スレタイ箱入り無数目を語る部屋30(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part4ｗ)

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592: １３２人目の素数さん [] 2026/05/28(木) 11:13:36.37 ID:V9g7IyOC

>>538 続き
>>Gを群とし、A,BをGの巡回部分群とする。 G=ABを満たし、A,Bが共にGの正規部分群とならない例を挙げよ。
>但し 例：G を頂点数3の正三角形の対称性を表す二面体群（位数6）とする
であってそう（多分最小の例）
>(google検索)
>群Gの巡回部分群は 正規部分群か？
>AI による概要
>群 G の巡回部分群は、常に正規部分群であるとは限りません。
>正規部分群にならない例最も典型的な反例は二面体群（正三角形の対称移動全体のなす群など）で見られます。
>・G を頂点数3の正三角形の対称性を表す二面体群（位数6）とする。
>・a を「120度回転」の操作とすると、これによって生成される部分群 H = < a > は正規部分群です。
>・しかし、b を「裏返しの反転」の操作とすると、b によって生成される部分群 K = < b > は巡回部分群（位数2）ですが、G の正規部分群にはなりません。実際に、回転操作 G を使って gbg^-1 を計算すると、K 以外の元に移ってしまい、g K g^-1　≠ K となるためです。

さて、ここを少し掘り下げる
例：G を頂点数3の正三角形の対称性を表す二面体群（位数6）
これを 置換のコーシー記法を使うと
(1,2,3) 恒等置換
(1,2,3)

(1,2,3)巡回置換1
(2,3,1)

(1,2,3)巡回置換2
(3,1,2)

(1,2,3) 互換(1.2)
(2,1,3)

(1,2,3) 上記互換に対する巡回置換
(1,3,2)

(1,2,3) 上記に対する巡回置換
(3,2,1)

つまり、下記のように 二面体群D3は 対称群 S3になる
いま、素数p≧3 をとって 二面体群D2pを考える
明らかに 位数2pで、部分群の位数はラグランジュ定理より
pと2のみ。どちらも素数なので 巡回群。
D2p⊃Cp (Cpは巡回群)で
巡回群 Cpは、正規部分群だが 位数2の部分群は 正規部分群ではない
その最小例がp=3
PS
「G=ABを満たし」の部分が、群論的には 若干あいまいかも

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E4%BD%93%E7%BE%A4
二面体群
位数の小さな二面体群
正多角形を不変とする合同変換を考えるならば、n は 3 以上でないと意味をなさないが、上記の行列による表現は n = 1, 2 でも意味を持ち、それらも二面体群に含める方が便利なことが多い。D1 は位数2の巡回群であり、D2 はクラインの四元群である。この2つはアーベル群であり、逆に n ≥ 3 では Dn は非可換群である。また、後述のように n ≥ 3 では Dn は対称群 Sn の部分群であるが、n = 1, 2 ではそうでない。

https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_group
Symmetric group
Low degree groups
(google検索)
S 3
S 3は最初の非可換対称群です。この群は、正三角形の反射と回転の対称性群である位数 6 の二面体群と同型です。これは、これらの対称性が三角形の 3 つの頂点を入れ替えるためです。長さ 2 のサイクルは反射に対応し、長さ 3 のサイクルは回転に対応します。

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/592

599: １３２人目の素数さん [] 2026/05/28(木) 17:16:31.33 ID:V9g7IyOC

>>556 戻る

まず タイポ訂正
　>>539 より
　↓
　>>540 より

さて 出題は
>>520
”Xを2以上の整数の集合とし、fをXの元をXに写す関数とする。
a,bをXに属する異なる任意の整数とするとき、f(a)f(b)=f(a^2・b^2)を満たすfは存在するか？”
だった

>>540 より
a=2とする
f(2)f(b)=f(4・b^2)
f(2)は 定数
までは導いた

>>556より
f(2)=C2,f(3)=C3,f(4)=C4,f(5)=C5,f(6)=C6,・・ と下から
ひとつずつ関数値を定義（仮決め）していくと
どこかで 因数分解の一意性と矛盾が起きそうな・・
気がする
ここまでは分かった

