[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
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1(15): 2022/12/19(月)23:31 ID:KRlSoN+A(1/5) AAS
クレレ誌：
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)
そこで
現代の純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）スレとして
新スレを立てる（＾＾；
＜前スレ＞
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11
2chｽﾚ:math
省16
2(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/19(月)23:32 ID:KRlSoN+A(2/5) AAS
つづき
＜数学隣接分野について＞
外部ﾘﾝｸ:planck.exblog.jp
大栗博司のブログ
2010年 08月 21日
フィールズ賞
今週はインドのハイデラバードで国際数学者会議 (ICM) が開かれ、フィールズ賞受賞者が発表されました。１９９０年以来の過去５回のICMでは、フィールズ賞受賞者のおよそ４割が場の量子論や超弦理論に関係する分野で研究をされていたので、今回はどうなるのだろうかと思っていました。
今回の受賞者のひとりはスタニスラフ・スミルノフさんで、ある種の２次元の統計模型がスケール極限で共形対称性を持つことを示し、物理学者のジョン・カーディさんの予想していた公式に数学的証明を与えました。場の量子論に数学的基礎を与えることは数理物理学の長年の課題ですが、２次元の共形場の理論では確実な進歩が起きています。前回の２００６年のICMでフィールズ賞を受賞されたウェンデリン・ウェルナーさんの業績も２次元の共形場の理論に関係するものでした。
スミルノフさんはCaltechの大学院の卒業生なので、今回の受賞はCaltechにとってもうれしいニュースでした。
もうひとりの受賞者のセドリック・ビラニさんへの授賞対象は気体分子の運動論で、非平衡の状態からどのように平衡状態への移行が起きるのかの理解を進められたのだそうです。
省6
3(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/19(月)23:33 ID:KRlSoN+A(3/5) AAS
つづき
また、IMUの新総裁 中島啓氏は、”紹介：理論物理学に起源を持つゲージ理論を数学的に研究することを中心テーマと している。また、この研究がカッツ・ムーディー・リー環や、その変形と関係 することから、これらの対象の表現論も同時に研究している。 主要な成果として、次のようなものを得た。(略) 箙多様体と名づけた・・”外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
と記されています
なので、数学隣接分野も取り上げます！
（平たく言えば「なんでもあり」ですｗ）
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
フィールズ賞
2022年（オンライン開催[注釈 3]）[21]
ユーゴー・デュミニル＝コパン（Hugo Duminil-Copin, 1985年 - ）フランスの旗 フランス
省5
4: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/19(月)23:33 ID:KRlSoN+A(4/5) AAS
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超弦理論
基本的な説明
超弦理論には5つのバリエーションがあり、それぞれタイプI、IIA、IIB、ヘテロSO(32)、ヘテロE8×E8と呼ばれる。この5つの超弦理論はいずれも理論の整合性のために10次元時空を必要とする。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Leech lattice
Applications
The vertex algebra of the two-dimensional conformal field theory describing bosonic string theory, compactified on the 24-dimensional quotient torus R24/Λ24 and orbifolded by a two-element reflection group, provides an explicit construction of the Griess algebra that has the monster group as its automorphism group. This monster vertex algebra was also used to prove the monstrous moonshine conjectures.
(引用終り)
省1
5(12): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/19(月)23:33 ID:KRlSoN+A(5/5) AAS
つづき
なお、
おサル＝サイコパス＊のピエロ（不遇な「一石」外部ﾘﾝｸ:textream.yahoo.co.jp 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊） （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
＜＊）サイコパスの特徴＞
（参考）外部ﾘﾝｸ:blog.goo.ne.jp サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（＊＊）注；外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：画像ﾘﾝｸ[png]:upload.wikimedia.org
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org 双曲面
二葉双曲面 ：画像ﾘﾝｸ[png]:upload.wikimedia.org
おサル、あいつは 双曲幾何の修論でも書いたみたいだなｗ（＾＾）
省9
6(1): 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/20(火)07:00 ID:UspPL0zv(1/5) AAS
1こと現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP の残念発言
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
2chｽﾚ:math
Q2
「５乗根の添加」によってつくられた解を添加した、元の方程式の最小分解体の中に、
５乗根そのものは要素として含まれる？
A2
簡単に基礎体を有理数Qとする
また、元の方程式を、既約で可解な5次方程式とする
5つの根を (a1,a2,a3,a4,a5)とする
省15
7: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/20(火)07:04 ID:UspPL0zv(2/5) AAS
