[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
53: 漆肆参 ◆i.6b92fBQS7D 2022/12/25(日)06:50 ID:bxcZkaLZ(2/8) AAS
>>52
>そうして元の体Kを変えないK(θ)上の
>自己同形全体の為す群がガロア群である。
そして、θがベキ根で表せるのは
ガロア群が可解であるとき、
すなわち、剰余群が巡回群となるような正規部分群を次々とっていって、
単位群まで縮小可能となるとき、その時に限る
その場合KとK(θ)の間の中間体Mで
M上でのK(θ)のガロア群が正規部分群
省11
54(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/25(日)09:30 ID:4mPovfMa(1/5) AAS
>>34 追加補足
まず(参考)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www-users.york.ac.uk
Symmetries of Equations: An Introduction
to Galois Theory
Brent Everitt 2007
Department of Mathematics, University of York,
P6
(1.9) If this was always the case, things would be very simple: Galois theory would just be the study
of the “shapes” formed by the roots of polynomials, and the symmetries of those shapes. It would be a
省20
55(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/25(日)09:31 ID:4mPovfMa(2/5) AAS
>>54
つづき
さて、>>34 外部ﾘﾝｸ:mathlog.info Mathlog 子葉
β1＝α0+α1η+α2η^2+α3η^3+α4η^4 ｜ηは1の5乗根で、ラグランジュ・ソルベントになっている
↓(η→η^3への置き換え)
β3＝α0+α1η^3+α2η^6+α3η^9+α4η^12=α0+α1η^3+α2η^+α3η^4+α4η^2
ここちょうど、上記 Everittの ”α は不動でαω→αω^3→αω^4→αω^2(→元のαωに戻る巡回置換の図”に相当している
ここで、Mathlog 子葉にあるのは、η 1の5乗根のη→η^3への置き換え
なので、 Everittの図も同様に、5乗根の置き換えを図示しているってこと
Everittの図は、x^5 - 2=0 のクンマー拡大 Q(α =2^1/5,ω：1の5乗根)を表していて、
省10
56(1): 漆肆参 ◆i.6b92fBQS7D 2022/12/25(日)09:48 ID:bxcZkaLZ(3/8) AAS
おサルの1クン やっと、(Z/5Z)× が何なのか学び始めたね
>>54
＞（図があるが略（というかここには示せない））
＞（言葉で書くと、
＞ 複素平面上の半径r=α =2^1/5上に頂点を持つ正5角形で、
＞ 頂点の一つが実数α =2^1/5で、
＞ そこから反時計回りに、αω,αω^2,αω^3,αω^4 と頂点が配置された図）
Z/5Zは α→αω→αω^2→αω^3→αω^4 と置換する
しかし
＞（言葉で書くと、α は不動でαω→αω^3→αω^4→αω^2(→元のαωに戻る巡回置換の図））
省9
57(1): 漆肆参 ◆i.6b92fBQS7D 2022/12/25(日)09:58 ID:bxcZkaLZ(4/8) AAS
>>55
＞Everittの図も同様に、5乗根の置き換えを図示しているってこと
＞Everittの図は、x^5 - 2=0 のクンマー拡大 Q(α =2^1/5,ω：1の5乗根)を表していて、
＞そのうちのω＝1の5乗根 による拡大（置換）を扱っている（説明している）図ってことだね！
位数４（５ではない！）の群（Z/5Z）×
（つまりω→ω^3→ω^4→ω^2→ω）
による拡大は、クンマー拡大じゃなくて円分拡大
クンマー拡大は位数5の群(Z/5Z)による拡大な
（α→αω→αω^2→αω^3→αω^4→α）
58(1): 漆肆参 ◆i.6b92fBQS7D 2022/12/25(日)10:11 ID:bxcZkaLZ(5/8) AAS
>>55
つまり
外部ﾘﾝｸ:mathlog.info
のβ1~β4は、円分拡大に対応する
じゃ、クンマー拡大は？
それは
α0+α1η+α2η^2+α3η^3+α4η^4 を
α1+α2η+α3η^2+α4η^3+α0η^4 に
置き換えること（およびその繰り返し）に対応する
α1+α2η+α3η^2+α4η^3+α0η^4
省9
59(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/25(日)10:15 ID:4mPovfMa(3/5) AAS
>>50
>実はα0~α4のどれでもいい
>どれか１つから、他の４つは巡回関数σで生み出せる
>σは、cosの二倍角公式だから有理関数（しかも多項式）だ
>β1~β4は、例えばα0と巡回関数σと１の5乗根ζ5から生成できる
>これが「共通因子」だなｗ
>定理6.5の証明の
>「ラグランジュの分解式」
>が分かっていれば即答できたな
１）大体は、それで良いが
省32
60: 漆肆参 ◆i.6b92fBQS7D 2022/12/25(日)10:21 ID:bxcZkaLZ(6/8) AAS
Q→Q(η)→Q(η,β1)
F20⊃C5⊃{e}
つまり
[Q(η,β1):Q]=20
[Q(η,β1):Q(η)]=5
[Q(η):Q]=4
61(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/25(日)10:35 ID:4mPovfMa(4/5) AAS
>>56
(引用開始)
＞This is not a geometrical symmetry!
