[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね 470 (1002ﾚｽ)
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907(1): 2021/10/29(金)01:52 ID:7xPK18JT(1) AAS
∫[0,1]t^{x-1}(1-t)^{y-1}/(t+a)^{x+y}dtの値をΓ関数を用いて表せ

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909(1): 2021/10/29(金)03:23 ID:q0fQaYEM(3/5) AAS
>>907
q := (1+a)t/(t+a) と置けば
1-q = a(1-t)/(t+a)
dq = a(1+a)/(t+a)^2 dt, t:[0,1] → q:[0,1]

∫[0,1] t^{x-1} (1-t)^{y-1} / (t+a)^{x+y} dt
= ∫[0,1] {t/(t+a)}^{x-1} {(1-t)/(t+a)}^{y-1} (t+a)^{-2} dt
= (1+a)^{1-x} * a^{1-y} ∫[0,1] q^{x-1} (1-q)^{y-1} dq / (a(1+a))
= B(x,y) /((1+a)^x * a^y)
= Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y) * 1/((1+a)^x * a^y)

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