>>6
現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP の残念発言に対する指摘
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
2chｽﾚ:math
あなたの発言を額面通りに受け取ると以下がいえる
「いかなる体も加減乗除の逆演算が可能で、
かつ任意の指数nのべき根についても、
逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、体Q上の式f(x) に上記の逆演算を施すことで、
f(x)→xを体Q内に得ることは可能」
省19
8: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/20(火)07:15 ID:UspPL0zv(3/5) AAS
現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP の誤りを撃ち抜いた出木杉氏の発言
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
2chｽﾚ:math
線形結合から元の3乗根を取り出すには、
その数のラグランジュリゾルベントを取ればいい
ラグランジュリゾルベントを作るにはζ_3が必要。
だから、体にζ_3が含まれてるか否かがクリティカルなんですね。
で、なんで線形結合のラグランジュリゾルベントを取ると
べき根が成分ごとに出て来るかというと、それが「直交関係」なわけです。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
省13
9: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/20(火)07:24 ID:UspPL0zv(4/5) AAS
AA省
10: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/20(火)07:27 ID:UspPL0zv(5/5) AAS
1こと現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP とは、こんなアサハカなヤツでした
いいから、君は離散フーリエ変換でも勉強してなさい
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
え？行列に見覚えがある？
そりゃそうでしょ、実は・・・おや、誰か来たようだｗ
11(3): 2022/12/22(木)17:37 ID:pIX7wrc1(1/2) AAS
戻るよ
前スレ
2chｽﾚ:math
再録
(引用開始)
円分体の数のべき根表示を計算するなら、最も効率的
（古典的によく研究されている）計算法はあります。
教えませんがｗ
これをフーリエ級数として解釈したところで
計算上は何も変わりません。
省34
12: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/22(木)17:39 ID:pIX7wrc1(2/2) AAS
>>11
おっと
コテハン抜けたね
入れておきますね
13(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/22(木)20:45 ID:Oc9CAOS3(1/4) AAS
戻る
前スレより
2chｽﾚ:math
>>370-372
”可解な既約5次方程式の代数解法には
必ず5乗根が必要なことを示せ。”
ね
いまの5chの他のスレでは、回答がない可能性大だ
よって
簡単に、ここに書けば
省26
14(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/22(木)20:45 ID:Oc9CAOS3(2/4) AAS
>>13
つづき
2chｽﾚ:math
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
可解群
外部ﾘﾝｸ:hooktail.sub.jp
ガロア群と可解群 物理のかぎしっぽ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
三次方程式
省10
15: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/22(木)20:50 ID:CT6RQiGn(1/3) AAS
>>11
＞＞教えませんが
＞ 教えてもらう必要は、ないが
教えても分からんのじゃ、意味ないなｗ
出木杉クンがいう方法は
石井氏の「･･･頂を踏む」のp412-421に書いてある
私はそこを読んで
「これ、ラグランジュの分解式じゃん」
「これ、全体がヴァンデルモンドの行列じゃん」
と気づいたわけ
省13
16: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/22(木)21:06 ID:CT6RQiGn(2/3) AAS
>>13
＞”可解な既約5次方程式の代数解法には必ず5乗根が必要なことを示せ。”
１．可解な既約5次方程式のガロア群の正規部分群として
位数５の巡回群が現れる
２．ガロア群が位数５の巡回群となる場合
ラグランジュの分解式で解けるが、
その場合に５乗根が現れる
17(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/22(木)21:19 ID:Oc9CAOS3(3/4) AAS
>>14
さて
これには、下記の石井本の第6章「根号で表す」の
7節 「x^n-a=0の作る拡大隊」クンマー拡大 が、参考になるだろう
ここで、例としてx^5-2=0を扱っている
1の5乗根をζとして、2の（実）5乗根を2^(1/5) ( ＝5√2（気分を出すため）)として
基礎体Qで
拡大体Q(5√2,ζ)で
20次の拡大になる（基底の個数は20）
とある
省16
18(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/22(木)21:37 ID:CT6RQiGn(3/3) AAS
>>17
君、石井本の第6章「根号で表す」の
6節 「1のベキ根の作る体」は読んだかい？
「問6.14 x^5-1=0のガロア群を求めよ」
1の原始5乗根の1つをζとする
Q1. [Q(ζ):Q]はいくつ？
Q2．ガロア群Gal(Q(ζ)/Q)の位数はいくつ？
Q3. σ∈Gal(Q(ζ)/Q) は x^5-1=0の根を例えばどのように移す？
ダメな回答ｗ
A1．5
省3
19: 2022/12/22(木)21:43 ID:nAHjBsnv(1) AAS
前スレ1投稿者の集合Aであると共に当スレ1投稿者の集合Aの前スレ946での質問投稿に呆れ返った
発見数学者のみならず数学に対しても冒涜だ、これは
20(1): 2022/12/22(木)22:21 ID:qt1+aLga(1) AAS
前スレ
2chｽﾚ:math
＞985 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/12/22(木) 10:15:59.15 ID:o2STx9rz
＞なぜ、ガウスの子孫が数学者とか物理学者とか言語学者などにならずに、
＞靴屋さんになったりしたのだろうか？ガウスの職は天文台長だったわけだが、