そう単純な幾何学的対称性ではない
ただ、円の五等分点と考えて、
円の長さを三倍に引き伸ばした上で
三周させる形に巻きなおすと
ω→ω^3→ω^4→ω^2→ω
の対応が得られる
(引用終り)
省13
62(1): 漆肆参 ◆i.6b92fBQS7D 2022/12/25(日)10:39 ID:bxcZkaLZ(7/8) AAS
>>59
＞いま、β1とか具体的数式で与えられているから
＞具体的に2項方程式 x^5-a＝0のa∈K（1の原始5乗根を含む体）を与えて
＞β1＝aでもいいけど、それで他のβ2,β3,β4を、
＞a^1/5と1の原始5乗根ηとで具体的表式で示せれば、
＞これぞクンマー拡大の典型例となる
＞そう思ったわけです
β1^5,β2^5,β3^5,β4^5は、全部Q(η)の元
そしてそれら４つの数は、円分拡大の巡回群で巡回する
上記を利用すれば、できるね うん
省1
63(1): 漆肆参 ◆i.6b92fBQS7D 2022/12/25(日)10:46 ID:bxcZkaLZ(8/8) AAS
>>61
＞広い意味で
勝手に広げちゃダメだよ
クンマー理論
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
クンマー拡大(Kummer extension)とは、
ある与えられた整数 n > 1 に対し次の条件を満たすような体の拡大 L/K のことを言う。
・K は、n 個の異なる1のn乗根（つまり、Xn−1 の根）を含む。
・L/K はexponent n の可換ガロア群を持つ。
省5
64(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/25(日)23:47 ID:4mPovfMa(5/5) AAS
>>62
> ま、頑張って
なんだよｗ
それは、おれのセリフだよｗｗ
>>63
>＞広い意味で
> 勝手に広げちゃダメだよ
良いんだよ
私的な試行錯誤のときはｗ
自由に考えて良いんだ
省26
65(1): 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/26(月)07:00 ID:QjvnggET(1/5) AAS
AA省
66(1): 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/26(月)07:18 ID:QjvnggET(2/5) AAS
>>64
>クンマー理論・クンマー拡大のベースの体の話に戻ると
戻ってばっかりだね
>元の体は、有理数体Qであっても、べき根を取る a^1/n で、
>aの属する体はQを拡大した体になるべし
a∈Q(η)だっていってるじゃん（ηは1の5乗根）
君、物覚え悪いね
>具体例は、下記の”11乗して1になる数を求める円分多項式”にある
>（但し、C0^5 ∈ Q(√-11)→C0^5 ∈ Q(√-11,σ) σは1の5乗根 だろうね、
> C0はラグランジュ・リゾルベントを使っているから）
省20
67(1): 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/26(月)08:01 ID:QjvnggET(3/5) AAS
くだらん計算
B0-B1
= ξ + ξ^4 + ξ^5 + ξ^9 + ξ^3 - ξ^2 - ξ^8 - ξ^10 - ξ^7 - ξ^6
(B0-B1)^2
=(ξ + ξ^4 + ξ^ 5 + ξ^ 9 + ξ^3 - ξ^2 - ξ^8 - ξ^10 - ξ^7 - ξ^ 6)^2
= ξ^2 + ξ^5 + ξ^ 6 + ξ^10 + ξ^4 - ξ^3 - ξ^9 - 1 - ξ^8 - ξ^ 7
+ξ^5 + ξ^8 + ξ^ 9 + ξ^ 2 + ξ^7 - ξ^6 - ξ - ξ^ 3 - 1 - ξ^10
+ξ^6 + ξ^9 + ξ^10 + ξ^ 3 + ξ^8 - ξ^7 - ξ^2 - ξ^ 4 - ξ - 1
+ξ^10 + ξ^2 + ξ^ 3 + ξ^ 7 + ξ - 1 - ξ^6 - ξ^ 8 - ξ^ 5 - ξ^ 4
+ξ^4 + ξ^7 + ξ^ 8 + ξ + ξ^6 - ξ^5 - 1 - ξ^ 2 - ξ^10 - ξ^ 9
省7
68(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/26(月)08:19 ID:QokK4Ea5(1) AAS
>>67
ありがと
ついでに
そのB0とB1の組み分けの数学的意味を解説してくれるかな
>>66
> ちなみにラグランジュ・リゾルベントの式を見れば
> 「ああ、離散フーリエ変換と同じだな」と分かる
だれも言わないみたい
そういう意味では、独創（独走？ｗ）か
個人的かつ妄想的 数学用語の使い方だな
省5
69: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/26(月)08:31 ID:QjvnggET(4/5) AAS
>>68
>B0とB1の組み分けの数学的意味を解説してくれるかな
自分で気づきなよ なんのために検索してんの
>> ちなみにラグランジュ・リゾルベントの式を見れば
>> 「ああ、離散フーリエ変換と同じだな」と分かる
>だれも言わないみたい
誰も言わないとそうだといえないんだ 自分の頭で考えないの？
>場末の5ｃｈで必死に吠えるの図
それ、大学１年の数学でオチコボレた君じゃん
ご苦労様
70(1): 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/26(月)08:38 ID:QjvnggET(5/5) AAS
>>68
>B0とB1の組み分けの数学的意味を解説してくれるかな
まあ、おサルさんには一生見つけられないだろうから
冥途の土産に教えてあげるよ
美的数学のすすめ ガウス和
外部ﾘﾝｸ:biteki-math.はてなブログ.com/entry/2015/03/17/013543
「へーほーじょーよ」って言葉があるだろ？
それにしても、なんだ、直接計算しなくても求まるじゃんｗ
71(1): 2022/12/26(月)23:37 ID:SO0v4DPk(1/2) AAS
ハーイ、1の11乗根を巾根を使って書けば、（1）^{1/11}でーす。
実に簡単に巾根を使って書けますね。
72: 2022/12/26(月)23:58 ID:SO0v4DPk(2/2) AAS
今度丸善から
抽象代数学史概講 代数方程式から近代代数学へ
