[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11 (1002ﾚｽ)
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570(7): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/10(土)15:00 ID:898jbfXT(10/15) AAS
>>547
お答えします
Q1
５乗根の添加ということで、あるaの５乗根を添加するとして
aはQの元？それともQではないある体の元？
後者だとした場合、いかなる体の元？
A1
簡単に基礎体を有理数Qとする
aの５乗根 a^(1/5)は、無理数とする
・実根のみを添加した体Q(a^(1/5))が考えられる
省17
572: 2022/12/10(土)15:30 ID:meH3MbbN(20/35) AAS
>>570
採点します
>Q1
>５乗根の添加ということで、あるaの５乗根を添加するとして
>aはQの元？それともQではないある体の元？
>後者だとした場合、いかなる体の元？
>A1
>簡単に基礎体を有理数Qとする
>aの５乗根 a^(1/5)は、無理数とする
>・実根のみを添加した体Q(a^(1/5))が考えられる
省9
574(2): 2022/12/10(土)15:55 ID:dZ9h00o/(5/11) AAS
>つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる
>>570
だから、それが間違ってるって最初から言ってるじゃん。
Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q がガロア拡大であり、かつa^(1/5)が含まれるなら
a^(1/5)の「共役」もすべて含まれなければならない。（ガロア拡大の定義から。）
これはQ(a1,a2,a3,a4,a5)が実の体であれば矛盾する。
したがって、a^(1/5)は「含まれない」
575(1): 2022/12/10(土)15:58 ID:meH3MbbN(21/35) AAS
>>570
さらに採点します
>Q2
>「５乗根の添加」によってつくられた解を添加した、
>元の方程式の最小分解体の中に、
>５乗根そのものは要素として含まれる？
>A2
（略）
>5つの根を (a1,a2,a3,a4,a5)とする
（略）
省25
588: 2022/12/10(土)18:19 ID:meH3MbbN(32/35) AAS
>>586
まったく同感
ただ、>>570の以下の文章は
任意の体は代数的閉体だと読めちゃうんですよ
「(a1,a2,a3,a4,a5)たちは、a^(1/5)含んだ代数式（加減乗除とべき根）で表される
例えば、この式を ai＝f(a^(1/5)) とでもしましょう (ここに、iは1〜5のどれか)
最小分解体は、体だから加減乗除の逆演算が可能で、
かつ任意の指数nのべき根についても、逆演算のn乗でべき根は外せる
だから、式f(a^(1/5)) に上記の逆演算を施すことで、
f(a^(1/5))→a^(1/5)を最小分解体内に得ることは可能
省2
589(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/10(土)19:07 ID:898jbfXT(12/15) AAS
>>574
(引用開始)
>つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる
>>570
だから、それが間違ってるって最初から言ってるじゃん。
Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q がガロア拡大であり、かつa^(1/5)が含まれるなら
a^(1/5)の「共役」もすべて含まれなければならない。（ガロア拡大の定義から。）
これはQ(a1,a2,a3,a4,a5)が実の体であれば矛盾する。
したがって、a^(1/5)は「含まれない」
(引用終り)
省23
676: 2022/12/12(月)07:07 ID:TUjlnc/t(2/15) AAS
>>>5乗根使ってますよ
>> そこからζ5は出せないでしょ
>ほいよ
それだけですか
分かってないから全く説明できないんですね
ということで
>>570
＞ (a1,a2,a3,a4,a5)たちは、
＞a^(1/5)含んだ代数式ai＝f(a^(1/5)) （加減乗除とべき根、は1〜5のどれか）
＞で表される
省13
832(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/17(土)16:11 ID:EhW0UvWQ(8/13) AAS
>>574 追加
(引用開始)
>つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる
>>570
だから、それが間違ってるって最初から言ってるじゃん。
Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q がガロア拡大であり、かつa^(1/5)が含まれるなら
a^(1/5)の「共役」もすべて含まれなければならない。（ガロア拡大の定義から。）
これはQ(a1,a2,a3,a4,a5)が実の体であれば矛盾する。
したがって、a^(1/5)は「含まれない」
(引用終り)
省45
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