＞昼は寝て夜に観測してたのかな？
ベルヌーイ家の遺した数学ぐらい以降からは職業科学者が成立したような印象を覚える。
21(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/22(木)23:54 ID:Oc9CAOS3(4/4) AAS
>>17 誤変換訂正
7節 「x^n-a=0の作る拡大隊」クンマー拡大 が、参考になるだろう
↓
7節 「x^n-a=0の作る拡大体」クンマー拡大 が、参考になるだろう
さて
前スレより
2chｽﾚ:math
種を明かすと>>372の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
省25
22: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/23(金)04:29 ID:vjYMqzPx(1/5) AAS
>>21
君、石井本の第6章「根号で表す」の
9節 「ピークの定理に立とう」は読んだかい？
確かに
「Q上の方程式f(x)=0の最小分解体をLとしたとき、Gal(L/G)が巡回群⇒
基礎体をQ(ζ)としたときのGによる拡大体L(ζ)はベキ根を含む」
となる
で、L(ζ)=L、つまりL自体にζが含まれる時、
その時に限り、Lにベキ根a^(1/n)が含まれる
しかし、一般にζはLに含まれない、したがってその場合
省8
23: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/23(金)04:45 ID:vjYMqzPx(2/5) AAS
雑談 ◆yH25M02vWFhP クンは
>>18の質問に答えられなかったね
答え書いとくから読んでね
A1．4 Φ5=(x^5-1)/(x-1)の次数が4だから
A2．4 Φ5の根が4つだから、根の巡回置換も4つ
A3．例えば以下のσによりGal(Q(ζ)/Q)は生成される
σ(ζ)=ζ^2、
σ(ζ^2)=(ζ^2)^2=ζ^4 （※ζ^3=ζ*ζ^2ではない！）
σ(ζ^4)=(ζ^4)^2=ζ^8=ζ^3 （ζ^5=1だから）
省6
24(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/23(金)04:54 ID:vjYMqzPx(3/5) AAS
>>20のコメントはトンチンカンだな
「なぜガウスの息子が数学者にならなかったか」という問いに対して
職業数学者の発祥を答えてるから
ついでにいうと、ベルヌーイ一族はガウスより前の人達である
25(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/23(金)08:20 ID:IWsCfSx6(1) AAS
AA省
26(1): ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/23(金)09:26 ID:5Ltcg3OO(1) AAS
>>25
>なかなか、面白い例ですね
まったくつまらんコメントだな
27(4): 2022/12/23(金)10:23 ID:qv9xcCDl(1) AAS
>>24
数学者じゃなくて科学者ね。
だいたいガウスを純粋数学の研究者としてしか見ないほうがアレでしょ。
28(1): 2022/12/23(金)11:09 ID:t8Xe5Ug0(1) AAS
>>27
>>ガウスを純粋数学の研究者としてしか見ない
それは論外
文系でさえデカルトを哲学者としてしか見ないことはない
29: 2022/12/23(金)11:37 ID:k1PKOWrp(1/2) AAS
>>28
>>ガウスを純粋数学の研究者としてしか見ない
>文系でさえデカルトを哲学者としてしか見ないことはない
「なぜガウスの息子が数学者にならなかったか」と全然関係ないな
30(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/23(金)11:41 ID:QNRnWOpa(1/4) AAS
>>27
>数学者じゃなくて科学者ね。
>だいたいガウスを純粋数学の研究者としてしか見ないほうがアレでしょ。
そうそう
同意同意
ガウスの時代、数学とその周辺の自然科学は工学とは未分化だった
実際、日本でも昔は、日本数学物理学会と称して、物理と数学は一体の学会で
工学とも未分化で
フランス エコールポリテクニーク（工芸学校と称する本もある）は、フランス革命の軍事上の必要から総説されたという
なお、ガロアが受験で不合格になった学校でもある
省11
31(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/23(金)11:42 ID:QNRnWOpa(2/4) AAS
>>30 タイポ訂正
ガウスの時代、数学とその周辺の自然科学は工学とは未分化だった
↓
ガウスの時代、数学とその周辺の自然科学や工学とは未分化だった
32(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/23(金)11:45 ID:QNRnWOpa(3/4) AAS
>>30 タイポ訂正追加
フランス エコールポリテクニーク（工芸学校と称する本もある）は、フランス革命の軍事上の必要から総説されたという
↓
フランス エコールポリテクニーク（工芸学校と称する本もある）は、フランス革命の軍事上の必要から創設されたという
33: 2022/12/23(金)11:58 ID:k1PKOWrp(2/2) AAS
>>30-32
ラグランジュの分解式は理解できたかい？
34(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/23(金)14:38 ID:QNRnWOpa(4/4) AAS
戻る
前スレ
2chｽﾚ:math
より
(参考)
外部ﾘﾝｸ:mathlog.info
Mathlog
子葉
1の冪根をたくさん求めてみた(解説付き)
目次
省38
35(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/23(金)17:15 ID:vjYMqzPx(4/5) AAS
AA省
36: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/23(金)17:34 ID:vjYMqzPx(5/5) AAS
なんで、ラグランジュの分解式がベキに結び付くかといえば
β1(α0)=α0+α1η+α2η^2+α3η^3+α4η^4
σ(β1(α0))
=β1(σ(α0))
=σ(α0)+σ(α1)η+σ(α2)η^2+σ(α3)η^3+σ(α4)η^4
=α1+α2η+α3η^2+α4η^3+α0η^4
=η^(-1)*(α0+α1η+α2η^2+α3η^3+α4η^4)
=η^(-1)*β1(α0)
になるからだぞ
（ηの逆数を掛けることで巡回する)
省3
37(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/24(土)00:08 ID:WMwnzEw8(1/6) AAS
AA省
38(2): 聖ニコラス 2022/12/24(土)05:19 ID:tBAGAWoe(1/8) AAS
メリークリスマス！
みんなよいコにしてたかな？
>>37
ほう、雑談がお礼をいうのは珍しい
雪でも降るんじゃないだろうか？
さて
＞ポイントは冒頭の