著者名 三宅 克哉 訳
原書名 A History of Abstract Algebra: From Algebraic Equations to Modern Algebra
という本が出るよ。
73: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/27(火)05:52 ID:+ufoBjtG(1) AAS
>>71
>1の11乗根を巾根を使って書けば、（1）^{1/11}
>実に簡単に巾根を使って書けますね。
でも、実は平方根と５乗根で書ける
1の5乗根は平方根だけで書ける
1の7乗根は平方根と立方根だけで書ける
74(1): 2022/12/27(火)08:01 ID:54Cbbi6K(1/2) AAS
巾根の中を実数に（正負どちらも許す）制限した場合に、
円のｎ等分方程式は如何に解かれるか？
すくなくとも1^{1/n}という表示による解はあるのだが。
たとえばn=11の場合を11よりも小さい巾の根で根号の中身は
すべて実数であるという表示を用いて表せるだろうか？
75(3): 2022/12/27(火)09:13 ID:IQVienvL(1) AAS
なんで実数に制限するの？
池沼の考えることは分からんねｗ
76(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/27(火)11:10 ID:6dMNL3dI(1/3) AAS
これ、面白いな
外部ﾘﾝｸ:gigazine.net
gigazine
2022年12月07日
素粒子物理学に必須級のソフトウェア「FORM」の保守はたった1人の老科学者が担っている、新しい機器では使えなくなり研究が停滞する危険性
1980年代に開発され、それ以来30年以上にわたって最先端の素粒子物理学で使われ続けているソフトウェア「FORM」の陳腐化が進んでおり、もし使えなくなればこの分野の研究者にとって手痛い打撃になる危険性があると、科学系ニュースサイトのQuanta Magazineが報じました。
Crucial Computer Program for Particle Physics at Risk of Obsolescence | Quanta Magazine
外部ﾘﾝｸ:www.quantamagazine.org
Quanta Magazineによると、科学の中でも素粒子物理学は特に長大な方程式を扱う研究分野だとのこと。例えば、大型ハドロン衝突型加速器で新しい素粒子を探す研究では、粒子が光速に近い速度で衝突する結果を予測するためにファインマン・ダイアグラムという図が何千枚も作成されますが、その1つ1つが何百万項からなる複雑な数式を内包しています。
このような数式の計算には数式処理システムと呼ばれるソフトウェアが必要ですが、その中でも傑出しているのがオランダの素粒子物理学者であるJos Vermaseren氏によって開発された「FORM」です。
省2
77: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/27(火)11:10 ID:6dMNL3dI(2/3) AAS
>>76
つづき
よりユーザーフレンドリーな「Mathematica」といった数式処理システムを選ぶ研究者もいますが、MathematicaはFORMに比べて桁違いに動作が遅いので、素粒子物理学者はいずれFORMを使わなければ計算できない問題に取り組めなくなる可能性が危惧されています。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
FORM (symbolic manipulation system)
Its original author is Jos Vermaseren of Nikhef, the Dutch institute for subatomic physics. It is widely used in the theoretical particle physics community, but it is not restricted to applications in this specific field.[1]
Contents
1 Features
2 Example usage
3 History
省3
78: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/27(火)11:13 ID:6dMNL3dI(3/3) AAS
>>75
ご苦労様です
スレ主です
年末忙しいので
レスするヒマないが
落ち着いたらまた
79: 2022/12/27(火)11:32 ID:Hatu8KFK(1/4) AAS
>>76
面白い １が言ったら つまらない
80(1): 2022/12/27(火)11:36 ID:VRfHkim5(1) AAS
つまらなくても情報は情報
81: 2022/12/27(火)11:40 ID:Hatu8KFK(2/4) AAS
>>74
いかにも劣等生が無理矢理考えた問題 乙
82: 2022/12/27(火)11:44 ID:Hatu8KFK(3/4) AAS
>>75
まぁ、複素数のn乗根なんて
どうやって計算すんだ？
と言いたいんだろうな
83: 2022/12/27(火)11:48 ID:Hatu8KFK(4/4) AAS
>>80
空でも集合
単位元だけでも群
0だけでも0次元線形空間
84: 2022/12/27(火)16:13 ID:SY0eh102(1) AAS
【芸能人体調不良】 多すぎ 【救急車のサイレン】
2chｽﾚ:body
BEｱｲｺﾝ:203u2.png
85: 2022/12/27(火)22:36 ID:54Cbbi6K(2/2) AAS
空数学は、公理が１つも無し、論理も無し、命題も無し。最も単純な数学だ。
86(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/27(火)23:42 ID:p2TgDrx+(1) AAS
>>75
>なんで実数に制限するの？
>池沼の考えることは分からんねｗ
そうだね
日本の数学教程が貧弱なのかも
(参考)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ms.u-tokyo.ac.jp
高校生のための現代数学講座 東京大学
「複素数」 玉原国際セミナーハウス
講義 (4) 松尾 厚 2018 年
