[過去ﾛｸﾞ] 面白い数学の問題おしえて～な 42問目 (1002ﾚｽ)
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910(2): 2023/08/30(水)22:10 ID:7YgCo3jF(1) AAS
>>841 関連で

2次元格子上で(0,0)スタート
一回毎に↑↓→←に1移動、確率1/4
n回移動

において(j,k)に到達する確率（n-j-kは偶数と仮定）を計算すると
p[n,j,k] = 1/(2π)^2∫∫[-π,π]^2 ((cosx+cosy)/2)^n e^(-ijx-iky) dxdy
= {1/(2π)∫[-π,π] (cosu)^n e^(-i(j+k)u) du}{1/(2π)∫[-π,π] (cosv)^n e^(-i(j-k)v) dv}
= (1/4)^n C[n,(n-j-k)/2] C[n,(n-j+k)/2]
になるけど、これを組合せ論的に示すにはどうすればいい？

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911(1): 2023/08/31(木)18:46 ID:Ph6D7dHa(1) AAS
>>910
A, B を位数 (n-j-k)/2, (n-j+k)/2 の I={1,…,n} の部分集合として、i番目の動きを
AかつBのとき←
AかつB^cのとき↓
A^cかつBのとき↑
A^cかつB^cのとき→
で定めると(j,k)に到達する経路になる

自分としては>>910の計算の詳細というかそれを計算すれば良いという理由が知りたい

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912(1): 2023/08/31(木)19:40 ID:BYJPeYT7(1) AAS
>>911
解答ありがとう。

> 自分としては>>910の計算の詳細というかそれを計算すれば良いという理由が知りたい
n回移動後に(j,k)に到着する確率をp[n,j,k]とすると漸化式
p[n+1,j,k] = (1/4)(p[n,j-1,k] + p[n,j+1,k] + p[n,j,k-1] + p[n,j,k+1])
が成り立ち、これを解けば答えが出る。
そこでp[n,j,k]の（確率）特性関数
P[n,x,y] = Σ[j,k∈Z] p[n,j,k] e^(ijx+iky), i=√-1
を考えると漸化式は
P[n+1,x,y] = (1/4)(e^(+ix) + e^(-ix) + e^(+iy) + e^(-iy))P[n,x,y]
省7

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