＞「β1^5,β2^5,β3^5,β4^5∈Q(ζ5)となることが知られており」
＞のところだ
それ、実例がまさに石井本のp412-421に書いてあるけどな
省29
39: 聖ニコラス 2022/12/24(土)05:22 ID:tBAGAWoe(2/8) AAS
もうね、雑談クンは、数学板に書くヒマがあったら
石井本を頭から丁寧に読んだほうが
よっぽど数学が分かるようになるよ
インプットしてない人が
アウトプットしたがっても
つまらんことしか言えんから
40(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/24(土)08:51 ID:WMwnzEw8(2/6) AAS
>>37 訂正と追加
訂正
β1,β2,β3,β4∈Q(ζ5)
↓
β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)
追加
要するに、あるaが存在して、クンマー拡大 Q(a^1/5,ζ5)で
β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)と出来るかってこと
（a∈Q(ζ5)）
a∈Q(ζ5)が見つかれば、
省2
41(1): 聖ニコラス 2022/12/24(土)09:10 ID:tBAGAWoe(3/8) AAS
>>40
>要するに、あるaが存在して、クンマー拡大 Q(a^1/5,ζ5)で
>β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)と出来るかってこと
>（a∈Q(ζ5)）
aは一つじゃないけど
つまり、η、η^2、η^4、η^3 の巡回ρによって生成される
ρ(a)、ρ^2(a)、ρ^3(a) の 5乗根も追加される
それも 石井本の9 ピークの定理に立とうの定理6.9(p481-486)に書いてある
証明全部読みなよ 全部書いてあるから
42(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/24(土)09:22 ID:WMwnzEw8(3/6) AAS
>>38
ありがとね
> それ、実例がまさに石井本のp412-421に書いてあるけどな
石井本のp412-421の記述は、ちょっと違う気がするが
一般の円分方程式論の範疇ってことと理解するよ
> 簡単にいうと
> β1^5＝β1(α0)^5＝β1(α1)^5=β1(α2)^5=β1(α3)^5=β1(α4)^5
> だから
> 5β1^5＝Σ[i=0~4] β1(αi)^5
> となって
省21
43(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/24(土)09:35 ID:WMwnzEw8(4/6) AAS
>>41
ありがとね
（再録）
>要するに、あるaが存在して、クンマー拡大 Q(a^1/5,ζ5)で
>β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)と出来るかってこと
>（a∈Q(ζ5)）
aは一つじゃないけど
つまり、η、η^2、η^4、η^3 の巡回ρによって生成される
ρ(a)、ρ^2(a)、ρ^3(a) の 5乗根も追加される
それも 石井本の9 ピークの定理に立とうの定理6.9(p481-486)に書いてある
省18
44: 聖ニコラス 2022/12/24(土)09:51 ID:tBAGAWoe(4/8) AAS
>>42
＞＞それ、実例がまさに石井本のp412-421に書いてあるけどな
＞石井本のp412-421の記述は、ちょっと違う気がするが
ラグランジュの分解式を理解していれば
完全に正確に対応づけられるが
ちょっとの違いもない
逆に違うと言い張るなら、どこがどう違うか具体的に示してごらん
即座に君の誤りを指摘してみせるから
細かいところは、ちょっと違和感あるけど
大筋は、そうかも
省31
45(3): 聖ニコラス 2022/12/24(土)09:59 ID:tBAGAWoe(5/8) AAS
>>43
＞だから、本質は”aは一つ”なんだよ
＞見かけ上複数に見えても、aは本質は1つ
＞（複数の選択肢があるかも知れないが、どれか一つだけで済むはず）
じゃ、頑張ってその ”一つのa” を見つけてくれ
もちろん、否定はしない
＞そうでないと、方程式のガロア群が5次の巡回群Z_5にならないから
それはないな
４つの５乗根をただ足し合わせているわけではないから
ちなみに
省8
46(1): 聖ニコラス 2022/12/24(土)12:39 ID:tBAGAWoe(6/8) AAS
>>40
>あるaが存在して、クンマー拡大 Q(a^1/5,ζ5)で
>β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)と出来るかってこと
>>43
>本質は”aは一つ”なんだよ
>見かけ上複数に見えても、aは本質は1つ
>（複数の選択肢があるかも知れないが、どれか一つだけで済むはず）
石井本の8．巡回拡大はx^n-a=0で作れる の定理6.5(p473-475)を
読んで理解したならその質問はしないね
つまり質問するということは、全然分かってないってことｗ
省4
47(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/24(土)12:54 ID:WMwnzEw8(5/6) AAS
>>45
ご苦労さん
１）石井本 第6章 「根号で表す」 7節 x^n-a=0の作る体
クンマー拡大
定理6.4 べきべき根拡大から巡回群を作る
２）また、同 8節 巡回拡大は x^n-a=0で作れる
巡回拡大からべき根拡大へ
定理6.5 巡回拡大からべき根拡大を作る
定理6.6 デデキントの補題
定理6.7 べき根拡大を作るべき根の存在
省8
48(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/24(土)13:07 ID:WMwnzEw8(6/6) AAS
>>46
>答えは、a^(1/5)＝β1 だね
>もちろん、β2でもβ3でもβ4でも構わんが
ようやく気づいたの？ｗ（>>47 ご参照）
(対して、あなた自身のレス>>45を対比して下さいｗ)
それは一つの可能性だね
その上で思ったのは、β1、β2、β3、β4に共通する因子があれば
すっきりするなと、考えたんだけど
すぐには浮かばなかったな
49: 聖ニコラス 2022/12/24(土)13:53 ID:tBAGAWoe(7/8) AAS
>>48
＞ようやく気づいたの？
ウソはいけないな
私のコメント>>47で君は初めて気づいた
それが事実
＞あなた自身のレス>>45を対比して下さい
誤魔化すのはよくないな
「β1、β2、β3、β4に共通する因子」
を具体的に示してもらうことで
「すっきり」しようとした
省18
50(1): 聖ニコラス 2022/12/24(土)14:00 ID:tBAGAWoe(8/8) AAS
>>48
>β1、β2、β3、β4に共通する因子があれば
>すっきりするなと、考えたんだけど
>すぐには浮かばなかったな
実はα0~α4のどれでもいい
どれか１つから、他の４つは巡回関数σで生み出せる
σは、cosの二倍角公式だから有理関数（しかも多項式）だ
β1~β4は、例えばα0と巡回関数σと１の5乗根ζ5から生成できる
これが「共通因子」だなｗ
定理6.5の証明の
省4
51(1): 2022/12/24(土)21:38 ID:/P8Bw71J(1) AAS