省28
87(1): 2022/12/28(水)07:23 ID:ohlxo9pA(1/5) AAS
>>86
教程以前に学生の勉学意欲が貧弱 だから能力も貧弱
数学書の文章も読めない
書かれてる式の計算もできない
それじゃ数学わかるわけない
88(1): 2022/12/28(水)07:25 ID:ohlxo9pA(2/5) AAS
>>86
＞（参考）
一読もせずに漫然とコピペする馬鹿にはなりたくないもんだね
89(1): 2022/12/28(水)13:55 ID:Nlb5LCC+(1) AAS
>>87
>>88
13 １３２人目の素数さん sage 2022/12/28(水) 08:23:01.73 ID:ohlxo9pA
おまえら いいたいこというなら
顔と実名だせよ チンカス
90(1): 2022/12/28(水)14:40 ID:ohlxo9pA(3/5) AAS
>>89
15１３２人目の素数さん2022/12/28(水) 13:53:04.91ID:Nlb5LCC+
このスレと何の関係があるんだ？
16１３２人目の素数さん2022/12/28(水) 13:53:44.66ID:Nlb5LCC+
侮辱することは犯罪にはならんぞ
お前はアホなのか？
91(1): 2022/12/28(水)14:41 ID:em/FvuC8(1) AAS
>>90
頭弱いからコピペでしか対応できなくて草
92(1): 2022/12/28(水)15:17 ID:ohlxo9pA(4/5) AAS
>>91
草じゃなく糞の間違いだろ？
93(1): 2022/12/28(水)15:18 ID:x4VVg6a2(1) AAS
>>92
バカが反応した
94: 2022/12/28(水)15:19 ID:ohlxo9pA(5/5) AAS
>>93
友達いないのか？
95(2): 2022/12/29(木)14:48 ID:DuM7GG4h(1/2) AAS
実係数多項式が1次あるいは２次の多項式の積に必ず分解できることを
ガウスは証明したとして学位を得た。
しかしその証明には、ある意味誤魔化しがあった。おそらくガウスは
そのことを自覚していたはずだと思われる。
でも、学位は取り消しにはならなかったね。
96: 2022/12/29(木)15:35 ID:672StsPz(1/7) AAS
>>95
さすがにガウスより出来のいい教授なんていなかったでしょ
（Mathematice Genealogyによると
ガウスの師はパッフ（Pfaff）とある
パフィアンの名前の由来になった人ですね）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
97(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/29(木)15:50 ID:672StsPz(2/7) AAS
>>59
>β1＝aでもいいけど、それで他のβ2,β3,β4を、
>a^1/5と1の原始5乗根ηとで具体的表式で示せれば、
>これぞクンマー拡大の典型例となる
cos(2nπ/11) (n=1~5) を根とする５次方程式の場合だが
実は根を表示する４つのラグランジュ分解式 L1~L4は
L1*L4=11、L2＊L3=11 という等式を満たすので
L3=11/L2、L4=11/L1 と表せる
したがって、L1とL2が求まればよい
省1
98: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/29(木)17:34 ID:672StsPz(3/7) AAS
素数pについて、円のp等分を考える場合
cos(2nπ/p) (n=１~(p-1)/2) を根とする
(p-1)/2次多項式のラグランジュ分解式m＝((p-1)/2)-1個について
もしmが偶数なら、互いにその積がpとなるm/2個の対が存在する
99(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/29(木)17:59 ID:Dt/DNUrE(1/6) AAS
>>95
>ガウスは証明したとして学位を得た。
>しかしその証明には、ある意味誤魔化しがあった。おそらくガウスは
>そのことを自覚していたはずだと思われる。
>でも、学位は取り消しにはならなかったね。
それが”時代の進歩”ってやつでしょう
かつ、学位は取り消されるべきものではないのだろうと思う（学位は人に出されるもの）
学会のなんとか賞も、多少の瑕疵が分かっても、同様なのでしょう（なんとか賞も人に対して出されるもの）
(参考) （和文はしょぼいので、英文ご参照）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省6
100(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/29(木)18:00 ID:Dt/DNUrE(2/6) AAS
>>99
つづき
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Fundamental theorem of algebra
History
The other one was published by Gauss in 1799 and it was mainly geometric, but it had a topological gap, only filled by Alexander Ostrowski in 1920, as discussed in Smale (1981).[7]
The first rigorous proof was published by Argand, an amateur mathematician, in 1806 (and revisited in 1813);[8] it was also here that, for the first time, the fundamental theorem of algebra was stated for polynomials with complex coefficients, rather than just real coefficients. Gauss produced two other proofs in 1816 and another incomplete version of his original proof in 1849.
