[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね 470 (1002ﾚｽ)
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750(4): 2021/10/16(土)21:28 ID:HB3H4EQ8(1) AAS
a^2-a+b^2-b=c^2-c
を満たす正整数(a,b,c)を全て決定せよ。
754: 2021/10/17(日)22:20 ID:ZC8LiEpN(1) AAS
>>750
自然数 k と、k(k+1)/2 を割り切る整数 p を用意し、qを k(k+1)/(2p) とする。
つまり、2pq=k(k+1) を満たす自然数(p,q,k)を持ってくると、
(a,b,c)=(p+k+1,q+k+1,p+q+k+1) は a(a-1)+b(b-1)=c(c-1) を満たす
なお、kは a+b-c=k+1 となるから、a,b,cからそれに対応するp,q,kを見つけることは容易
755: 2021/10/17(日)22:32 ID:Xgt7gya9(2/2) AAS
結局ピタゴラス数との違いはピタゴラスの方程式は同次形だから双有理幾何学の範疇でx^2+y^2=z^2がアフィン1直線である事から綺麗に気持ちよくパラメトライズできたけど>>750は同次形でないのでここにはピタゴラス数に類する2匹目のどじょうはいない
757(1): 2021/10/18(月)22:24 ID:GoEDerEy(1/2) AAS
>>750
a(a-1)+b(b-1)=c(c-1) この式を４倍して2を加えて変形すると (2a-1)^2 + (2b-1)^2 = (2c-1)^2 +1
X=2a-1,Y=2b-1,Z=2c-1と置くと X^2 + Y^2 = Z^2 +1 を得るが、この形になれば、
原始ピタゴラス数のナンバリングに関連して投稿した内容がそのまま流用できます。
つまり、X^2 + Y^2 = Z^2 +1 が成立するなら、(2X+Y+2Z)^2 + (X+2Y+2Z)^2 = (2X+2Y+3Z)^2 +1 が成立し、
Xを-Xに変えた (-2X+Y+2Z)^2 + (-X+2Y+2Z)^2 = (-2X+2Y+3Z)^2 +1 等も成立
結果、(x,y,z) が X^2 + Y^2 = Z^2 +1 の解ならば、(±2x±y+2z,±x±2y+2z,±2x±2y+3z) も解になるという論法です。
変数変換して、(a,b,c)が、A(A-1)+B(B-1)=C(C-1) の解ならば、
( 2a+b+2c-2, a+2b+2c-2, 2a+2b+3c-3),
(-2a+b+2c ,-a+2b+2c-1,-2a+2b+3c-1),
省3
759: 2021/10/19(火)05:20 ID:eBrpiHXa(1) AAS
さらに補足
>>750
の解を表示するプログラムを作りました。
ただの解ではなく、解にナンバリング（順番割り当て）を施しています。
・ナンバー付き解の大量表示
・解からナンバー
・ナンバーから解
外部ﾘﾝｸ:codepad.org
あまり意味はありませんが、a=bの対称解は、3^n で表せるような番号が当てられてます。
さらにaとbの入れ替えの解は、それを基準に対称的に配置されるようになってます。
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