[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね 471 (1002ﾚｽ)
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155(2): 2021/11/15(月)08:01 ID:9JiA0zE3(1) AAS
正定値対称行列(a_ij)と非正定値対称行列(x_ij)に対して
Σa_ij x_ij≦0
が成り立つのですがどう示せばよいでしょうか

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158: 2021/11/15(月)12:11 ID:17OVjG8T(1/2) AAS
>>155
多分写し間違いだと思うので
Σ[ijk] a_ij*x_ik*x_jk ≧ 0 を示す.

直交行列により A = {a_ij} を対角化して
P^t.A.P = diag(α_1, α_2, ..., α_n) =: D (α_i > 0)
X.P =: (v_1,v_2,...,v_n) (v_i: 列ベクトル)
と置く.

Σ[ijk] a_ij*x_ik*x_jk = tr( X^t.A.X ) = tr( X.P.D.P^t.X )
= tr( D.(XP)^t.(XP) ) = Σ[ij] D_ij * {(XP)^t.(XP) }_ji
= Σ[i] α_i * (v_i・v_i) ≧ 0

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165: 2021/11/15(月)19:05 ID:TtJhBwjf(3/5) AAS
>>155
直交行列Pにより A = (a_ij) を対角化して
　P^t A P = diag(α_1, α_2, ..., α_n) =: D_a (α_i > 0)
と置く。
直交行列Qにより X = (x_ij) を対角化して
　Q X Q^t = diag(ξ_1, ξ_2, ..., ξ_n) =: D_x (ξ_j ≦ 0)
と置く。
　QP = R も直交行列である。

tr{AX} = tr{(P D_a P^t)(Q^t D_x Q)}
　　= tr{D_a (QP)^t D_x (QP)}
省4

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