None of the proofs mentioned so far is constructive. It was Weierstrass who raised for the first time, in the middle of the 19th century, the problem of finding a constructive proof of the fundamental theorem of algebra. He presented his solution, which amounts in modern terms to a combination of the Durand?Kerner method with the homotopy continuation principle, in 1891. Another proof of this kind was obtained by Hellmuth Kneser in 1940 and simplified by his son Martin Kneser in 1981.
省3
101: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/29(木)18:04 ID:672StsPz(4/7) AAS
>>99-100
なんだ、箱入り無数目スレで、撃沈されたんで
今度は、このスレに逃げてきたのかい？
あちこち逃げ回ってばっかりだねぇ
数学学びたいんなら、まず国語からやりなおしたほうがいいな
102(1): 2022/12/29(木)18:05 ID:DuM7GG4h(2/2) AAS
平面代数曲線が突然途切れておしまいになることはないのだ、
というような自明では無いことをさらりと書いて（あるいは仮定して）、
だから2つの曲線が交点を持つ（そこもまたJordan閉曲線定理を利用）
と言って論を進めていた。もちろんそれらは正しいのだが、証明をせずに
正しいとして使っている。
103(2): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/29(木)18:23 ID:672StsPz(5/7) AAS
>>97
＞cos(2nπ/11) (n=1~5) を根とする５次方程式の場合だが
＞実は根を表示する４つのラグランジュ分解式 β1~β4は
＞β1*β4=11、β2＊β3=11 という等式を満たすので
＞β3=11/β2、β4=11/β1 と表せる
＞したがって、β1とβ2が求まればよい
こう書くと、２と11/2 みたいな感じで
とらえられるかもしれんが全然違う
実際にcos(2nπ/11) (n=1~5)から
ラグランジュ分解式の値を計算したから
省9
104(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/29(木)20:39 ID:Dt/DNUrE(3/6) AAS
>>103
ご苦労様です
105: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/29(木)20:41 ID:Dt/DNUrE(4/6) AAS
>>102
>平面代数曲線が突然途切れておしまいになることはないのだ、
>というような自明では無いことをさらりと書いて（あるいは仮定して）、
>だから2つの曲線が交点を持つ（そこもまたJordan閉曲線定理を利用）
>と言って論を進めていた。もちろんそれらは正しいのだが、証明をせずに
>正しいとして使っている。
そうなんですよね
でも、数学史を見ると、そういうことは至るところにあって
例えば、フーリエ級数をつきつめて考えたカントール
そこから、無限集合論を構築したという（下記）
省21
106: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/29(木)21:33 ID:672StsPz(6/7) AAS
>>104 いえるのはそれだけですか なさけないねぇ
107(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/29(木)22:08 ID:Dt/DNUrE(5/6) AAS
>>103
> β1、β2、β3、β4は、全部絶対値√11の複素数であり
> β1とβ4、β2とβ3は、互いに共役である
それ、クンマー理論との関係で、1の5乗根との対応つかない？
つまり、複素数を極形式 re^iθ で表したとき
θ＝72°、144°、216°、288°
のどれかに
なってないかな？
108(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/29(木)22:18 ID:672StsPz(7/7) AAS
>>107
自分で根からラグランジュ分解式の値を求めて確かめてみたら？
まあ、そんな単純なことなら誰も苦労しませんよ
ということで
下手な考え 休むに似たり
109: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/29(木)23:08 ID:Dt/DNUrE(6/6) AAS
>>108
ああ、やってみるよ
ありがとうね
110(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)08:37 ID:bjNnsn/s(1/21) AAS
さて、そろそろ投下するか
n=1 X-1
ζ1=1
n=2 X^2-1=(X-1)(X+1)
ζ2=-1
n=3 X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)
X^2+X+1=(X-ζ3)(X-ζ3^2)
ラグランジュ分解式
ζ3+ζ3^2 ?
ζ3-ζ3^2 ?
省11
111(4): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)08:48 ID:bjNnsn/s(2/21) AAS
n=4 X^4-1=(X-1)(X+1)(X^2+1)
X=(-1)^(1/2)
n=5 X^5-1=(X-1)(X^4+X^3+X^2+X+1)
ラグランジュ分解式
ζ5+ ζ5^2+ζ5^4+ ζ5^3 ?
ζ5+iζ5^2-ζ5^4-iζ5^3 ?
ζ5- ζ5^2+ζ5^4- ζ5^3 ?
ζ5-iζ5^2-ζ5^4+iζ5^3 ?
