[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね 470 (1002ﾚｽ)
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32(3): 2021/08/31(火)20:15 ID:XJtfBK+k(1) AAS
解析入門 杉浦p.6,7 例5についてです
(以下、該当箇所の抜粋)
有理数体ℚの部分集合 A={x∈ℚ|x>0 x²<2} は上に有界である。
例えば2はAの上界である。しかしℚの中には s=supA は存在しない。
このような s∈ℚ が存在したと仮定して矛盾が生じることを示そう。
s>0 だから s>s-ε>0 となる ε>0 を取れば、上限の性質から a∈Aが存在して
0<s-ε<a となるから (s-ε)²<a²<2 である。
ここで ε>0 は任意だから、 s²≦2 となる。
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この最後の部分の、s²≦2 である、という部分がわかりません。
省3
34(1): 2021/09/01(水)02:18 ID:7bxqLSbA(1) AAS
>>32
εは任意ではない、という落ちだろ。
35(1): 2021/09/01(水)13:18 ID:ld40Rcv/(1/7) AAS
>>32
ε = (s²-2)/(4s) とすりゃいいのさ
44(1): 2021/09/01(水)23:30 ID:HdoXaYZT(1) AAS
>>32
0超s未満の任意の数εに対して(s-ε)²<2が成り立つ事が約束されているんですよね？
上式を書き換えればs²-2<2sε-ε²<2sεで、2s>0ですから両辺を2sで割る事が出来るので、
言い改めますと(s²-2)/2sが0超s未満の任意の数εよりも小さいという事が約束されている状況なわけですよね？
もしs²-2が0より大きい正の数だと仮定しますと、(s²-2)/2sもはやり2s>0ですから0より大きい正の数ですよね？
0と(s²-2)/2sの間の数でなおかつs未満の数をεとして採用しても約束により(s²-2)/2s<εが成り立つと言えるわけですが、
これではε<(s²-2)/2sかつ(s²-2)/2s<εという矛盾した式が成り立つ事になってしまいます。
元をたどるとs²-2が0より大きい正の数だと仮定したからこのような状況が発生してしまったんですね。
よってs²-2は0より大きくはありません。
なのでs²-2≦0すなわちs²≦2
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