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754: 2021/10/17(日)22:20 ID:ZC8LiEpN(1) AAS
>>750
自然数 k と、k(k+1)/2 を割り切る整数 p を用意し、qを k(k+1)/(2p) とする。
つまり、2pq=k(k+1) を満たす自然数(p,q,k)を持ってくると、
(a,b,c)=(p+k+1,q+k+1,p+q+k+1) は a(a-1)+b(b-1)=c(c-1) を満たす
なお、kは a+b-c=k+1 となるから、a,b,cからそれに対応するp,q,kを見つけることは容易
755: 2021/10/17(日)22:32 ID:Xgt7gya9(2/2) AAS
結局ピタゴラス数との違いはピタゴラスの方程式は同次形だから双有理幾何学の範疇でx^2+y^2=z^2がアフィン1直線である事から綺麗に気持ちよくパラメトライズできたけど>>750は同次形でないのでここにはピタゴラス数に類する2匹目のどじょうはいない
756: 2021/10/18(月)20:06 ID:B/LVH/Fa(1) AAS
>>752 を参考に
a^2-a + b^2-b - (c^2-c) を式変形して a(a-1)= ( b + c - 1 )( c - b )
正整数 aを任意に採り a(a-1) = mn (但しnは奇数) と分解して b=(m-n + 1)/2, c=(m+n + 1)/2 とする.
b≦0 の時は bの値は -b+1 に置き換える (m,nの交換に相当).
これが解の全てである事は明らか
例. a=2021
a(a-1) = 4082420 = 4 * 5 * 43 * 47 * 101
(m, n) → (b, c)
(4, 1020605) → (510301, 510305)
(20, 204121) → (102051, 102071)
省3
757(1): 2021/10/18(月)22:24 ID:GoEDerEy(1/2) AAS
>>750
a(a-1)+b(b-1)=c(c-1) この式を４倍して2を加えて変形すると (2a-1)^2 + (2b-1)^2 = (2c-1)^2 +1
X=2a-1,Y=2b-1,Z=2c-1と置くと X^2 + Y^2 = Z^2 +1 を得るが、この形になれば、
原始ピタゴラス数のナンバリングに関連して投稿した内容がそのまま流用できます。
つまり、X^2 + Y^2 = Z^2 +1 が成立するなら、(2X+Y+2Z)^2 + (X+2Y+2Z)^2 = (2X+2Y+3Z)^2 +1 が成立し、
Xを-Xに変えた (-2X+Y+2Z)^2 + (-X+2Y+2Z)^2 = (-2X+2Y+3Z)^2 +1 等も成立
結果、(x,y,z) が X^2 + Y^2 = Z^2 +1 の解ならば、(±2x±y+2z,±x±2y+2z,±2x±2y+3z) も解になるという論法です。
変数変換して、(a,b,c)が、A(A-1)+B(B-1)=C(C-1) の解ならば、
( 2a+b+2c-2, a+2b+2c-2, 2a+2b+3c-3),
(-2a+b+2c ,-a+2b+2c-1,-2a+2b+3c-1),
省3
758: 2021/10/18(月)22:43 ID:GoEDerEy(2/2) AAS
>>757
に補足しておきますが、通常の絶対値記号|x| は、x<0 の場合は |x|=-x ですが、これを
|x|=-x+1 (x<0)
と上書きし、
f1:(a,b,c)→( 2a+b+2c-2, a+2b+2c-2, 2a+2b+3c-3),
f2:(a,b,c)→(-2a+b+2c ,-a+2b+2c-1,-2a+2b+3c-1),
f3:(a,b,c)→( 2a-b+2c-1, a-2b+2c , 2a-2b+3c-1),
f0:(a,b,c)→( |2a+b-2c| , |a+2b-2c| , |2a+2b-3c| )
とすれば、非負整数解全てを、上の四つの変換で結ぶことができるはずです。
759: 2021/10/19(火)05:20 ID:eBrpiHXa(1) AAS
さらに補足
>>750
の解を表示するプログラムを作りました。