?=-1
?^2
省10
112(3): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)08:49 ID:bjNnsn/s(3/21) AAS
>>111を踏まえて
?^2
=(ζ5+iζ5^2-ζ5^4-iζ5^3)^2
=((ζ5-ζ5^4)+i(ζ5^2-ζ5^3))^2
=((ζ5-ζ5^4)^2-(ζ5^2-ζ5^3)^2+2i(ζ5-ζ5^4)(ζ5^2-ζ5^3))
=((ζ5^2+ζ5^3-2)-(ζ5^4+ζ5-2)+2i(ζ5^3-ζ5-ζ5^4+ζ5^2))
=((-1-2i)√5)
?^2
=(ζ5-iζ5^2-ζ5^4+iζ5^3)^2
=((ζ5-ζ5^4)-i(ζ5^2-ζ5^3))^2
省22
113(2): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)08:50 ID:bjNnsn/s(4/21) AAS
>>112 したがって
ζ5
=1/4(?+?+?+?)
=(-1+√5)/4+i√(10+2√5)/4
ζ5^4
=1/4(?+?-?-?)
=(-1+√5)/4-i√(10+2√5)/4
ζ5^2
=1/4(?-?+i?-i?)
=(-1-√5)/4+i√(10-2√5)/4
省3
114(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)08:53 ID:bjNnsn/s(5/21) AAS
>>110-113
ま、この程度は高校生どころか
中学生でもできるだろう
所詮二次方程式だからね
1ことSET Aクンにはできるかな？
もちろん これで終わりではない
続きがあるのだよ 乞うご期待
115: 2022/12/30(金)09:08 ID:ObhvbfaG(1/3) AAS
√2=ζ_8+ζ_8^{-1}
116(3): 2022/12/30(金)09:12 ID:OGmV5zzW(1/6) AAS
ラグランジュ分解式=指標和(character sum)であることが説明されてない本は素人本だね。
わたしは大学の頃自分で気づいたが、後で見たらラングだったかの本にはちゃんと書いてあった。
117(1): 2022/12/30(金)09:13 ID:OGmV5zzW(2/6) AAS
大学の頃図書館にあって参照していて、もう一度見たいと思って
アマゾンで見たら絶版になってプレミアまで付いていた本が
オンデマンドで復刊されている...。高いわｗ
岩波基礎数学選書 体とガロア理論
藤?ｱ源二郎 | 2020/12/10
オンデマンド (ペーパーバック)
￥8,580
Wikipedia含めてwebに必要な情報はある程度落ちている時代に
手元に置いておく価値があるかは微妙。
118: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)09:16 ID:bjNnsn/s(6/21) AAS
>>116
そこは、そもそも指標とは何なのか、から、来年頑張らせてもらうｗ
年末はとりあえず 「ラグランジュであそぼ」
119(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)09:21 ID:bjNnsn/s(7/21) AAS
>>116-117
大学の頃は、整数論は「敬して遠ざける」態度だったが
実にもったいないことをした
専門とするか否かはともかくとして、円分多項式は実に面白い
三角関数が分かってるなら、なんとかなるだろう（理屈はともかく）
120(2): 2022/12/30(金)09:34 ID:OGmV5zzW(3/6) AAS
円分体の場合は、ラグランジュ分解式の計算は全てガウス和の計算に帰する。
そして、ガウス和の積に関してJacobi和との間にある関係式が成立する
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ので、結局「べき根の中身」の計算はJacobi和から計算される。
χをk次の指標とすると
G(χ)^k=χ(-1)pΠ_{j=1}^{k-2}J(χ,χ^j)∈Q(exp(2πi/k).
121: 2022/12/30(金)09:45 ID:OGmV5zzW(4/6) AAS
>>119
円分体は特別な体で、様々な理論（類体論、岩澤理論等）
の雛型にもなった重要な体。ガウスが"Disquisitiones Arithmeticae"
の第7章で扱った歴史的な意味もある。「目の付け所」はいいと思う。
122: 2022/12/30(金)09:56 ID:OGmV5zzW(5/6) AAS
志村五郎が「数学のあゆみ」だったか、大昔の冊子に書いていたと思うが
「合同関係式」の最も簡単な場合が三角函数の場合。
具体的にはpを奇素数とするとき
sin(px)≡(-1)^{(p-1)/2}sin(x)^p (mod p)
が成立する。意味は
左辺はsin(x)の整数係数多項式であらわされるが
その多項式としての合同関係を言う。
これを使って、平方剰余の相互法則が得られる。
函数の世界にこんな秘密が隠されていることが
垣間見れるのも数論の魅力。
123(2): 2022/12/30(金)09:59 ID:OGmV5zzW(6/6) AAS
ガロア理論の本が山ほど出ているが
正直「志」が低いというか、19世紀数学の気韻には
遠く及ばない。
124(1): 2022/12/30(金)10:26 ID:ObhvbfaG(2/3) AAS
>>123
ではガロア理論をめぐる話をまとめて
数学の現況に迫り
将来の展望を夢見ることができるような本を
出版計画に加えることにしましょう
125(1): 2022/12/30(金)10:43 ID:JCUkh7Yn(1) AAS
抽象化による一般論は、個別の個性を切り捨てて成立するもの。
126: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/30(金)17:03 ID:ck8O6OW4(1/6) AAS
無料だと
当然制限あると思うが
後でトライしていみる
外部ﾘﾝｸ:pictblog.com
ピクトの思考録
【Mathematica】オンライン上で無料でMathematicaが使えるようになった。2020.08.02
目次
そもそも「Mathematica」って？
無料でMathematicaを使うための準備
終わりに
127: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/30(金)17:07 ID:ck8O6OW4(2/6) AAS
>>123-125
コメントありがとう
ございます/
128(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:24 ID:bjNnsn/s(8/21) AAS
>>114
続きを投下するか
n=6
X^6-1=(X-1)(X+1)(X^2+X+1)(X^2-X+1)
((-X)^2+(-X)+1)=X^2-X+1
ζ6 =-ζ3^2= (1+√(-3))/2
ζ6^5=-ζ3 = (1-√(-3))/2
省13
129(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:26 ID:bjNnsn/s(9/21) AAS
AA省
130(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:26 ID:bjNnsn/s(10/21) AAS
AA省
131(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:27 ID:bjNnsn/s(11/21) AAS
>>130
?*?