そもそも巾根解法なるものは、その前提として
数に対してその巾根が存在するということを自明であるとして話を進めているが、
そのことは、純粋に代数の範囲だけでは収まらないものであろう。
実数あるいはそれを実部と虚部とする複素数としての、極限を伴う演算でのみ
巾根は求まるものだからだ。有理数体Qの元である2に対してその平方根
である√2が最初からあると思うのは間違いで、有理数の極限として生み出された
ものが√2だからだ。純代数的にやるのなら、Qには含まれない元θが代数的
関係θ＾2＝2を満たすものとしてそれをQに添加したものが体を成している
ことを了解して、そのθが2の平方根であるとしなければならない。つまり
体の代数拡大を考えていることになる。
省7
52(1): 漆肆参 ◆i.6b92fBQS7D 2022/12/25(日)06:36 ID:bxcZkaLZ(1/8) AAS
>>51
>そもそも巾根解法なるものは、その前提として
>数に対してその巾根が存在する
>ということを自明であるとして話を進めているが、
>そのことは、純粋に代数の範囲だけでは収まらないものであろう。
実際おさまらないのは
複素数体上の方程式は必ず複素数の根を持つという
「代数学の基本定理」の証明からも明らかであろう。
>実数あるいはそれを実部と虚部とする複素数としての、
>極限を伴う演算でのみ巾根は求まるものだからだ。
省32
53: 漆肆参 ◆i.6b92fBQS7D 2022/12/25(日)06:50 ID:bxcZkaLZ(2/8) AAS
>>52
>そうして元の体Kを変えないK(θ)上の
>自己同形全体の為す群がガロア群である。
そして、θがベキ根で表せるのは
ガロア群が可解であるとき、
すなわち、剰余群が巡回群となるような正規部分群を次々とっていって、
単位群まで縮小可能となるとき、その時に限る
その場合KとK(θ)の間の中間体Mで
M上でのK(θ)のガロア群が正規部分群
省11
54(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/25(日)09:30 ID:4mPovfMa(1/5) AAS
>>34 追加補足
まず(参考)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www-users.york.ac.uk
Symmetries of Equations: An Introduction
to Galois Theory
Brent Everitt 2007
Department of Mathematics, University of York,
P6
(1.9) If this was always the case, things would be very simple: Galois theory would just be the study
of the “shapes” formed by the roots of polynomials, and the symmetries of those shapes. It would be a
省20
55(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/25(日)09:31 ID:4mPovfMa(2/5) AAS
>>54
つづき
さて、>>34 外部ﾘﾝｸ:mathlog.info Mathlog 子葉
β1＝α0+α1η+α2η^2+α3η^3+α4η^4 ｜ηは1の5乗根で、ラグランジュ・ソルベントになっている
↓(η→η^3への置き換え)
β3＝α0+α1η^3+α2η^6+α3η^9+α4η^12=α0+α1η^3+α2η^+α3η^4+α4η^2
ここちょうど、上記 Everittの ”α は不動でαω→αω^3→αω^4→αω^2(→元のαωに戻る巡回置換の図”に相当している
ここで、Mathlog 子葉にあるのは、η 1の5乗根のη→η^3への置き換え
なので、 Everittの図も同様に、5乗根の置き換えを図示しているってこと
Everittの図は、x^5 - 2=0 のクンマー拡大 Q(α =2^1/5,ω：1の5乗根)を表していて、
省10
56(1): 漆肆参 ◆i.6b92fBQS7D 2022/12/25(日)09:48 ID:bxcZkaLZ(3/8) AAS
おサルの1クン やっと、(Z/5Z)× が何なのか学び始めたね
>>54
＞（図があるが略（というかここには示せない））
＞（言葉で書くと、
＞ 複素平面上の半径r=α =2^1/5上に頂点を持つ正5角形で、
＞ 頂点の一つが実数α =2^1/5で、
＞ そこから反時計回りに、αω,αω^2,αω^3,αω^4 と頂点が配置された図）
Z/5Zは α→αω→αω^2→αω^3→αω^4 と置換する
しかし
＞（言葉で書くと、α は不動でαω→αω^3→αω^4→αω^2(→元のαωに戻る巡回置換の図））
省9
57(1): 漆肆参 ◆i.6b92fBQS7D 2022/12/25(日)09:58 ID:bxcZkaLZ(4/8) AAS
>>55
＞Everittの図も同様に、5乗根の置き換えを図示しているってこと
＞Everittの図は、x^5 - 2=0 のクンマー拡大 Q(α =2^1/5,ω：1の5乗根)を表していて、
＞そのうちのω＝1の5乗根 による拡大（置換）を扱っている（説明している）図ってことだね！
位数４（５ではない！）の群（Z/5Z）×
（つまりω→ω^3→ω^4→ω^2→ω）
による拡大は、クンマー拡大じゃなくて円分拡大
クンマー拡大は位数5の群(Z/5Z)による拡大な
（α→αω→αω^2→αω^3→αω^4→α）
58(1): 漆肆参 ◆i.6b92fBQS7D 2022/12/25(日)10:11 ID:bxcZkaLZ(5/8) AAS
>>55
つまり
外部ﾘﾝｸ:mathlog.info
のβ1~β4は、円分拡大に対応する
じゃ、クンマー拡大は？
それは
α0+α1η+α2η^2+α3η^3+α4η^4 を
α1+α2η+α3η^2+α4η^3+α0η^4 に
置き換えること（およびその繰り返し）に対応する
α1+α2η+α3η^2+α4η^3+α0η^4
省9
59(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/25(日)10:15 ID:4mPovfMa(3/5) AAS
>>50
>実はα0~α4のどれでもいい
>どれか１つから、他の４つは巡回関数σで生み出せる
>σは、cosの二倍角公式だから有理関数（しかも多項式）だ
>β1~β4は、例えばα0と巡回関数σと１の5乗根ζ5から生成できる
>これが「共通因子」だなｗ
>定理6.5の証明の
>「ラグランジュの分解式」
>が分かっていれば即答できたな
１）大体は、それで良いが
省32
60: 漆肆参 ◆i.6b92fBQS7D 2022/12/25(日)10:21 ID:bxcZkaLZ(6/8) AAS
Q→Q(η)→Q(η,β1)
F20⊃C5⊃{e}
つまり
[Q(η,β1):Q]=20
[Q(η,β1):Q(η)]=5
[Q(η):Q]=4
61(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/25(日)10:35 ID:4mPovfMa(4/5) AAS
>>56
(引用開始)
＞This is not a geometrical symmetry!
