[過去ﾛｸﾞ] 面白い数学の問題おしえて～な 43問目 (1002ﾚｽ)
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2(7): 2023/10/07(土)11:24 ID:o6mengNM(1) AAS
有限個の自然数からなる集合{a_1,a_2,…,a_N}があり、この集合の空でない部分集合の和は全て異なる.
(例: {1,2,4}
空でない部分集合は{1},{2},{4},{1,2},{1,4},{2,4},{1,2,4}で、それぞれ和が1,2,4,3,5,6,7で全て異なる.)
このとき、逆数和Σ_{k=1}^N (1/a_k)は2未満となることを示せ.
79(1): 2024/01/15(月)16:15 ID:MljwMamg(1) AAS
>>2の答えを教えてほしい
81(1): 2024/01/17(水)17:49 ID:A9fgHU4D(1) AAS
>>79
>>2の出題者です
とりあえずヒントとして
多項式Π_{a∈S} (1+x^a)のx^nの係数はSの部分集合で和がnとなるものの個数を表すので、
x∈(0,1)なら
Π_{k=1}^N (1+x^(a_k))＜Σ_{k=0}^N x^k = 1/(1-x)
となることを利用します
90(1): 2024/01/19(金)13:04 ID:nFs2YqNH(1/2) AAS
>>2
メンバーを小さい順にa_1,a_2,a_3,...,a_Nと表すと、k番目のメンバーは
a_k≧2^(k-1)
という評価ができる。
何故なら、1番目からk番目のメンバーだけで作り得る部分集合の数は、2^k個で、
空集合を除くと2^{k}-1個になる。
部分集合の和が全て異なる事が条件なので、1から2^{k}-1までの値を隙間無く取ったとして、
{k+1}番目のメンバーが取り得る最小の値は2^{k}となるから。
Σ_{k=1}^N (1/a_k)≦Σ_{k=1}^N(1/2^{k-1})=1/1 + 1/2 + ... + 1/2^{N-1} = 2 - 1/2^{N-1} < 2
248(1): 2024/02/19(月)00:26 ID:2d7KCZsg(1/3) AAS
f(an)のなす列をbnとする
cn = an/bn は自然数列となる
bnの値が更新される番号を並べてnkとする、ie bn ≠ b_n-1 ⇔ ∃k ≧ 2 n = nk で n1 = 1 とする
n_k+1 - n_k が有界として上界 m をとる
cnk の値の増減を考える
cn_k+1 = ( cnk + (n_k+1-nk ) / ( bn_k+1/bnk)
である、つまり新しいc_n+1 は c_n に高々m加えられた後、bn_k+1/bnk で割って得られる
ここでbn_k+1/bnは相異なる自然数で有界ではあり得ない
よって十分大きなkでbn_k+1/bn >2mとなり
cn_k+1 < (cnk + m)/(2m) < cnk
省1
386: 2024/04/06(土)00:10 ID:wwL9cQPS(1) AAS
n-2 > q/p > p or q = p^2
q = p^2, p>2 → q-2 > q-p > p
q = 4 → (n-1)! = 2
747: 2024/11/13(水)20:17 ID:D88pbmkm(1) AAS
>>746
>2k^2+2k+1
k^2+(k+1)^2
923: 2025/03/16(日)15:49 ID:lSV5sp+P(1) AAS
>>922
>n が十分大きいとき，
>n/2 から n までの間に素数が少なくとも
>2つ以上存在する
この定理を初等で証明して
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