[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11 (1002ﾚｽ)
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693(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/12(月)18:25 ID:Zf32nHrU(3/4) AAS
>>689 追加
>再度問う
>「cos(2π/11)のべき根を使った表現で
> 5乗根なしだと、5次式にならないのではないの？」
１）下記、元吉文男氏 巡回群をガロア群に持つ 5 次方程式の判別とその解法は、旧ガロアすれでも取り上げたことがある
ここで、”素数次既約方程式が代数的に可解であることの必要十分条件は、その任意の 2 根によって根が分離できることである”
とあります。ガロア第一論文の最後の定理ですね。
だから、可解な既約5次方程式（正規かつ分離）の最小分解体は、基礎体Qとして、Q(αi,αj) i≠j i,J = 1～5
つまり、5根全部を必要としないってことですね。うっかりしていました。昨晩気づいたがｗ
２）あと、下記「五次方程式の解の公式の存在条件」(長野県木曽青峰高校)
省20
694: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/12(月)18:26 ID:Zf32nHrU(4/4) AAS
>>693
つづき
外部ﾘﾝｸ:www.nagano-c.ed.jp
長野県木曽青峰高等学校 理数科
外部ﾘﾝｸ[htm]:www.nagano-c.ed.jp
平成26年度課題研究
１ ５次方程式の解の公式の存在条件
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.nagano-c.ed.jp
五次方程式の解の公式の存在条件
研究者 小垣外蘭南 下村晴喜
省4
696: 2022/12/12(月)19:38 ID:TUjlnc/t(8/15) AAS
>>693
>”素数次既約方程式が代数的に可解であることの必要十分条件は、
> その任意の 2 根によって根が分離できることである”
なんでだかわかる？
ヒント：円分拡大とクンマー拡大
一方で「任意の１根で根が分離できる」おめでたい場合がある
ズバリ、巡回拡大でOKな場合 これが問題
717(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/13(火)15:00 ID:2zFdfKF2(1/2) AAS
>>693 補足
>再度問う
>「cos(2π/11)のべき根を使った表現で
> 5乗根なしだと、5次式にならないのではないの？」
１）だれかも言っていたが、クンマー拡大とクンマー理論があるよね（下記）
（クンマー拡大の逆を、クンマー理論が与えるという（下記））
２）下記「クンマー理論
クンマー理論(Kummer theory)は逆の命題をもたらす。K が n 個の異なる 1 の n 乗根を持っているとすると、exponent が n を割るような K の任意のアーベル拡大は、K の元の冪根をとることにより作られる。」
３）いま、n=5(素数)と取る。n を割る数は、5と1のみ
４）次のクンマー拡大の逆
省14
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