ただの解ではなく、解にナンバリング（順番割り当て）を施しています。
・ナンバー付き解の大量表示
・解からナンバー
・ナンバーから解
外部ﾘﾝｸ:codepad.org
あまり意味はありませんが、a=bの対称解は、3^n で表せるような番号が当てられてます。
さらにaとbの入れ替えの解は、それを基準に対称的に配置されるようになってます。
760(1): 2021/10/20(水)04:09 ID:tGBp8wkO(1) AAS
>>727 の類題
x^3 -[x] -3 = 0
動画ﾘﾝｸ[YouTube] 08:18,
x^2 -7[x] +6 = 0
動画ﾘﾝｸ[YouTube] 06:07,
761(1): 2021/10/20(水)20:16 ID:JCc2y07p(1) AAS
ユーチューバーがよく分からないと言っていて、コメント欄でも素人があれこれ言い合って分からなかったのでここで聞かせてください
x^(2x)=1を満たす実数xを求めよ。
762: 2021/10/20(水)20:44 ID:TEFFVcT4(1) AAS
x<0 の場合を忘れたバカ死ねｗｗｗｗｗｗみたいなやつ？
763: 2021/10/20(水)21:45 ID:8niODqsr(1/2) AAS
>>761
w = r・(cosθ + i・sinθ) [r>0θ≧0]
z = x + i・y [x,yは実数]
とおく。
複素数の「べき」の定義及び、対数関数の定義より、
w^z = exp{z・log(w)}
log(w) = log(r) + i・(θ+2nπ) [nは整数]
なので、
省19
764(1): 2021/10/20(水)21:57 ID:8niODqsr(2/2) AAS
『52枚のトランプカードから、無作為に１枚を取り出し机に伏せる。
残りの51枚のカードから、ハートのカードを探し出して３枚取り出す。
机に伏せたカードがハートのカードである確率はいくらか？』
貫太郎つながりの問題。
「神様がどうのこうの」とのたまってる文系馬鹿には、答えられない。
765: 2021/10/20(水)23:41 ID:HLQdEFgi(1) AAS
x=0
766: 2021/10/21(木)08:55 ID:P5hNN1S4(1/3) AAS
数学オリンピックって飛び級したら出場資格失うんですか？wikiには高等教育を受けている人は対象外と書いてあったんですけど、実際のところどうなんですか？
767(1): 2021/10/21(木)08:59 ID:P5hNN1S4(2/3) AAS
数学オリンピックって飛び級したら出場資格失うんですか？wikiには高等教育を受けている人は対象外と書いてあったんですけど、実際のところどうなんですか？
768: 2021/10/21(木)09:03 ID:P5hNN1S4(3/3) AAS
>>767 2個目のやつはミスです。すみません。気にしないでください。
769: 2021/10/21(木)09:38 ID:gjwTEdTs(1) AAS
おくすり効いてないのかと思ったけど、違ったようで何より
770(1): 2021/10/21(木)18:11 ID:CByNampU(1/2) AAS
微分の定義である
Lim[h-->0] f(x+h) - f(x)/h
↑ この定義ってなぜ、
h とかいう文字を使ってるんですか？
h ではなく、Δxとした方が分かりやすくないですか？
なぜなら、微分でやっている事は
幅のとり方を縮めていきその変化量が収束する値を
勾配(傾き) とするって話でしょう。
以下の方が理解しやすく教育的ではないですか？
Lim[Δx-->0] f(x+Δx) - f(x)/Δx
771: 2021/10/21(木)18:23 ID:CByNampU(2/2) AAS
>>770 補足 微積分の後半で
学習する以下の事実とも整合性がとれるし見やすい。
****
ある関数 f(x) の面積 Area について
Σで離散的に表現すると…
・ Areaの近似 = Σ[k=1-->a] f(x_k) Δx
を得る。
Areaの近似 Not = Area である。
(ここで Δx --> 0 とすると)
・ Area = ∫[0-->a] f(x) dx
省2
772: 2021/10/21(木)18:58 ID:vxGnGqHM(1) AAS
