゼロでない成分が存在する。
第 i 成分がゼロでないとする。
a_{i, 1} * x_1 = a_{i, 2} を解く。
a_1 * x_1 = a_2 ならば a_1, a_2 は一次従属。
a_1 * x_1 ≠ a_2 ならば a_1, a_2 は一次独立。
a_{i_1}, …, a_{i_k} が一次独立であるとする。
行列 (a_{i_1}, …, a_{i_k}) の行から適当に k 行選べばその結果 k 次の部分正方正則行列 A' が得られる。
省6
689(1): 2024/07/17(水)15:10 ID:sdHEwUp2(1) AAS
こういうやり方もできる
１．第一成分が０でないベクトルを１つ選ぶ
（どれも０だったら、第二成分でやる
少なくとも０でないものがある成分までこれをやる）
２．選んだベクトルの定数倍を足すことで他のベクトルの第一成分を０にする
３．選ばれたベクトル以外のベクトルに対して第二成分で１．と２．を繰り返し、ベクトルがなくなったら終わり
これで０でないベクトルの個数を数えればいい
っていうか、それ消去法じゃんって、そうですけど何か？
690: 2024/07/17(水)16:49 ID:DIwyhRTF(4/4) AAS
>>659
この計算を書いて先生に送ったらおしいと言われた。連続群論入門を元に書いたので読みなさいと言われた。
691(1): 2024/07/17(水)21:57 ID:R4pJm6gD(1) AAS
>>666
複式簿記をブルバキ流に再定義したい。
692: 2024/07/17(水)22:37 ID:GT5r4mTK(3/3) AAS
ブルバキを一旦忘れてユークリッドから出直した方が良いのではなかろうか
693: 2024/07/18(木)03:52 ID:Vfq9OPu9(1) AAS
せめてガウスあたりから
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