そう単純な幾何学的対称性ではない
ただ、円の五等分点と考えて、
円の長さを三倍に引き伸ばした上で
三周させる形に巻きなおすと
ω→ω^3→ω^4→ω^2→ω
の対応が得られる
(引用終り)
省13
62(1): 漆肆参 ◆i.6b92fBQS7D 2022/12/25(日)10:39 ID:bxcZkaLZ(7/8) AAS
>>59
＞いま、β1とか具体的数式で与えられているから
＞具体的に2項方程式 x^5-a＝0のa∈K（1の原始5乗根を含む体）を与えて
＞β1＝aでもいいけど、それで他のβ2,β3,β4を、
＞a^1/5と1の原始5乗根ηとで具体的表式で示せれば、
＞これぞクンマー拡大の典型例となる
＞そう思ったわけです
β1^5,β2^5,β3^5,β4^5は、全部Q(η)の元
そしてそれら４つの数は、円分拡大の巡回群で巡回する
上記を利用すれば、できるね うん
省1
63(1): 漆肆参 ◆i.6b92fBQS7D 2022/12/25(日)10:46 ID:bxcZkaLZ(8/8) AAS
>>61
＞広い意味で
勝手に広げちゃダメだよ
クンマー理論
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
クンマー拡大(Kummer extension)とは、
ある与えられた整数 n > 1 に対し次の条件を満たすような体の拡大 L/K のことを言う。
・K は、n 個の異なる1のn乗根（つまり、Xn−1 の根）を含む。
・L/K はexponent n の可換ガロア群を持つ。
省5
64(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/25(日)23:47 ID:4mPovfMa(5/5) AAS
>>62
> ま、頑張って
なんだよｗ
それは、おれのセリフだよｗｗ
>>63
>＞広い意味で
> 勝手に広げちゃダメだよ
良いんだよ
私的な試行錯誤のときはｗ
自由に考えて良いんだ
省26
65(1): 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/26(月)07:00 ID:QjvnggET(1/5) AAS
AA省
66(1): 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/26(月)07:18 ID:QjvnggET(2/5) AAS
>>64
>クンマー理論・クンマー拡大のベースの体の話に戻ると
戻ってばっかりだね
>元の体は、有理数体Qであっても、べき根を取る a^1/n で、
>aの属する体はQを拡大した体になるべし
a∈Q(η)だっていってるじゃん（ηは1の5乗根）
君、物覚え悪いね
>具体例は、下記の”11乗して1になる数を求める円分多項式”にある
>（但し、C0^5 ∈ Q(√-11)→C0^5 ∈ Q(√-11,σ) σは1の5乗根 だろうね、
> C0はラグランジュ・リゾルベントを使っているから）
省20
67(1): 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/26(月)08:01 ID:QjvnggET(3/5) AAS
くだらん計算
B0-B1
= ξ + ξ^4 + ξ^5 + ξ^9 + ξ^3 - ξ^2 - ξ^8 - ξ^10 - ξ^7 - ξ^6
(B0-B1)^2
=(ξ + ξ^4 + ξ^ 5 + ξ^ 9 + ξ^3 - ξ^2 - ξ^8 - ξ^10 - ξ^7 - ξ^ 6)^2
= ξ^2 + ξ^5 + ξ^ 6 + ξ^10 + ξ^4 - ξ^3 - ξ^9 - 1 - ξ^8 - ξ^ 7
+ξ^5 + ξ^8 + ξ^ 9 + ξ^ 2 + ξ^7 - ξ^6 - ξ - ξ^ 3 - 1 - ξ^10
+ξ^6 + ξ^9 + ξ^10 + ξ^ 3 + ξ^8 - ξ^7 - ξ^2 - ξ^ 4 - ξ - 1
+ξ^10 + ξ^2 + ξ^ 3 + ξ^ 7 + ξ - 1 - ξ^6 - ξ^ 8 - ξ^ 5 - ξ^ 4
+ξ^4 + ξ^7 + ξ^ 8 + ξ + ξ^6 - ξ^5 - 1 - ξ^ 2 - ξ^10 - ξ^ 9
省7
68(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/26(月)08:19 ID:QokK4Ea5(1) AAS
>>67
ありがと
ついでに
そのB0とB1の組み分けの数学的意味を解説してくれるかな
>>66
> ちなみにラグランジュ・リゾルベントの式を見れば
> 「ああ、離散フーリエ変換と同じだな」と分かる
だれも言わないみたい
そういう意味では、独創（独走？ｗ）か
個人的かつ妄想的 数学用語の使い方だな
省5
69: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/26(月)08:31 ID:QjvnggET(4/5) AAS
>>68
>B0とB1の組み分けの数学的意味を解説してくれるかな
自分で気づきなよ なんのために検索してんの
>> ちなみにラグランジュ・リゾルベントの式を見れば
>> 「ああ、離散フーリエ変換と同じだな」と分かる
>だれも言わないみたい
誰も言わないとそうだといえないんだ 自分の頭で考えないの？
>場末の5ｃｈで必死に吠えるの図
それ、大学１年の数学でオチコボレた君じゃん
ご苦労様
70(1): 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/26(月)08:38 ID:QjvnggET(5/5) AAS
>>68
>B0とB1の組み分けの数学的意味を解説してくれるかな
まあ、おサルさんには一生見つけられないだろうから
冥途の土産に教えてあげるよ
美的数学のすすめ ガウス和
外部ﾘﾝｸ:biteki-math.はてなブログ.com/entry/2015/03/17/013543
「へーほーじょーよ」って言葉があるだろ？
それにしても、なんだ、直接計算しなくても求まるじゃんｗ
71(1): 2022/12/26(月)23:37 ID:SO0v4DPk(1/2) AAS
ハーイ、1の11乗根を巾根を使って書けば、（1）^{1/11}でーす。
実に簡単に巾根を使って書けますね。
72: 2022/12/26(月)23:58 ID:SO0v4DPk(2/2) AAS
今度丸善から
抽象代数学史概講 代数方程式から近代代数学へ
著者名 三宅 克哉 訳
原書名 A History of Abstract Algebra: From Algebraic Equations to Modern Algebra
という本が出るよ。
73: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/27(火)05:52 ID:+ufoBjtG(1) AAS
