[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11 (1002ﾚｽ)
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833: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/17(土)16:16 ID:vkjQzDmx(12/19) AAS
ええい、もうガマンできん
>>793のQ2の答え書くね
X^4+X^3+X^2+X+1=(X-ζ^2)(X-ζ^4)(X-ζ^3)(X-ζ) と並べなおして
g(ζ)=ζ^2
g(ζ^2)=ζ^4
g(ζ^4)=ζ^8=ζ^3
g(ζ^8)=ζ^16=ζ
つまりg(x)=x^2
ほら！ f(x)=x*ζ と全然違うだろ？
x^2は有理関数（そもそも多項式！）だから
省4
834: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/17(土)16:36 ID:vkjQzDmx(13/19) AAS
さて、円分方程式Φ5を解くのに、
ラグランジュの分解式
L=ζ+iζ^2-ζ^4-iζ^3
を考えれば
(x-L)(x-iL)(x+L)(x-iL) は、
x^4-a という形にできて
a^(1/4)からLが得られ
同様の４つのラグランジュの分解式
a^(1/4),b^(1/4),c^(1/4),d^(1/4)の線型結合
でζが得られるって寸法なわけだが
省3
835: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/17(土)16:48 ID:vkjQzDmx(14/19) AAS
>>832
>(参考)
雑談クン、中身全く読んでないでしょ
それじゃ、いつまでたっても、数学は全く理解できないよ
まず、「頂を踏む」のp412~p421 合計10ページを読もう
ここ読めば、１のベキ根の解き方
（もっといえばラグランジュの分解式の使い方）
が分かる
雑談クン、1度も読んでないでしょ
まず、1度読んで！
836(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/17(土)18:07 ID:vkjQzDmx(15/19) AAS
>>832
ζが1の11乗根でも834と同じ手が使える
1→2→4→8→5→10→9→7→3→6→1
ωを1の原始10乗根として
ラグランジュの分解式は以下の通り
ζ+ωζ^2+ω^2ζ^4+ω^3ζ^8+ω^4ζ^5-ζ^10-ωζ^9-ω^2ζ^7-ω^3ζ^3-ω^4ζ^6
これにωを掛けると名目上10通り、実質は5通り（ω^5＝-1だから）
そういう意味でいえば
1の5乗根のラグランジュの分解式は2通り で 追加するのは平方根
1の7乗根のラグランジュの分解式は3通り で 追加するのは３乗根
省2
837(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/17(土)18:14 ID:EhW0UvWQ(9/13) AAS
>>832 追加
もっと戻ると
１）
>>371-372より
(引用開始)
可解な既約5次方程式の代数解法には
必ず5乗根が必要なことを示せ。
注意：5乗根の中身が基礎体に含まれるとは限らない。
例:
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
省18
838: 2022/12/17(土)18:21 ID:vkjQzDmx(16/19) AAS
>>836
＞これにωを掛けると名目上10通り、実質は5通り（ω^5＝-1だから）
＞そういう意味でいえば
＞1の5乗根のラグランジュの分解式は2通り
＞1の7乗根のラグランジュの分解式は3通り
＞1の11乗根のラグランジュの分解式は5通り
いや、そういう理屈ではないな
839(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/17(土)18:28 ID:vkjQzDmx(17/19) AAS
>>837
＞「既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、
＞ 方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる」(雑談クンの発言)
＞ vs
＞「それが間違ってるって最初から言ってるじゃん。
＞ Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q がガロア拡大であり、
＞ かつa^(1/5)が含まれるなら
＞ a^(1/5)の「共役」もすべて含まれなければならない。
＞ （ガロア拡大の定義から。）
＞ これはQ(a1,a2,a3,a4,a5)が実の体であれば矛盾する。
省10
840(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/17(土)18:40 ID:EhW0UvWQ(10/13) AAS
>>779 補足
> 2）というか、クンマー拡大は円分拡大を包含している（a＝1がクンマー拡大中で円分拡大になる）
まあ、例えて言えば
特殊相対性理論：円分拡大
一般相対性理論：クンマー拡大
という感じかな
いま、aが複雑な計算式で、a＝1と気づかずに、クンマー拡大・クンマー理論で考えて結果を出した
その後、a＝1と気づいた
そのとき、最初のクンマー拡大・クンマー理論で考えて出した結果は、全く無駄か？
そうではないよね
省16
841(1): 2022/12/17(土)19:06 ID:Yvnw5Kb3(14/18) AAS
>>837
>あなたは、根本的にというか
>結構初歩的なところで
>ガロア理論を、なにか勘違いしているんじゃないの？
それって、ガロア拡大が何かも分かってない貴方 1=雑談じゃん。
・まず、Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q（既約方程式の全ての根を添加した体）
はガロア拡大である。
・Q(a1,a2,a3,a4,a5)=Kとおくと、Kの数がQ上みたす既約方程式の根は
すべてKに含まれる。（ガロア拡大の性質。）
・もしa^{1/5}∈Kならば、a^{1/5}がQ上みたす方程式
省3
842(1): 2022/12/17(土)19:12 ID:Yvnw5Kb3(15/18) AAS
数学において、ガロア拡大（ガロアかくだい、英: Galois extension）
は、体の代数拡大 E/F であって、正規拡大かつ分離拡大であるもののことである。
正規拡大
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
同値な性質、および例
・L に根をもつような K[X] のすべての既約多項式は
L に根をすべてもつ。すなわち、L[X] において一次式に分解する。
（多項式は L で 分解する (split) と言う。）
はい、1=雑談はガロア拡大の性質さえ分かってませんでした。
まったく驚かないけど。
843(2): 2022/12/17(土)19:29 ID:Yvnw5Kb3(16/18) AAS
正直1=雑談にガロア理論は無理ｗ
一番体感できる方法は
3次方程式のカルダノの解法で得られる3つの根から
加減乗除で3乗根の部分を取り出せないことを
泥臭い計算で確かめること。
それが工学部卒、数学実質高卒の
1=雑談が納得する方法。
844(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/17(土)20:17 ID:EhW0UvWQ(11/13) AAS
>>839
> 既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)に
> １の5乗根も方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)も含まれる」
> とはいえません
> だって根が全部実数の、既約で可解な5次方程式が実際存在しますから
１）数学の議論になってないね
根が全部実数になることと、無理数a^(1/5)が含まれることは両立するよ
その実例が、そもそもの方程式に使われた、1/cos(2kπ/11)やcos(2kπ/11)です>>832
２）なぜ5乗根が必要かも説明できるし、すでに解答済み
それが>>381で
省24
845(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/17(土)20:20 ID:EhW0UvWQ(12/13) AAS
>>844
つづき
３）補足すると、既約で可解な5次方程式のガロア群は、
”方程式の群は位数20の線形群になる”の部分で
細かく書くと、位数20のフロベニウス群F20⊃位数10の二面体群D5⊃位数5の巡回群C5
（念のため書き直すが F20⊃D5⊃C5）
この順に正規部分群の列を成す（可解列でもある）
４）対応する拡大体は、基礎体をQ(ζ)（＝1のべき根が必要なだけ添加されているQの拡大体）
で、Q(ζ)(√a)⊂Q(ζ)(√a)(√b)⊂Q(ζ)(√a)(√b)(c^1/5)となる
（注：Q(ζ)(√a)(√b)(c^1/5)は、Q(ζ)に順に(√a)と(√b)と(c^1/5)とを添加した拡大体。a,b,cは適当な定数）
省5
846: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/17(土)20:47 ID:vkjQzDmx(18/19) AAS
>>840
＞まあ、例えて言えば
＞特殊相対性理論：円分拡大
＞一般相対性理論：クンマー拡大
＞という感じかな
その発言、中二病って感じかな
＞クンマー拡大・クンマー理論で考えて
＞結果を出した
＞クンマー拡大・クンマー理論で考えて
＞出した結果は、全く無駄か？
省24
847: 2022/12/17(土)20:49 ID:Yvnw5Kb3(17/18) AAS
「方程式のべき根解法」に焦点を当てた記述の場合
「基礎体には適宜必要な1のべき根を添加しておく」
としてあることがある。
この場合、確かに解法にあらわれるべき根は分解体に含まれる。
しかしそれはガロア拡大の必要条件ではない。
たとえばQ(ζ_7)/Q はガロア拡大。
そして、QにもQ(ζ_7)にもω=ζ_3は含まれないのだから
ζ_7をべき根表示したときの3乗根はQ(ζ_7)には含まれない。
それだけの話なのだが、斜め読み・コピペバカの1=雑談
にはそのことが分からない。
848: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/17(土)20:52 ID:vkjQzDmx(19/19) AAS
>>844
＞根が全部実数になることと、
＞無理数a^(1/5)が含まれることは両立するよ
そのaが実数だと思ってるみたいだけど、違うよ
あとは全然見当違い
だから、石井本のp412-421を読みなって
わからないことがあるならここで質問しなって
わからないのにわかったとウソつくのはやめなって
ウソついても数学は理解できるようにならないよ 雑談クン
849: 2022/12/17(土)21:03 ID:Yvnw5Kb3(18/18) AAS
無理数a^(1/5)が実数だとしても、「共役」
としてa^(1/5)ζ_5が生じるのだから、それらの割り算で
ζ_5が生じる。したがって、「Q上のガロア拡大である」
かつ「ζ_5を含まない」いかなる代数体Kにも
a^(1/5)は「含まれない。」
（>>842の正規拡大の性質参照のこと）
850(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/17(土)23:34 ID:EhW0UvWQ(13/13) AAS
>>840 追加
>いま、aが複雑な計算式で、a＝1と気づかずに、クンマー拡大・クンマー理論で考えて結果を出した
>その後、a＝1と気づいた
>そのとき、最初のクンマー拡大・クンマー理論で考えて出した結果は、全く無駄か？
>そうではないよね
>途中の計算に間違いがなければ、得られた結果はそれなりに正しいはず
例を追加しよう
下記の三次方程式なり、四次方程式の解の公式で、
当然クンマー拡大を使っているのだが
例えば、下記の3乗根3√ξ2を使った解の公式で
省16
851(1): 2022/12/17(土)23:51 ID:dYzV3NkX(1) AAS
元の体Qに対して定義上矛盾したxで拡張した拡大体(x)は定義できますか?
方程式の実数に虚数で拡張したら複素数の解を新たに定義する
i=sqr(-1)
と定義したものを拡大体(i)は{sqr(x)|x>=0に矛盾}定義できますか?
仮に定義できれば拡大体(i)の計算法則の定義の{sqr(x)|x>=0}はどう扱えばいいですか?
高校数学レベルの初学者で申し訳ない...
852: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)00:26 ID:HDZ6pZhB(1/57) AAS
>>845
＞既約で可解な5次方程式のガロア群は、
＞位数20のフロベニウス群F20⊃位数10の二面体群D5⊃位数5の巡回群C5
＞（念のため書き直すが F20⊃D5⊃C5）
＞この順に正規部分群の列を成す（可解列でもある）
で、以下の記述だけど
＞対応する拡大体は、
＞基礎体をQ(ζ)（＝1のべき根が必要なだけ添加されているQの拡大体）
＞で、Q(ζ)(√a)⊂Q(ζ)(√a)(√b)⊂Q(ζ)(√a)(√b)(c^1/5)となる
＞（注：Q(ζ)(√a)(√b)(c^1/5)は、Q(ζ)に順に(√a)と(√b)と(c^1/5)とを添加した拡大体。a,b,cは適当な定数）
省5
853: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)00:53 ID:HDZ6pZhB(2/57) AAS
>>843
>一番体感できる方法は
>3次方程式のカルダノの解法で得られる3つの根から
>加減乗除で3乗根の部分を取り出せないことを
>泥臭い計算で確かめること。
>それが工学部卒、数学実質高卒の1=雑談が納得する方法。
さすが、出木杉クン いい提案ですね
いい例がありますよ 雑談クンが>>832でドヤ顔で示したものですが
外部ﾘﾝｸ:mathlog.info
2Cos(2π/7)は、
省17
854: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)00:58 ID:HDZ6pZhB(3/57) AAS
>>851
ちょっと質問の意味がわからないですが、
例えばQ上では、x^2+1=0の根も、x^2-2=0の根も存在しませんが
根をQ上に添加した体は考えられますよ
855(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)01:15 ID:HDZ6pZhB(4/57) AAS
>>850
＞カルダノの公式
＞Q(ξ1^(1/3), ξ2^(1/3), ω) の中で解くことができる
853の x^3+x^2-2x-1=0 で考えてみましょう
上記の方程式は、確かに
ξ1=(7+21√3i)/2
ξ2=(7-21√3i)/2
とすれば、Q(ξ1^(1/3), ξ2^(1/3), ω) の中で解けますね
一方、
Q(1/3(-1+((7+21√3i)/2)^(1/3)+((7-21√3i)/2)^(1/3)))は
省14
856(1): 2022/12/18(日)05:17 ID:PXeqpDqi(1/2) AAS
>>855
線形結合から元の3乗根を取り出すには、その数のラグランジュリゾルベントを取ればいい
ラグランジュリゾルベントを作るにはζ_3が必要。
だから、体にζ_3が含まれてるか否かがクリティカルなんですね。
で、なんで線形結合のラグランジュリゾルベントを取ると
べき根が成分ごとに出て来るかというと、それが「直交関係」なわけです。
857(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)06:11 ID:HDZ6pZhB(5/57) AAS
AA省
858(1): 2022/12/18(日)06:48 ID:PXeqpDqi(2/2) AAS
>>857
さすがに鋭いですね。
確かにそういう話もあったように思います。
でもなぜそうなのかちょっと思い出せない...
859: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)06:58 ID:HDZ6pZhB(6/57) AAS
>>858
ま、１，ω、ω＾２が異なる数なら
ヴァンデルモンド行列は正則行列になるから
線形方程式系は唯一の解を持ちますよね
ということで、正則行列は大事だぞ 雑談クン！（ビシッ）
860: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)07:03 ID:HDZ6pZhB(7/57) AAS
AA省
861: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)09:00 ID:HDZ6pZhB(8/57) AAS
さて、10年前のスレに戻ろうか
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2chｽﾚ:math
10年前の雑談クンは、ガロア分解式（リゾルベント）の虜だったようだ
ただ、これをどう扱えば代数的に解けるのか、理解してなかった
群論の言葉を使えば、
置換を、「正規部分群の同値類」でまとめることで
巡回置換を剰余群としてくくり出す操作を反復して単位群まで縮小できれば、
ガロア分解式から各段階の巡回置換に関するラグランジュ分解式が構成でき、
これを反復適用することで解が求められる
省9
862: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)09:04 ID:HDZ6pZhB(9/57) AAS
方程式論におけるガロア理論の役割は、
数学理論におけるゲーデルの不完全性定理の役割と
同じかもしれん
一般の方程式が代数的に解けない
一般の論理式が論理的に充足判定できない
しかし、決して否定的結果で終わったわけではない
解ける方程式の研究は続けられ結実した
定理の証明の営みも続けられている
863: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)09:17 ID:HDZ6pZhB(10/57) AAS
方程式論における重要テクニックがラグランジュの分解式なら
論理学における重要テクニックは何か？
私ならこう答える 「タブローの方法」
但し、述語論理では充足不能でない論理式のタブローは
延々と開いたままで閉じない
閉じないことが判定できるかどうかが問題だった
そしてそれは不可能だとわかった
だからといってこのテクニックが無意味なわけではない
充足不能ならタブローは閉じる
つまりある定理の証明が存在するなら
省5
864: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)09:25 ID:HDZ6pZhB(11/57) AAS
雑談クンは、整数論には全く興味がないようだ
円分方程式なんてヲタク的対象としか思ってないんだろう
まあ、全然ハズレというわけでもないが
（個人的にはガウスは最高の数学ヲタクだと思ってる）
そもそもヲタク精神がないなら、数学板に来てもつまらんだろう
数学板はヲタクの巣窟なのだから
865: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)09:39 ID:HDZ6pZhB(12/57) AAS
雑談クンは、安直な解決法しか興味ない人のようだから
きっとこう尋ねるだろう？
「ラグランジュの分解式によらず、
いきなりガロアの分解式から解を求める方法はないのか？
そういえば、トマエの公式とかいうのがあるらしいが
それって、そういう方法じゃないのか？」
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
上記に対する回答は下記
「知らん」
866(2): 2022/12/18(日)15:22 ID:TXiL9yxC(1/4) AAS
>>1投稿者の集合A、SetAは
『有限小数だけの数学なら0.999…≠1になるよね。』発言が既成事実のSetA
『ωを自然数に含める考え方をしてもいい』発言も既成事実のSetA
いつだったか線形代数初歩の行列の初歩の話でも自殺に等しいと言っても過言ではない名誉自損発言をしてたな
確か、真ん中の脚の長さが16.8kmも有るアナーキー日吉大明神猿魔大王他化自在天摩羅波旬オッパッピーが覚えてるだろ
867: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)15:22 ID:HDZ6pZhB(13/57) AAS
数学板に真の平穏が訪れた
868(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)15:25 ID:HDZ6pZhB(14/57) AAS
>>866
ええと、あなたはどなたでしたっけ？
最近、健忘症がひどくって
>16.8km
それは何の長さですかな
869(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)15:29 ID:HDZ6pZhB(15/57) AAS
>>866
＞『有限小数だけの数学なら0.999…≠1になるよね。』
有限小数だけの数学なら、そもそも0.999…が存在しないのではないですかな？
＞『ωを自然数に含める考え方をしてもいい』
それはω+1だけでなく、ω-1も存在するとしてもよい、という意味ですかな？
それならありですか、その場合のωは、極限順序数ωではありませんよね
870: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)15:31 ID:HDZ6pZhB(16/57) AAS
しばし休憩
871(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)16:51 ID:HDZ6pZhB(17/57) AAS
１の原始ｎ乗根を ζ
ｎ次巡回方程式の根を θ0,θ1,θ2,･･･,θ[n-1]
方程式の(n-1)次の係数/n次の係数 の値を c
n-1個のラグランジュのリゾルベントを L1,L2,･･･,L[n-1]
とする
θ0＋ θ1＋ θ2・・・＋ θ[n-1]=C
θ0＋ ζθ1＋ ζ^2θ2・・・＋ ζ^ (n-1)θ[n-1]=L1
θ0＋ ζ^2θ1＋ ζ^4θ2・・・＋ ζ^ (n-2)θ[n-1]=L2
･･･
θ0＋ζ^(n-1)θ1＋ζ^(n-2)θ2・・・＋ ζθ[n-1]=L[n-1]
省5
872: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)17:09 ID:HDZ6pZhB(18/57) AAS
今の気分
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
これで成仏できますわ（をひ）
873(1): 2022/12/18(日)17:18 ID:TXiL9yxC(2/4) AAS
>>868
他化自在天は欲界第六天の天神にして魔王の天魔。高位であればあるほど巨大となる故に真ん中の脚も長大｡
当人は謙虚にも『16.8cm』と単位の接頭辞を代えて言っていたが実際は『16.8km』だろう｡
この巨大物が淫術『♪やまたのおろちんぽっぽ〜！』にて多茎増殖し世界を蹂躙する｡
874: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)17:25 ID:HDZ6pZhB(19/57) AAS
２次方程式の場合
θ０＋θ１＝-b/a
θ０−θ１＝√((θ0+θ1)^2-4θ0θ1)＝√(b^2/a^2-4c)=(√(b^2-4ac))/a
875(4): 2022/12/18(日)17:28 ID:KUUXaCSx(1/6) AAS
平面 R^2 上の半径1の円と原点を通る周期2πの三角関数 f(x)=sin(x)、g(x)=cos(x) のグラフを眺めていました
平面 R^2 上の半径1の円と原点を通る周期2πの幾何的構造や
三角関数 f(x)=sin(x)、g(x)=cos(x) の独立変数xの値と従属変数 f(x) の値との対応
に関する解析的特性上、実代数的数全体からなる体K上πと線形従属な 0＜x＜π なる超越数は存在しないとのこと
或るπとは異なる超越数xが存在して、xに対して両方共に或る0とは異なる
実代数的数a、b (a≠0,b≠0) が存在して、xが x=aπ+b と表されるとする
ここに、πとは異なる超越数xのみの存在性を仮定した時点では、
直後にxに対して存在性が仮定される実代数的数a、b (a≠0,b≠0) を
用いてxが x=aπ+b と表されてはいないものとする。仮定から 2x/a=2π+2b/a であり、
f(2x/a)=sin(2x/a)=sin(2π+2b/a)=sin(2b/a)、g(2x/a)=cos(2x/a)=cos(2π+2b/a)=cos(2b/a)
省15
876: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)17:29 ID:HDZ6pZhB(20/57) AAS
>>873
そんな時代もあったね、と
Twitterﾘﾝｸ:keyamickey3rd
Twitterﾘﾝｸ:5chan_nel (5ch newer account)
877: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)17:31 ID:HDZ6pZhB(21/57) AAS
>>875
長いよｗ
878(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)17:32 ID:HDZ6pZhB(22/57) AAS
>>875
＞平面 R^2 上の半径1の円と原点を通る
＞周期2πの三角関数 f(x)=sin(x)、g(x)=cos(x)
＞のグラフを眺めていました
そんな時もある
879(2): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)17:35 ID:HDZ6pZhB(23/57) AAS
>>878
＞平面 R^2 上の半径1の円と原点を通る周期2πの幾何的構造や
＞三角関数 f(x)=sin(x)、g(x)=cos(x) の
＞独立変数xの値と従属変数 f(x) の値との対応に関する解析的特性上、
＞実代数的数全体からなる体K上
＞πと線形従属な 0＜x＜π なる超越数は
＞存在しないとのこと
そうなんですか？知りませんでした
で、どこに書いてあるんですか？
880(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)17:37 ID:HDZ6pZhB(24/57) AAS
>>879
＞或るπとは異なる超越数xが存在して、
＞xに対して両方共に或る0とは異なる
＞実代数的数a、b (a≠0,b≠0) が存在して、
＞xが x=aπ+b と表されるとする
もしかして、いきなり背理法による証明が始まってます？
いきなり、パンツ脱いで挿入してます？今、ここで？
881(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)17:39 ID:HDZ6pZhB(25/57) AAS
>>880
＞ここに、πとは異なる超越数xのみの存在性を仮定した時点では、
＞直後にxに対して存在性が仮定される
＞実代数的数a、b (a≠0,b≠0) を用いて
＞xが x=aπ+b と表されてはいないものとする。
え？でも仮定してるんですよね？
もしかして挿入しようとしたけど、勃起してなかったって感じ？
882(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)17:41 ID:HDZ6pZhB(26/57) AAS
>>881
＞仮定から 2x/a=2π+2b/a であり、
＞f(2x/a)=sin(2x/a)=sin(2π+2b/a)=sin(2b/a)、
＞g(2x/a)=cos(2x/a)=cos(2π+2b/a)=cos(2b/a)
なんだやっぱり入っちゃってるじゃないですか
883(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)17:42 ID:HDZ6pZhB(27/57) AAS
>>882
＞また、2x/a-2π=2b/a は実代数的数であり、
＞f(2x/a-2π)=sin(2x/a-2π)=sin(2b/a)、
＞g(2x/a-2π)=cos(2x/a-2π)=cos(2b/a)
なるほど
884(1): 2022/12/18(日)17:43 ID:KUUXaCSx(2/6) AAS
>>879
平面 R^2 上の原点を中心とする単位円周上の点の原点またはx軸、y軸に関する対称性から
885: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)17:44 ID:HDZ6pZhB(28/57) AAS
>>883
＞よって、平面 R^2 上の半径1の円周上の2点
＞(f(2x/a)、g(2x/a))、(f(2x/a-2π)、g(2x/a-2π))
＞は、どちらも平面 R^2 上の半径1の円周上の2点
＞(sin(2b/a)、cos(2b/a)) に等しい
なるほど、いい感じですよ
その調子でどんどん腰振ってみてくださいね
886: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)17:46 ID:HDZ6pZhB(29/57) AAS
>>884
＞複素平面C上において、実数体R上実数1と純虚数iは線形独立であるから、
＞平面 R^2 から複素平面Cへの写像
＞ h:R^2→C (y,z)→y+zi
＞は加法+に関して同型である
そらそやろな
ま、どんどん腰振って
887: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)17:47 ID:HDZ6pZhB(30/57) AAS
＞故に、
＞ f(2x/a)+ig(2x/a)
＞＝f(2x/a-2π)+ig(2x/a-2π)
＞=sin(2b/a)+icos(2b/a)
＞であり、オイラーの公式から
＞ exp(i2x/a)=exp(i(2x/a-2π))
＞を得る
そらそやろな
ま、どんどん腰振って
888(2): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)17:51 ID:HDZ6pZhB(31/57) AAS
＞仮定から、
＞2x/a=2π+2b/a は実数の超越数であり、
＞2x/a-2π=2b/a は実代数的数だから、
＞exp(i2x/a)=exp(i(2x/a-2π)) の両辺に対して
＞多価の対数関数の値を取れば、
＞或る p≠0 なる整数pが存在して
＞2x/a=2x/a-2π+2pπ が成り立ち
＞矛盾が生じる
んー、多価なんだから
exp(a)＝exp(b)だけどa=bでなくても
省2
889(2): 2022/12/18(日)17:55 ID:KUUXaCSx(3/6) AAS
>>889
>或る p≠0 なる整数pが存在して
は
>或る p≠0 かつ p≠1 なる整数pが存在して
の間違い
890: 2022/12/18(日)17:57 ID:KUUXaCSx(4/6) AAS
>>888
>>889のレス番号は>>888
891(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)17:57 ID:HDZ6pZhB(32/57) AAS
>>888
＞この矛盾は、
＞或るπとは異なる超越数xが存在して、
＞xに対して両方共に或る0とは異なる実代数的数a、b (a≠0,b≠0) が存在して、
＞xが x=aπ+b の形で表されると仮定したことから生じたから、
＞背理法が適用出来て、背理法を適用すれば、
＞如何なるπとは異なる超越数xに対しても
＞両方共に如何なる0とは異なる実代数的数a、b (a≠0,b≠0) が存在して、
＞xが x=aπ+b と表わされることはない
うーん、違うんじゃないかな
省6
892(1): 2022/12/18(日)18:05 ID:KUUXaCSx(5/6) AAS
>>891
杉浦解析入門にもそういうことが書いてあった
893(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)18:10 ID:HDZ6pZhB(33/57) AAS
>>892
読み間違いですね
残念ですけど
大学生なら即座に誤りに気づけますけど
・・・高校生じゃ仕方ないかな
ｘが虚数のexp、扱ったことないのよね？
はじめはみんな間違うのよ ダイジョウブ
894(2): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)18:14 ID:HDZ6pZhB(34/57) AAS
ま、KUUXaCSxちゃんのおかげで
このスレッドも埋葬できるんで
そこはよかったかな
ありがと KUUXaCSxちゃん
895: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)18:15 ID:HDZ6pZhB(35/57) AAS
じゃ、また休憩
896(1): 2022/12/18(日)18:18 ID:KUUXaCSx(6/6) AAS
>>893
何というか、杉浦解析入門はアールフォルスを参考に書いたようで、
複素変数zの指数関数 e^z の取り扱いの式は書いてあった
897(1): 2022/12/18(日)18:19 ID:TXiL9yxC(3/4) AAS
>>869
所が此のスレの>>1投稿者の集合A、SetAは、ωを最初極限順序数の意味で用い
『ωを自然数に含める考え方をしてもいい』 と述べていた。つまり
『最初極限順序数ωを自然数に含める考え方をしてもいい』と述べていたに等しいと同時に
『最初極限順序数の一つ前の順序数ω-1も存在する』と述べていた事にも等しいが
頭の本人はω-1の存在性是非を詰問されるも、その是非認識について回答する事から知らんぷりしている｡
中身空っぽのハッタリだらけのハリボテ主張だからだ｡
もしかしたらSetAの真ん中の脚も中身空っぽハリボテのハリボテ擬態なのかも知れない｡
898(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)19:06 ID:HDZ6pZhB(36/57) AAS
>>896
言い訳はいいよ
真理を知りたいんだろ？
だったら間違いは認めなくちゃ
誰のためでもない 自分のためにさ
899: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)19:08 ID:HDZ6pZhB(37/57) AAS
>>897
極限順序数は自然数ではないね
そこ間違う初心者は実に多いけど
間違いは間違いだね
ま、みんな間違うとおもえばいい
自分だけは間違わない、なんて思うのは大間違いさ
どう これで気楽になっただろ？ みんな
900: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/18(日)19:12 ID:HDZ6pZhB(38/57) AAS
と、いうことで900
次のスレッドのタイトルからは
（含むガロア理論）を外そう
もういいだろ
かわりにコイツを入れてくれ
（まず整数論）
円分体論もこれでガンガンやれる
文句ないだろ？
901: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:20 ID:HDZ6pZhB(39/57) AAS
数論
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数論（すうろん、英語: number theory）は、
数、特に整数およびそれから派生する数の体系（代数体、局所体など）の性質について
研究する数学の一分野である。整数論とも言う。
902: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:21 ID:HDZ6pZhB(40/57) AAS
整数論は通常代数学の一分野とみなされることが多い。
おおむね次の四つに分けられる。
・初等整数論
・代数的整数論
・解析的整数論
・数論幾何学
903: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:22 ID:HDZ6pZhB(41/57) AAS
初等整数論
他の分野の数学的手法を使わずに問題に取り組む、数論の中で最も基礎的な土台をなす。
フェルマーの小定理やオイラーの定理、平方剰余の相互法則などはこの分野の成果である。
904: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:23 ID:HDZ6pZhB(42/57) AAS
代数的整数論
扱われる対象は整数というよりも代数的整数である。
従って、代数的な整数論と読むよりも代数的整数の論と読む方が正しいと考えられる。
ガウスの整数を研究したカール・フリードリヒ・ガウスが
おそらくこの分野の創始者である。
体論はこの分野の基礎的根幹であって、
ガロア理論は（他の数学においてもそうだが）基本的な道具である。
代数体のアーベル拡大の統制を記述する類体論も、この分野の大きな成果である。
元来の岩澤理論もここに分類されよう。
905: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:24 ID:HDZ6pZhB(43/57) AAS
解析的整数論
微積分や複素関数論等の解析学的手法を用いて問題に取り組む。
この分野は初めて解析的な手法を系統的に数論に応用したディリクレに始まるとされる。
その弟子であるベルンハルト・リーマンによって
すでにこの分野の（ひいては数論）の最大の未解決問題である
リーマン予想（1859年）が提示されたのは興味深い。
素数定理の証明（1896年）はこの分野の一里塚である。
ゼータ関数、保型関数を研究するのもこの分野であって、超越数論とも関係が深い。
906: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:25 ID:HDZ6pZhB(44/57) AAS
数論幾何学
整数論の問題を、代数幾何の手法で研究する、あるいは代数幾何の主対象である
代数多様体（もっと広くスキーム）の整数論的な性質を研究する分野である。
ディオファンタスによる研究（初等整数論の範疇）から考えても、その起源は古いが、
現代的な意味での数論幾何学の始祖はアンドレ・ヴェイユ
（合同ゼータ関数に関する研究、モーデル・ヴェイユの定理の証明のほか、
任意の体上での代数幾何学の研究など）といえるだろう。
1950年代後半以降のアレクサンドル・グロタンディークらによるスキーム論および
それに関連する各種理論の発展により、爆発的な発展を遂げ、
現在では数論の中核に位置しているといえる。
907: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:26 ID:HDZ6pZhB(45/57) AAS
フェルマーの最終定理のように、数論のいくつかの問題については、
他の数学の分野に比して問題そのものを理解するのは簡単である。
しかし、使われる手法は多岐に渡り、また非常に高度であることが多い。
908: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:27 ID:HDZ6pZhB(46/57) AAS
ガウスは次のような言葉を残している。
「数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である」
909: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:28 ID:HDZ6pZhB(47/57) AAS
整数論は、永らく実用性は無いと言われてきたが、
近年暗号（RSA,楕円曲線暗号）や符号により
計算機上での応用が発達しつつある。
910: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:31 ID:HDZ6pZhB(48/57) AAS
ということで、
代数的整数論ならガロア理論使うし文句ないだろ
目標は類体論の理解ってことで
とかいうと、他の人が
「俺は解析的整数論やりたい」
とかいいだすんだよな
まあ、当人は、そういうだけで実は全然詳しくないんだけど・・・
911: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:33 ID:HDZ6pZhB(49/57) AAS
歴史
古代ギリシア
数論はヘレニズム後期（紀元3世紀）のギリシア人数学者らに最も好まれた研究対象で、
エジプトのアレクサンドリアで活動したアレクサンドリアのディオファントスは、
自らの名が（後に）冠されたディオファントス方程式の
様々な特殊ケースを研究したことで知られている。
ディオファントスはまた、線型不定方程式の整数解を求める方法について考察した。
線型不定方程式とは、解の単一の離散集合を得るには情報が不足している方程式を指す。
例えば、x+y=5 という方程式は、x と y が整数だとしても解が無数に存在する。
ディオファントスは多くの不定方程式について、
省2
912: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:37 ID:HDZ6pZhB(50/57) AAS
インド
中世インドでも数学者らはディオファントス方程式を深く研究しており、
線形ディオファントス方程式の整数解を求める体系的手法を初めて定式化した。
アリヤバータは著作『アーリヤバティーヤ』（499年）の中で
線型ディオファントス方程式 ay+bx=c の整数解の求め方を初めて明確に記している。
これを「クッタカ法」と呼び、ディオファントス方程式の解を連分数を使って表すもので、
アリヤバータの純粋数学における最大の貢献とされている。
アリヤバータはこの技法を応用し、重要な天文学上の問題に対応する
連立線型ディオファントス方程式の整数解を求めるのに使った。
彼はまた不定線型方程式の一般的解法も見つけている。
省19
913: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:39 ID:HDZ6pZhB(51/57) AAS
中世イスラム
9世紀以降、アラビア数学は数論を熱心に研究するようになった。
先駆者とされる数学者はサービト・イブン＝クッラで、
友愛数を求めるアルゴリズムを発見したことで知られている。
友愛数とは、2つの異なる自然数の組で、
自分自身を除いた約数の和が互いに他方と等しい。
10世紀にはイブン・タヒル・アル＝バグダディが
サービト・イブン＝クッラの手法を若干変えた手法を見つけている。
10世紀のイブン・アル・ハイサムは
偶数の完全数（その数自身を除く約数の和がその数自身と等しいもの）
省20
914: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:43 ID:HDZ6pZhB(52/57) AAS
ヨーロッパ
13世紀、レオナルド・フィボナッチは著書の1つとして
『平方の書』 (Liber Quadratorum) を書いた。
その中でピタゴラス数を扱っている。
彼は平方数が奇数の和として記述できると記している。
彼は合同数の概念を定義し、ab(a + b)(a - b) という形で表される数は
a + b が偶数ならば合同数であり、
a + b が奇数ならばそれを4倍したものが合同数だとした。
フィボナッチは x^2+C と x^2-C が共に平方数ならば
C が合同数であることを示した。
省16
915: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:46 ID:HDZ6pZhB(53/57) AAS
近代数論の始まり
18世紀の終わりにルジャンドルの『数の理論に関する試作』
（Essai sur la Théorie des Nombres、1798年）が出版される。
19世紀に入って出版されたガウスの『算術研究』
（Disquisitiones Arithmeticae、1801年）は、
近代数論の扉を開いたとされている。
合同についての理論はガウスの著作『算術研究』が始まりである。
彼は次のような記法を導入した。
a ≡ b (mod c)
そして、合同算術について広く考察している。
省14
916: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:50 ID:HDZ6pZhB(54/57) AAS
19世紀
コーシー、ポアソン（1845年）、そして特にエルミートも数論に貢献している。
3次形式の理論についてはアイゼンシュタインが先駆者であり、
彼と H. J. S. Smith が形式論全般について注目に値する進展をもたらした。
Smithは3元2次形式を完全に分類し、ガウスの実数の2次形式を複素数へと拡張した。
4個から8個の平方数の和で表せる数の探求はアイゼンシュタインが進展させ、
Smithが理論として完成させた。
ディリクレはこの問題についてドイツの大学で初めて講義を行った。
彼は他にもフェルマーの最終定理
x^n+y^n≠z^n (x,y,z≠0,n>2)
省8
917: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:52 ID:HDZ6pZhB(55/57) AAS
20世紀
20世紀の数論における大きな出来事として次のようなことが挙げられる。
・1920年代には、高木貞治、エミール・アルティン、フィリップ・フルトヴェングラーらが
類体論を創始し、1930年代にヘルムート・ハッセやクロード・シュヴァレーが発展させた。
・1940年代にアンドレ・ヴェイユがヴェイユ予想を発表し、
バーナード・ドゥワーク、アレクサンドル・グロタンディーク、ピエール・ルネ・ドリーニュらが
その証明に取り組んだ。
・1961年の M. B. Barban の成果に基づき、1965年にエンリコ・ボンビエリらが
「ボンビエリ＝ヴィノグラドフの定理」を定式化した。
・1960年代後半にロバート・ラングランズがラングランズ・プログラムを提唱し、
省6
918: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:59 ID:HDZ6pZhB(56/57) AAS
ところでヒルベルトの第１０問題の解決は論理学と考えられているようである
FRACTRAN
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
919: 2022/12/18(日)20:23 ID:TXiL9yxC(4/4) AAS
此処に来て中島みゆきか。だが、時代は回らない
∵ 痴情で枯死
♪流行りーばかりーを追ーってー コピペーばかりーを貼ーってー
♪SetAはーホーラーばーかーりー吹いーてるー
920: ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/18(日)20:56 ID:HDZ6pZhB(57/57) AAS
コピペ・ダメ・ゼッタイ
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
921(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/18(日)23:54 ID:NiRCfpma(1/2) AAS
どうも
出かけていたら
名古屋の新幹線のトラブルに巻き込まれてね
さっき帰ってきた
さて
>>841
>・まず、Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q（既約方程式の全ての根を添加した体）
>はガロア拡大である。
>・Q(a1,a2,a3,a4,a5)=Kとおくと、Kの数がQ上みたす既約方程式の根は
>すべてKに含まれる。（ガロア拡大の性質。）
省8
922(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/18(日)23:56 ID:NiRCfpma(2/2) AAS
>>921
つづき
２）
ところで
ついでに>>715
「1はa^{1/5}にガロア群を作用させるとζ_5が出てくることさえ分かってない。」
についても、けり付けて下さい
１）ガロア群Gの定義
２）作用域Λの定義
３）”群Gを作用させるとζ_5が出てくること”の証明
省18
923: 2022/12/19(月)03:52 ID:hS59ELf3(1/5) AAS
>>921>納得した
と心から言うなら
>>922くらい自分で考えなよ。
自分で考えなきゃ、一生コピペバカのままだぞ？
924(1): 2022/12/19(月)03:53 ID:hS59ELf3(2/5) AAS
>>875->>894
ワロタ。昨日は〇っちゃんまで来ていたのかｗ
925(1): 2022/12/19(月)04:04 ID:hS59ELf3(3/5) AAS
>>871
>ヴァンデルモンド行列の逆行列で
「そこ」がヴァンデルモンド行列になるという発想はなかった。
巡回方程式限定で考えたことがほとんどなかったので盲点になっていた。
本に書いてあるかもしれないが、あまり本は読んでないので。
で、n次巡回群に対してそのヴァンデルモンド行列をAとおくと
AA^*=nI が成立する。A^*はAの共役転置行列。これが「直交関係」。
926(1): 2022/12/19(月)04:11 ID:hS59ELf3(4/5) AAS
ヴァンデルモンド行列というのはワクワクするんですよ。
なぜなら、和と積を結びつける公式は数論において貴重だから。
つまり、行列式というのは普通に計算すると和の形になる
それが綺麗な積の形にもなるという。それ自体が数論的な情報を含んでいる。
927: 2022/12/19(月)04:12 ID:hS59ELf3(5/5) AAS
さて、冬の準備が忙しい...
928: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/19(月)07:05 ID:3hFxwn+B(1/6) AAS
>>921
＞なるほど それはそうだね 納得した
それだけ？ま、雑談クンのジャンピング土下座なんて期待してないけど
で、「納得した」って書いてるけど、理解した？
理解せずにただしぶしぶ納得しても、また同じ誤り繰り返すよ 大丈夫？
929: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/19(月)07:16 ID:3hFxwn+B(2/6) AAS
>>922
＞一般的な場合でも、ζ_5は含まれないということですかね？
具体的に、ζ_5が含まれない例があるなら その瞬間
一般的に、ζ_5が含まれる、といえないと分かりますが、何か？
雑談クンは、述語論理の初歩からやり直したほうがいい
ド・モルガンの法則から
∃Ｐ．¬Ｐ（ｘ）ならば、¬∀Ｐ．Ｐ（ｘ）ですが
え？もしかして∀ｘ．¬Ｐ（ｘ）
つまり、どんな場合もζ_5が含まれないといえるか？って尋ねてる？
省3
930: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/19(月)07:22 ID:3hFxwn+B(3/6) AAS
>>925
＞「そこ」がヴァンデルモンド行列になるという発想はなかった。
ご安心を、私も、形を見て気づくまで、全くなかったです
確かに、大学の線型代数でヴァンデルモンドの行列式は習いましたよ
そのときは
「なんでこんなもん考えたんだ？ワケワカラン」
と思ってましたｗ
改めて歴史を辿ったら、実はまさに代数方程式を解くために思いついたらしいです
松重豊が出てるＣＭじゃないけど
省5
931: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/19(月)07:26 ID:3hFxwn+B(4/6) AAS
>>926
なるほど！
ま、それとは全く別に名前がカッコいい
オランダ人ならよくある感じの苗字ですけどね
ファンデルモンド
ファンデルワールス
ファンデルヴェルデン
・・・
あ、スミマセン、クダラナイ感想で
932: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/19(月)07:28 ID:3hFxwn+B(5/6) AAS
今日の返答は遅くなります
スレ立ては950まで待ってね
あと、タイトルにはガロア理論じゃなくて代数的整数論と入れてね
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あと 70 ﾚｽあります
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