[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11 (1002ﾚｽ)
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717(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/13(火)15:00 ID:2zFdfKF2(1/2) AAS
>>693 補足
>再度問う
>「cos(2π/11)のべき根を使った表現で
> 5乗根なしだと、5次式にならないのではないの？」
１）だれかも言っていたが、クンマー拡大とクンマー理論があるよね（下記）
（クンマー拡大の逆を、クンマー理論が与えるという（下記））
２）下記「クンマー理論
クンマー理論(Kummer theory)は逆の命題をもたらす。K が n 個の異なる 1 の n 乗根を持っているとすると、exponent が n を割るような K の任意のアーベル拡大は、K の元の冪根をとることにより作られる。」
３）いま、n=5(素数)と取る。n を割る数は、5と1のみ
４）次のクンマー拡大の逆
省14
718: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/13(火)15:01 ID:2zFdfKF2(2/2) AAS
>>717
つづき
クンマー理論の主な結果は、体の標数が n を割ってはいけないこと以外は体の性質に依存しておらず、従って、抽象代数学に属する。体 K の標数が n を割るときは、K の巡回拡大の理論はアルティン・シュライアー理論と呼ばれる。
クンマー理論は、例えば、類体論や一般のアーベル拡大を理解する上で、基本的である。クンマー理論は、充分に多くの1の根が存在するときは、巡回拡大は冪根をとるという操作によって理解できるという理論である。類体論における主要な難所は、1の余剰な根をなしで済ませる（つまり、より小さな体へと「降下」する）ことである。それはクンマー理論と比べて非常に難しい。
クンマー拡大
K が n 個の異なる 1 の n 乗根を含む（このことは K の標数が n を割らないことを意味する）とき、K に添加すると、K の任意の元 a の n 乗根は（n を割るようなある m が存在し、次数 m の）クンマー拡大をなす。ここでできる体は多項式 Xn - a の分解体であるため、クンマー拡大は必然的にガロア拡大となり、ガロア群は位数 m の巡回群となる。
クンマー理論
クンマー理論(Kummer theory)は逆の命題をもたらす。K が n 個の異なる 1 の n 乗根を持っているとすると、exponent が n を割るような K の任意のアーベル拡大は、K の元の冪根をとることにより作られる。
省12
719(2): 現代数学之陥穽 怪談 ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/13(火)19:22 ID:zy0H43fF(3/4) AAS
>>717
＞ガロア群が位数 5 の巡回群のとき、
＞あるa∈K の5乗根を添加する以外に
＞そういう5乗根以外のクンマー拡大がある
＞とするのは、無理筋じゃね？
壱 そもそもクンマー拡大ではなく円分拡大ではないか？
弐 クンマー拡大と円分拡大では解の置換の仕方が違わないか？
参 クンマー拡大の場合 α→ζα （α：5乗根 ζ：１の5乗根）
肆 円分拡大の場合 α→α^n （α：1のべき乗根）
伍 で α＋α^(-1) → α^n＋α^(-n) （cosのn倍角の公式）
省4
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