>>71
>1の11乗根を巾根を使って書けば、（1）^{1/11}
>実に簡単に巾根を使って書けますね。
でも、実は平方根と５乗根で書ける
1の5乗根は平方根だけで書ける
1の7乗根は平方根と立方根だけで書ける
74(1): 2022/12/27(火)08:01 ID:54Cbbi6K(1/2) AAS
巾根の中を実数に（正負どちらも許す）制限した場合に、
円のｎ等分方程式は如何に解かれるか？
すくなくとも1^{1/n}という表示による解はあるのだが。
たとえばn=11の場合を11よりも小さい巾の根で根号の中身は
すべて実数であるという表示を用いて表せるだろうか？
75(3): 2022/12/27(火)09:13 ID:IQVienvL(1) AAS
なんで実数に制限するの？
池沼の考えることは分からんねｗ
76(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/27(火)11:10 ID:6dMNL3dI(1/3) AAS
これ、面白いな
外部ﾘﾝｸ:gigazine.net
gigazine
2022年12月07日
素粒子物理学に必須級のソフトウェア「FORM」の保守はたった1人の老科学者が担っている、新しい機器では使えなくなり研究が停滞する危険性
1980年代に開発され、それ以来30年以上にわたって最先端の素粒子物理学で使われ続けているソフトウェア「FORM」の陳腐化が進んでおり、もし使えなくなればこの分野の研究者にとって手痛い打撃になる危険性があると、科学系ニュースサイトのQuanta Magazineが報じました。
Crucial Computer Program for Particle Physics at Risk of Obsolescence | Quanta Magazine
外部ﾘﾝｸ:www.quantamagazine.org
Quanta Magazineによると、科学の中でも素粒子物理学は特に長大な方程式を扱う研究分野だとのこと。例えば、大型ハドロン衝突型加速器で新しい素粒子を探す研究では、粒子が光速に近い速度で衝突する結果を予測するためにファインマン・ダイアグラムという図が何千枚も作成されますが、その1つ1つが何百万項からなる複雑な数式を内包しています。
このような数式の計算には数式処理システムと呼ばれるソフトウェアが必要ですが、その中でも傑出しているのがオランダの素粒子物理学者であるJos Vermaseren氏によって開発された「FORM」です。
省2
77: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/27(火)11:10 ID:6dMNL3dI(2/3) AAS
>>76
つづき
よりユーザーフレンドリーな「Mathematica」といった数式処理システムを選ぶ研究者もいますが、MathematicaはFORMに比べて桁違いに動作が遅いので、素粒子物理学者はいずれFORMを使わなければ計算できない問題に取り組めなくなる可能性が危惧されています。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
FORM (symbolic manipulation system)
Its original author is Jos Vermaseren of Nikhef, the Dutch institute for subatomic physics. It is widely used in the theoretical particle physics community, but it is not restricted to applications in this specific field.[1]
Contents
1 Features
2 Example usage
3 History
省3
78: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/27(火)11:13 ID:6dMNL3dI(3/3) AAS
>>75
ご苦労様です
スレ主です
年末忙しいので
レスするヒマないが
落ち着いたらまた
79: 2022/12/27(火)11:32 ID:Hatu8KFK(1/4) AAS
>>76
面白い １が言ったら つまらない
80(1): 2022/12/27(火)11:36 ID:VRfHkim5(1) AAS
つまらなくても情報は情報
81: 2022/12/27(火)11:40 ID:Hatu8KFK(2/4) AAS
>>74
いかにも劣等生が無理矢理考えた問題 乙
82: 2022/12/27(火)11:44 ID:Hatu8KFK(3/4) AAS
>>75
まぁ、複素数のn乗根なんて
どうやって計算すんだ？
と言いたいんだろうな
83: 2022/12/27(火)11:48 ID:Hatu8KFK(4/4) AAS
>>80
空でも集合
単位元だけでも群
0だけでも0次元線形空間
84: 2022/12/27(火)16:13 ID:SY0eh102(1) AAS
【芸能人体調不良】 多すぎ 【救急車のサイレン】
2chｽﾚ:body
BEｱｲｺﾝ:203u2.png
85: 2022/12/27(火)22:36 ID:54Cbbi6K(2/2) AAS
空数学は、公理が１つも無し、論理も無し、命題も無し。最も単純な数学だ。
86(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/27(火)23:42 ID:p2TgDrx+(1) AAS
>>75
>なんで実数に制限するの？
>池沼の考えることは分からんねｗ
そうだね
日本の数学教程が貧弱なのかも
(参考)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ms.u-tokyo.ac.jp
高校生のための現代数学講座 東京大学
「複素数」 玉原国際セミナーハウス
講義 (4) 松尾 厚 2018 年
省28
87(1): 2022/12/28(水)07:23 ID:ohlxo9pA(1/5) AAS
>>86
教程以前に学生の勉学意欲が貧弱 だから能力も貧弱
数学書の文章も読めない
書かれてる式の計算もできない
それじゃ数学わかるわけない
88(1): 2022/12/28(水)07:25 ID:ohlxo9pA(2/5) AAS
>>86
＞（参考）
一読もせずに漫然とコピペする馬鹿にはなりたくないもんだね
89(1): 2022/12/28(水)13:55 ID:Nlb5LCC+(1) AAS
>>87
>>88
13 １３２人目の素数さん sage 2022/12/28(水) 08:23:01.73 ID:ohlxo9pA
おまえら いいたいこというなら
顔と実名だせよ チンカス