さてさて その後大体わかったので追加を書くと
簡便に f(2)=cとする
f(b)=f(4・b^2)/c となる
b=3 を考えると
f(2)f(3)=f(2^2・3^2)=f(4・3^2)=f(36) (=f(6^2))
f(3)=f(36)/c・・・(1)
b=4 を考えると
f(2)f(4)=f(2^2・4^2)=f(4・4^2)=f(4^3)=f(2^6)=f(64) (=f(8^2))
f(4)=f(64)/c・・・(2)
b=6 を考えると
f(2)f(6)=f(2^2・6^2)=f(4・6^2)=f(12^2)=f(144)
f(6)=f(144)/c
一方
144＝(3^2)・(4^2)より
（f(a^2・b^2)＝f(a)f(b)で a=3,b=4）
f(144)＝f(3)・f(4)={f(36)/c}・{f(64)/c}  (上記(1)(2)式より)

さてさて さらに
36＝2^2・3^2 に f(a^2・b^2)=f(a)f(b)を適用し
64＝2^2・4^2 に f(a^2・b^2)=f(a)f(b)を適用し
・・
とやると・・ どうも収拾がつかない・・

要するに 想定した ”因数分解の一意性”ではなく
逆に 144＝12^2 のように 二乗数で 多数の二乗の因子を含むときに
二乗因子の多数の組み合わせができる

たったb=6の 12^2=144程度で それで かなり収拾がつかない・・という感じですね
（明確に矛盾を導くところまでは やっておりませんが）
もっと、bが大きくなると 本当に収拾がつかないでしょう・・
要するに、『f(a)f(b)=f(a^2・b^2)』が無理筋っぽい
ここで、夕方６時前のコーヒーブレーク（＾＾
（大体先が見えて 後はメンドクサイので おそらく 私はもうやらない・・（＾＾）

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/599

653: １３２人目の素数さん [] 2026/05/29(金) 11:14:31.23 ID:LGe94JaC

>>617
>どちらも組合せを考えるような問題なのかなと思います。

有限群論の本質が 組み合わせ論だという意味で正しい
鈴木通夫先生の『群論』上下を読んだが アッシュバッハー氏（下記）の活躍が書かれている
アッシュバッハー氏は、組み合わせ論の専門家で 組み合わせ論を駆使して 有限群の研究をしたという（下記）
なお、いまでは群論ソフトが整備させているようだ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%88%B4%E6%9C%A8%E9%80%9A%E5%A4%AB
鈴木 通夫（すずき みちお、1926年10月2日 - 1998年5月31日）は、日本の数学者。イリノイ大学教授。専門は群論。鈴木群（英語版）で知られる。
著作
『群論』 上、岩波書店〈現代数学 18〉、2015年（原著1977年）。ISBN 9784007302718。
Group Theory. I. Springer. (1982). ISBN 978-3-540-10915-0
『群論』 下、岩波書店〈現代数学 19〉、2015年（原著1978年）。ISBN 9784007302725。
Group Theory. II. Springer. (1986). ISBN 978-0-387-10916-9

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F%E3%83%8F%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%83%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%90%E3%83%83%E3%83%8F%E3%83%BC
ミハエル・ジョージ・アッシュバッハー（Michael Geroge Aschbacher、1944年4月8日 - ）は、有限群の関する業績で著名なアメリカ合衆国の数学者である。アッシュバッハーは1970年代と80年代になされた有限単純群の分類の完成における指導的な人物だった
組み合わせ論に関する学位論文を執筆し、有限単純群の初期の研究に貢献するために組み合わせ論で発展した多くのテクニックを活用することができ、研究者のコミュニティを驚かせた。特に、有限単純群の分類の別の指導者であるダニエル・ゴーレンシュタインは、アッシュバッハーの登場は「劇的」だったと言った[7]。
実際、アッシュバッハーの結果を出すペースは驚異的であり、他の多くの数学者は有限単純群の分類の研究分野を去り、他の問題を追究することに決めた。アッシュバッハーはあいついで主要な結果を証明し、オランダの学会で進捗を発表した時、数学者は、問題はほぼ解決したと納得した。

https://ja.wikipedia.org/wiki/Magma_(%E6%95%B0%E5%BC%8F%E5%87%A6%E7%90%86%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%A0)
Magma (数式処理システム)
Magmaは代数学、数論、代数幾何学、組合せ数学の問題を解くために開発された計算機代数ソフトウェアである
開発の経緯
MagmaはCayley (1982-1993) と呼ばれる群論を扱うシステムを元に開発された[1]。

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/653

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