= (ζ7 +ζ7^6)(ζ7 +ζ7^6)+ω (ζ7 +ζ7^6)(ζ7^3+ζ7^4)+ω^2(ζ7 +ζ7^6)(ζ7^2+ζ7^5)
+ω^2(ζ7^3+ζ7^4)(ζ7 +ζ7^6)+ (ζ7^3+ζ7^4)(ζ7^3+ζ7^4)+ω (ζ7^3+ζ7^4)(ζ7^2+ζ7^5)
+ω (ζ7^2+ζ7^5)(ζ7 +ζ7^6)+ω^2(ζ7^2+ζ7^5)(ζ7^3+ζ7^4)+ (ζ7^2+ζ7^5)(ζ7^2+ζ7^5)
= ((ζ7^2+ζ7^5+2)+(ζ7^6+ζ7+2)+(ζ7^4+ζ7^3+2)
+ω (2*(ζ7+ζ7^6)+(ζ7^3+ζ7^4)+(ζ7^2+ζ7^5))
+ω^2(2*(ζ7+ζ7^6)+(ζ7^3+ζ7^4)+(ζ7^2+ζ7^5))
=(-1)+2+2+2+(-1)(2*(-1))
=7
省20
132(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:29 ID:bjNnsn/s(12/21) AAS
>>131
?=(ζ7-ζ7^6)+ (ζ7^2-ζ7^5)+ (ζ7^4-ζ7^3)
?=(ζ7-ζ7^6)+ω (ζ7^2-ζ7^5)+ω^2(ζ7^4-ζ7^3)
?=(ζ7-ζ7^6)+ω^2(ζ7^2-ζ7^5)+ω (ζ7^4-ζ7^3)
?^2
=((ζ7+ζ7^2+ζ7^4)-(ζ7^3+ζ7^5+ζ7^6))^2
=((ζ7+ζ7^2+ζ7^4)^2+(ζ7^3+ζ7^5+ζ7^6)^2-2(ζ7+ζ7^2+ζ7^4)(ζ7^3+ζ7^5+ζ7^6))
=((ζ7^2+ζ7^4+ζ7+2ζ7^3+2ζ7^5+2ζ7^6)
+(ζ7^6+ζ7^3+ζ7^5+2ζ7+2ζ7^2+2ζ^6)
-2(ζ7^4+ζ7^5+1+ζ7^6+1+ζ7^2+1+ζ+ζ^3)
省3
133(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:30 ID:bjNnsn/s(13/21) AAS
AA省
134(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:30 ID:bjNnsn/s(14/21) AAS
AA省
135(2): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:31 ID:bjNnsn/s(15/21) AAS
>>134
?^3
=?(2-ω)?
=(2-ω)(2ω+3)?
=(2-ω)(2ω+3)√-7
=(-2ω^2+ω+6)√-7
=(3ω+8)√-7
=(-3√(-7)-3√21)/2+16√-7/2
=(13√(-7)-3√21)/2
?^3
省12
136: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:32 ID:bjNnsn/s(16/21) AAS
>>135
したがって
ζ7 =1/6(?+ ? +?+? +? +?)
ζ7^3=1/6(?-ω ?+ω^2?-?+ω ?-ω^2?)
ζ7^2=1/6(?+ω^2?+ω ?+?+ω^2?+ω ?)
ζ7^6=1/6(?- ? +?-? +? -?)
ζ7^4=1/6(?+ω ?+ω^2?+?+ω ?+ω^2?)
ζ7^5=1/6(?-ω^2?+ω ?-?+ω^2?-ω ?)