教育的、整合性、ご自由に
773: 2021/10/21(木)19:46 ID:K/hghBtO(1) AAS
>>760
(上)
[x] = n とおくと
x = (n+3)^(1/3),
x = 4^(1/3) = 2^(2/3),
(下)
[x] = n とおくと
x = √(7n-6) (1≦n≦6)
774: 2021/10/21(木)22:24 ID:eR1bh7TZ(1) AAS
(1) (a, b) := {{a}, {a, b}} として、 A × B := {(a, b) | a ∈ A and b ∈ B} と定義する。
(2) A × B を写像 x : {1, 2} → A ∪ B で x(1) ∈ A かつ x(2) ∈ B を満たすようなもの全体の集合と定義する。
(1)での A × B と(2)での A × B は、
(a, b) <-> 写像 x : {1, 2} → A ∪ B で x(1) = a かつ x(2) = b となるようなもの
という対応によって同一視できますが、この対応のどういう性質によってそうできるのでしょうか？
775(2): イナ ◆/7jUdUKiSM 2021/10/22(金)12:23 ID:psfNfRqg(1) AAS
前>>736
>>764
確率=その場合の数/すべての場合の数
=伏せたハートのカード/伏せたカード
=(13-3)/(52-3)
=10/49
∴22.2……%
776: 2021/10/22(金)14:27 ID:fPycmwiL(1) AAS
>>775
不正解。答えは 1/4(25%)。
ハートが残りの「山」に少なくとも12枚残っている以上、
「探し出して」、つまり「作為的に」行う試行で、ハートが３枚開示される事象は、
誰でも、いつでも、100％の確率で起こりうること。
よって、題意の確率は事後事象に影響しない。
これが、残りの「山」から「無作為に」3枚選び、偶然、ハートが3枚出現したなら、
p=【四回連続でハートを引く確率】
q=【最初だけハート以外であとの三回は連続してハートを引く確率】
で、答えは p/(p+q)=10/49 が正解。
777(1): 2021/10/22(金)15:44 ID:+JD0Qnkf(1) AAS
実数直線の連結性の証明について以下のページで、
外部ﾘﾝｸ:ddkd.hatenablog.jp
「すなわち、 δ∈∂U であるが」とあるのですが、１．と２．からどのような理由で入れるのでしょうか？
778: 2021/10/22(金)23:50 ID:bT6dh5tb(1) AAS
>>777
Uの触点だからUのclosureに入る
Vの触点だからV=Uの補集合のclosureに入る
Uのclosureにも補集合のclosireにも入ってるので境界の元
779(2): 2021/10/23(土)11:46 ID:Xgc5zFC8(1/3) AAS
e^π vs π^e
どちらが大きいか？
780(1): 2021/10/23(土)12:14 ID:LOgGDCao(1/4) AAS
x>0 のとき
e^(1/e) ≧ x^(1/x),
∴ e^x ≧ x^e,
(略証)
log(x^(1/x)) = log(x)/x,
{log(x)/x} ' = {1-log(x)}/x^2,
0<x<e で増加、e<x で減少。
x=e で最大。
781(1): 2021/10/23(土)15:42 ID:LOgGDCao(2/4) AAS
e^(x/e - 1) ≧ 1 + (x/e - 1) = x/e,
両辺にeを掛けて
e^(x/e) ≧ x,
両辺をe乗して
e^x ≧ x^e,
782(1): 2021/10/23(土)15:44 ID:rB+T7Zp9(1) AAS
インスタントコーシーとクリープをカップの中に入れていくらセイクしても
茶色にはならず黒いコーヒーと白いクリープが細かく混ざったようになります
湯を入れると茶色になるますがなぜ粉末状態では茶色にならぬのですか
783: 2021/10/23(土)15:45 ID:n/1vwwaC(1) AAS
いい質問だね、何年生かな？
784(1): 2021/10/23(土)16:10 ID:Xgc5zFC8(2/3) AAS
>>780-781
正解っす。答えるの早いな、 旧帝大か？
a = e^π, b = π^e
指数を eπ に揃えた形にして それらを a,b を使って表すと…
a = (e^(1/e))^(eπ)
b = (π^(1/π))^(eπ)
以上より、 e^(1/e) の π^(1/π) の大小関係がわかれば良い。
ここで、この2つは
どちらも f(x) = x^(1/x) という同一の曲線上にある。
従って f(x) をxについて微分して極大値を求めて… >>780 と答えに至る。
省4
785: 2021/10/23(土)16:50 ID:3G0Npyj8(1) AAS
>>784
どこが分からない問題だったんだ？まさか、いい気になって上から目線で出題か？何やってんだテメェは？
お前みたいな奴がナイフで刺しに来たりハンマーで殴りに来たりする狂人に襲われて死んでも
「だから言わんこっちゃない」と言われながら惨めな葬式にされるんだろうな｡
786: 2021/10/23(土)17:10 ID:Xgc5zFC8(3/3) AAS
こっわ
787: 2021/10/23(土)19:00 ID:LOgGDCao(3/4) AAS
>>779
参考書
『大学への数学』, 東京出版 (1970/Nov)
数セミ増刊「数学の問題」第(3)集, 日本評論社 (1988) ●27
(発展問題)
北東 & 熊野：
数学セミナー, vol.50, no.10, 通巻600号, 日本評論社 (2011/Oct)
NOTE p.68-69
788(1): 2021/10/23(土)19:03 ID:S12FGbCo(1/2) AAS
完全微分であることを確認とは何ですか
これはどう確認しますか
xdx + ydy = 0
789: 2021/10/23(土)19:04 ID:pk0jZLs/(1/3) AAS
積分できるでしょ
790: 2021/10/23(土)19:14 ID:RiSQ+gXI(1) AAS
>>788
特定の二つの微分が一致するかをみる
791(1): 2021/10/23(土)19:44 ID:LOgGDCao(4/4) AAS
f(x,y)dx + g(x,y)dy = dΦ(x,y)
をみたすポテンシャル関数 Φ(x,y) が存在すれば
f(x,y) = ∂Φ/∂x, g(x､y) = ∂Φ/∂y,
∴ ∂f/∂y = (∂∂ Φ)/(∂x･∂y) = ∂g/∂x,
792(1): 2021/10/23(土)21:20 ID:S12FGbCo(2/2) AAS
>>791
ありがとうございます
それぞれ偏微分するということですか
(e＾x + y＾2)dx + (2xy + sin y)dy = 0
これも同様になりますか？
793(3): 2021/10/23(土)21:54 ID:ZMBp9xEJ(1) AAS
23人のアイドルグループがいて、仕事をするときはその中の7人を選んで7人で仕事をする
7人の内の4人を選んだときその4人がふくまれる仕事は一つしかない場合
7人の選び方は何通りあるか
答えは23C4÷7C4らしいんだけど
なんでそうなるのかわからない
教えて
794(1): 2021/10/23(土)22:03 ID:3VLV50xN(1) AAS
めっちゃシンプルなんだけど
dX/dt=A(X-Y)
dY/dt=B(X-Y) A,B定数
X,Yについてtの関数の形に
解ける人おる？
795: 2021/10/23(土)22:26 ID:pk0jZLs/(2/3) AAS
いません
796: 2021/10/23(土)22:37 ID:A5fWgqhB(1) AAS
X=(cAe^{(A-B)t})/(A-B),
Y=(cBe^{(A-B)t})/(A-B)
797: 2021/10/23(土)22:56 ID:pk0jZLs/(3/3) AAS
あかん
798: 2021/10/23(土)23:43 ID:NIG1sIpy(1) AAS
A≠Bのときは
X=(cAe^{(A-B)t})/(A-B)+d
Y=(cBe^{(A-B)t})/(A-B)+d
A=B≠0のときは
X=ct+d+c/A
Y=ct+d
A=B=0のときは
X=c
Y=d
かな？
799(1): 2021/10/24(日)01:14 ID:g9d5qJ2g(1/8) AAS
>>794
(d/dt)(X-Y) = (A-B)(X-Y),
X - Y = (X。-Y。) e^{(A-B)t} = c e^{(A-B)t} … (1)
(d/dt)(AY-BX) = 0,
AY(t) - BX(t) = AY。- BX。= (A-B)d … (2)
A≠B のとき は
X(t) = (c A e^{(A-B)t})/(A-B) + d,
Y(t) = (c B e^{(A-B)t})/(A-B) + d,
A=B のときは
X(t) = X。+ c A t,
省1
800: 2021/10/24(日)01:18 ID:g9d5qJ2g(2/8) AAS
>>792
f(x,y) = e^x + y^2,
g(x,y) = 2xy + sin(y),
より
∂f/∂y = 2y = ∂g/∂x,
よって ポテンシャルΦが存在します。
Φ(x,y) = e^x + x･y^2 - cos(y) + c,
801: 2021/10/24(日)01:33 ID:18T1tzgc(1) AAS
>>799
>A=B のときは
> X(t) = X。+ c A t,
> Y(t) = Y。+ c B t,
X。- Y。= c
802: 2021/10/24(日)16:32 ID:g9d5qJ2g(3/8) AAS
>>793
余談ですが…
(1) 各仕事に含まれる人数 (ブロックサイズ) が一定 (7)
(2) 各人を含む仕事の数 (繰り返し数) が一定 (r)
(3) 23人の内の4人を選んだとき、その4人を含む仕事の数 (会合数) が一定 (λ)
をみたすとき、これを 4-(23,7,λ)デザイン とよぶ。
組合せ論的な考察から、次式が成り立つことが分かる。
(仕事の総数) = λ･C(23,4)/C(7,4) = 253λ,
r = λ･C(23-1,4-1)/C(7-1,4-1) = 77λ,
特に、λ=1 のとき 4-(23,7,1)デザイン のことを
省5
803: 2021/10/24(日)17:03 ID:ziyvWSis(1) AAS
>>793
こんなんほっとけよ
何言ってるか意味わからんやろ
甘やかすからバカのさばるんだよ
804(1): 2021/10/24(日)17:17 ID:g9d5qJ2g(4/8) AAS
>>793
組合せ論的な考察
￣￣￣￣￣￣￣￣
一人(a)をきめ、aと異なる3人の順列 (b1,b2,b3) と仕事Bの組 (b1,b2,b3,B) で a,b1,b2,b3 がすべてBに含まれるようなものの個数を二通りに計算する。
aと異なる3人 b1,b2,b3 を任意に選ぶと、a,b1,b2,b3 の4人 を含む仕事はちょうどλ個ある。(λ=1)
b1,b2,b3 の取り方は、22人から3人を取り出す順列の個数だけあるから 22!/19! = 3! C(22,3) 通りある。
∴ 上のような組の総数は 3! C(22,3) λ である。
一方、aを含む仕事はr個あるが、各仕事Bに対して上のような組は Bからa以外の3人の順列 b1,b2,b3 を取り出す仕方の数 6!/3! = 3! C(6,3) だけある。
このような組の総数は 3! C(6,3) r である。
∴ 3! C(22,3) λ = 3! C(6,3) r,
省2
805(1): 2021/10/24(日)17:43 ID:tuUwSabV(1) AAS
y‘ = y＾2 − xy + 1
において
y0 = ax + b の形の解を持つとすると
a,bはどうもとめますか
また一般解はどうもとめたらいいですか
806: 2021/10/24(日)19:04 ID:UPw45Ovj(1) AAS
>>804
構うなというとムキになってさらにアホレス重ねる
しかも数学いたではもはや同じいと言っていいdesignの話を得意げに
バカなんじゃないの？
それとも自演か？
807: 2021/10/24(日)21:10 ID:g9d5qJ2g(5/8) AAS
>>782
粉の粒径が目の分解能より大きいから。(17字)
808: 2021/10/24(日)21:12 ID:g9d5qJ2g(6/8) AAS
π > 3 > e
(参考)
π = 3.14159265358979
e = 2.71828182845904
809(1): 2021/10/24(日)21:14 ID:b6zhWC2I(1/2) AAS
>>805
代入すると
左辺=y'=(ax+b)'=a
右辺=(ax+b)^2-(ax+b)x+1=(2ab-b)x+b^2+1
だから
xの係数と定数部分を見比べて
2ab-b=0、a=b^2+1 を得る
これを解いて
a=1,b=0もしくはa=1/2,b=i/√2
(実解を求める場合、後者は不適)
省6
810: 2021/10/24(日)21:25 ID:g9d5qJ2g(7/8) AAS
π^π > 3^π > π^3 > 3^3 > e^π > π^e > e^3 > 3^e > e^e,
(参考)
π^π = 36.4621596072079
3^π = 31.5442807001975
π^3 = 31.0062766802998
3^3 = 27.0
e^π = 23.1406926327793
π^e = 22.4591577183610
e^3 = 20.0855369231877
3^e = 19.8129907452746
省1
811(1): 2021/10/24(日)21:27 ID:b6zhWC2I(2/2) AAS
>>809
y=x-exp(x^2/2)/(f(x,0)+C) とするべきか
812(1): 2021/10/24(日)21:44 ID:g9d5qJ2g(8/8) AAS
π^(π^π) > e^(π^π) > π^(e^π) > π^(π^e) > e^(e^π) > e^(π^e) > π^(e^e) > e^(e^e),
(参考)
π^(π^π) = 1.34016418300634×10^18,
e^(π^π) = 6.8440743006965×10^15,
π^(e^π) = 3.19442279626556×10^11,
π^(π^e) = 1.46408873973996×10^11,
e^(e^π) = 1.12169586224676×10^10,
e^(π^e) = 5.67398607050580×10^9,
π^(e^e) = 3.41931840648216×10^7,
e^(e^e) = 3.81427910476021×10^6,
813(2): 2021/10/24(日)23:46 ID:nzWZeyTs(1) AAS
e^π>22を示せ。
（類題 1999東大理系入試第6問）
814(1): 2021/10/25(月)00:32 ID:EW1zU5iJ(1/2) AAS
>>811
ん
815: 2021/10/25(月)00:52 ID:BV69bm7e(1/4) AAS
π>4/2+4/3 - 4/8/3 - 4/27/3 = 505/162
e^π> 1+(505/162)+(505/162)^2/2+(505/162)^3/6
+(505/162)^4/24+(505/162)^5/120
+(505/162)^6/720+(505/162)^7/5040
= 56447703426421361 / 2602870608208896
≒ 21.686711298055847
816: 2021/10/25(月)03:12 ID:4tizcZlG(1/3) AAS
>>813
π > 3 + (14/99),
e > Σ[k=0,5] 1/k! = 163/60,
e^3 > (163/60)^3 > 4320000/(60^3) = 20,
e^(14/99) > 1 + (14/99) + (1/2)(14/99)^2
> 1 + (14/99) + 98/(9999)
= 1 + (1512/9999)
> 1 + 0.15
= 23/20,
e^π > e^3･e^(14/99) > 20･(23/20) = 23,
817: 2021/10/25(月)04:30 ID:4tizcZlG(2/3) AAS
>>813
π > 3.14
e > 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 = 163/60,
e^3 > (163/60)^3 > 4320000/(60^3) = 20,
e^0.14 > 1 + 0.14 + (1/2)0.14^2 + (1/6)0.14^3 > 1.15
辺々掛けて
e^π > e^3.14 = e^3 ･ e^0.14 > 20 ･ 1.15 = 23,
e^π > 22 を示せ。
動画ﾘﾝｸ[YouTube] 09:28,
鈴木貫太郎
818: 2021/10/25(月)04:47 ID:4tizcZlG(3/3) AAS
>>779
e^π と π^e どっちがでかい？
動画ﾘﾝｸ[YouTube] 06:31,
鈴木貫太郎
e^π と π^e どっちが大きい!? (筑波大) (数?微分)
動画ﾘﾝｸ[YouTube] 04:58,
3浪阪大生たぴおか【数学解説ch】
>>812
e^(e^π) < π^(π^e) を示せ。
動画ﾘﾝｸ[YouTube] 19:07,
省1
819(1): 2021/10/25(月)05:14 ID:fUwWO2X7(1) AAS
>>814
この場合は被積分関数の形がいいからどっちの表記でも変わらないね
820: 2021/10/25(月)06:58 ID:EW1zU5iJ(2/2) AAS
>>819
NO
821(3): 2021/10/25(月)08:24 ID:a2mH5x39(1/2) AAS
半径R[m]の天体の上空から半径r[m]の円の範囲を照らすライトを当てたときに
何か所からライトを当てれば全ての地表面を照らすことができるでしょうか？
このライトは高さを上下させても明るくなる半径は不変であるとします。
ただし、ライトの真下の点から外周の点までの直線距離をrとします。
822: 2021/10/25(月)08:31 ID:a2mH5x39(2/2) AAS
>>821 訂正
×真下の点
〇真下の地表面の点
823: 2021/10/25(月)08:35 ID:z59MZyYo(1) AAS
2か所
824: 2021/10/25(月)12:50 ID:Nj01nitQ(1/2) AAS
変数関数 Q(x, y) は領域 D = {(x, y) | a < x < b, c < y < d} で C 1 級であるとする
また、c < p < d と する
このとき, D において次が成立することを示せ ∂ /∂x(∫【y→p】 Q(x, η)dη) = ∫【y→p】∂/ ∂x (Q(x, η)) dη
825: 2021/10/25(月)12:50 ID:Nj01nitQ(2/2) AAS
これの証明の仕方が分からないです
826(1): 2021/10/25(月)15:27 ID:65WjjLB+(1/4) AAS
{ ∫【y→p】 Q(x+h, η)dη - ∫【y→p】 Q(x, η)dη } / h
=∫【y→p】{ Q(x+h, η) - Q(x, η) }/h dη
=∫【y→p】 ∂x Q(x+θ*h , η) dη (0<θ(x,η,h)<1)
→ ∫【y→p】 ∂x Q(x, η) dη (h→+0)
827: 2021/10/25(月)17:08 ID:bJ79//yL(1) AAS
>>826
ありがとうございます
Θをつけなければならない理由は何ですか？
また*hはどういう意味でしょうか？
828: 2021/10/25(月)17:25 ID:BV69bm7e(2/4) AAS
あかんね
平均値の定理、あるいはテーラーの定理だけど定理で述べられてるのは0<θ<1)を満たすθが存在するだけでそのθは上の式ではηの関数として選択してるけどそれが可測関数になるとは限らない
829: 2021/10/25(月)17:43 ID:SXaD/CWZ(1) AAS
[平均値の定理]
Q(x) は [a,b] において連続、(a,b) において微分可能とする。然らば
{Q(x+h) - Q(x)}/h = (∂/∂x)Q(x+θh), 0<θ<1,
なる θ(x,h) が存在する。(Lagrange)
高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第2章 微分法, §18 定理20． p.48
830: 2021/10/25(月)18:07 ID:65WjjLB+(2/4) AAS
∫【y→p】 ∂x Q(x+θ*h , η) dη
= ∫【y→p】{ ∂x Q(x, η) + ∂x Q(x+θ*h , η)- ