[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね 471 (1002ﾚｽ)
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71(2): 2021/11/09(火)16:07 ID:QFrTjU21(1/6) AAS
松坂和夫著『集合・位相入門』の以下の定理の証明で、選択公理は使われていますか？

定理4
R^n の部分集合（≠空集合）は、それが（開）球体の和集合として表わされるとき、またそのときに限って、開集合である。

証明

…
逆に、 O （≠空集合）を R^n の任意の開集合とする。 a を O の任意の点とすれば、適当な正数 ε(a) に対して B(a ; ε(a)) ⊂ O が成り立つ。
いま、 O の各点 a に対してこのような球体 B(a ; ε(a)) をとれば、
…

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79(1): 2021/11/09(火)19:29 ID:F4VuFTmV(1) AAS
>>71
a毎にε(a)を決めるには
例えば ε(a) := max{ 1/n | n∈N , B(a ; 1/n) ⊂ 0 } としたらよい.
こうやって具体的に選択関数が定まるなら選択公理を使う必要はない.

そもそも a毎にε(a)を決める必要なんて無いのである.
添字集合 Λ := { (a,ε) | a∈O, ε∈(0,1), B(a ; ε) ⊂ 0 } として
λ添字の開球 B_λ を λ=(a;ε) ⇒ B_λ := B(a ; ε) と定義すれば
{ B_λ | λ∈Λ } が求める球集合族である.

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88: 2021/11/10(水)00:02 ID:qEJ1Np3e(1) AAS
>>87
「任意に固定した一点a」の近傍だけ考えてない？>>71の疑問は「Oの各点aに対して(ry」の部分だろう

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