137: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)17:37 ID:bjNnsn/s(17/21) AAS
>>128-136
ま、三次方程式だから、
カルダノの公式を使うこともできるが
あえてそうしなかった
これがラグランジュ分解式の威力だよ
さて
５次「まなったん」に続き
７次「なぁちゃん」も陥落
つぎは・・・もちろん
１１次「大まいやん様」
138(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/30(金)18:00 ID:ck8O6OW4(3/6) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ[html]:edu.isc.chubu.ac.jp
wxMaxima(Maximaマキシマ）
Maximaは数式処理ができるフリーソフトです。
普通の計算だけでなく
方程式から解を見つける
因数分解
微分
積分
数式をグラフ化する
省7
139: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)18:05 ID:bjNnsn/s(18/21) AAS
>>138
自分で計算しないと、数学は全く理解できないよ
140(2): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)18:21 ID:bjNnsn/s(19/21) AAS
>>59
＞いま、β1とか具体的数式で与えられているから
＞具体的に2項方程式 x^5-a＝0のa∈K（1の原始5乗根を含む体）を与えて
＞β1＝aでもいいけど、それで他のβ2,β3,β4を、
＞a^1/5と1の原始5乗根ηとで具体的表式で示せれば、
＞これぞクンマー拡大の典型例となる
＞そう思ったわけです
＞どうぞ、やってみてね！ｗ
（予告）
やってみたらあっさりできたｗ
省2
141(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/30(金)19:50 ID:ck8O6OW4(4/6) AAS
>>138
>wxMaxima(Maximaマキシマ）
ちょっとやってみた
式の展開
(x+1/x)^nで
10乗と9乗と
10乗は、指数がすべて偶数で、定数項（0次の項）がある
9乗は、指数がすべて奇数で、定数項（0次の項）がない
係数が結構大きくなるね（2項係数だから当然だが）
(参考)xMaximaの例
省4
142: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)19:59 ID:bjNnsn/s(20/21) AAS
>>141
万年高校生の雑談クンらしい実験だね
143(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/30(金)20:03 ID:bjNnsn/s(21/21) AAS
どうせなら、こんなこと↓に挑戦してみたら？
円分多項式の係数を計算する - 〈105〉を超えて
外部ﾘﾝｸ:shironetsu.はてなダイアリー.com/entry/2020/09/06/200150
144(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/30(金)20:11 ID:ck8O6OW4(5/6) AAS
>>140
ご苦労様です
145: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/30(金)20:12 ID:ck8O6OW4(6/6) AAS
>>143
ありがとね
146(1): 2022/12/30(金)22:30 ID:ObhvbfaG(3/3) AAS
>>141
目も当てられないほど低レベル
>>144
要するに敬遠するしかないということを自白している
147: 2022/12/31(土)06:24 ID:boH/0Z/D(1/3) AAS
此のスレの>>1の投稿者の集合Aは猿ではない、痰吐き散らしメクラ公害食糞虫だ
148(8): 2022/12/31(土)06:25 ID:3jK34k/w(1/10) AAS
ラグランジュ分解式を指標和と考えるメリット？
ポントリャーギン双対として統一的な理解が得られる。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
前スレに書いた、「巡回方程式のべき根表示=フーリエ級数展開の類似」
も、ほぼもろに書いてありますね。
>・有限アーベル群上の複素数値函数はその（もとの群と自然同型ではないが同型な）
>双対群上の函数としての離散フーリエ変換>を持ち、有限群上の任意の函数が
>その離散フーリエ変換から復元することができる。
これは、
「ガロア群G∋σに対して、θ(σ)=σ(θ)（θへのσの作用）をG上の函数とみなす」
省4
149(3): 2022/12/31(土)06:31 ID:3jK34k/w(2/10) AAS
ここに書いてある通り、実は巡回群より一般にアーベル群でも指標を使えばそのまま行ける。
これを大学の頃レポートで書いて提出した。
次は、そもそも「べき根の中身」にはどういう数が入るのだろうか？という疑問は当然起こる。
それが「分岐する素数」と関係するという話が「代数的整数論」に入ってくる。
150: 2022/12/31(土)06:43 ID:0YauhSmZ(1) AAS
クンマーに読ませてあげたい
151(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/31(土)09:16 ID:cbuR6Msl(1/37) AAS
>>148-149
びっくりするほどポントリャーギン！
…というにはまだまだ私には修行が足りない…
ところで、1の5乗根η（通称まなったんｗ）から
大まいやん様の魂？とでもいうべき11が出てきてしまったので
御報告いたします
(2η-η^3-2η^2)(2η^4-η^2-2η^3)
=(4+1+4-2η^3+2η-4η-4η^4-2η^2+2η^2)
=(4+1+4-2η^3-2η-2η^2-2η^4)
=11
省14
152(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/31(土)09:28 ID:cbuR6Msl(2/37) AAS
>>151
ぬおお、一か所-を+と書き間違った！
誤 2η^3-η^4+2η
正 2η^3-η^4-2η
ということで
1の5乗根ηから11が出てきてしまった件
再度報告
(2η-η^3-2η^2)(2η^4-η^2-2η^3)
=(4+1+4-2η^3+2η-4η-4η^4-2η^2+2η^2)
=(4+1+4-2η^3-2η-2η^2-2η^4)
省5
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 850 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.047s