90(1): 2022/12/28(水)14:40 ID:ohlxo9pA(3/5) AAS
>>89
15１３２人目の素数さん2022/12/28(水) 13:53:04.91ID:Nlb5LCC+
このスレと何の関係があるんだ？
16１３２人目の素数さん2022/12/28(水) 13:53:44.66ID:Nlb5LCC+
侮辱することは犯罪にはならんぞ
お前はアホなのか？
91(1): 2022/12/28(水)14:41 ID:em/FvuC8(1) AAS
>>90
頭弱いからコピペでしか対応できなくて草
92(1): 2022/12/28(水)15:17 ID:ohlxo9pA(4/5) AAS
>>91
草じゃなく糞の間違いだろ？
93(1): 2022/12/28(水)15:18 ID:x4VVg6a2(1) AAS
>>92
バカが反応した
94: 2022/12/28(水)15:19 ID:ohlxo9pA(5/5) AAS
>>93
友達いないのか？
95(2): 2022/12/29(木)14:48 ID:DuM7GG4h(1/2) AAS
実係数多項式が1次あるいは２次の多項式の積に必ず分解できることを
ガウスは証明したとして学位を得た。
しかしその証明には、ある意味誤魔化しがあった。おそらくガウスは
そのことを自覚していたはずだと思われる。
でも、学位は取り消しにはならなかったね。
96: 2022/12/29(木)15:35 ID:672StsPz(1/7) AAS
>>95
さすがにガウスより出来のいい教授なんていなかったでしょ
（Mathematice Genealogyによると
ガウスの師はパッフ（Pfaff）とある
パフィアンの名前の由来になった人ですね）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
97(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/29(木)15:50 ID:672StsPz(2/7) AAS
>>59
>β1＝aでもいいけど、それで他のβ2,β3,β4を、
>a^1/5と1の原始5乗根ηとで具体的表式で示せれば、
>これぞクンマー拡大の典型例となる
cos(2nπ/11) (n=1~5) を根とする５次方程式の場合だが
実は根を表示する４つのラグランジュ分解式 L1~L4は
L1*L4=11、L2＊L3=11 という等式を満たすので
L3=11/L2、L4=11/L1 と表せる
したがって、L1とL2が求まればよい
省1
98: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/29(木)17:34 ID:672StsPz(3/7) AAS
素数pについて、円のp等分を考える場合
cos(2nπ/p) (n=１~(p-1)/2) を根とする
(p-1)/2次多項式のラグランジュ分解式m＝((p-1)/2)-1個について
もしmが偶数なら、互いにその積がpとなるm/2個の対が存在する
99(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/29(木)17:59 ID:Dt/DNUrE(1/6) AAS
>>95
>ガウスは証明したとして学位を得た。
>しかしその証明には、ある意味誤魔化しがあった。おそらくガウスは
>そのことを自覚していたはずだと思われる。
>でも、学位は取り消しにはならなかったね。
それが”時代の進歩”ってやつでしょう
かつ、学位は取り消されるべきものではないのだろうと思う（学位は人に出されるもの）
学会のなんとか賞も、多少の瑕疵が分かっても、同様なのでしょう（なんとか賞も人に対して出されるもの）
(参考) （和文はしょぼいので、英文ご参照）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省6
100(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/29(木)18:00 ID:Dt/DNUrE(2/6) AAS
>>99
つづき
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Fundamental theorem of algebra
History
The other one was published by Gauss in 1799 and it was mainly geometric, but it had a topological gap, only filled by Alexander Ostrowski in 1920, as discussed in Smale (1981).[7]
The first rigorous proof was published by Argand, an amateur mathematician, in 1806 (and revisited in 1813);[8] it was also here that, for the first time, the fundamental theorem of algebra was stated for polynomials with complex coefficients, rather than just real coefficients. Gauss produced two other proofs in 1816 and another incomplete version of his original proof in 1849.
None of the proofs mentioned so far is constructive. It was Weierstrass who raised for the first time, in the middle of the 19th century, the problem of finding a constructive proof of the fundamental theorem of algebra. He presented his solution, which amounts in modern terms to a combination of the Durand?Kerner method with the homotopy continuation principle, in 1891. Another proof of this kind was obtained by Hellmuth Kneser in 1940 and simplified by his son Martin Kneser in 1981.
省3
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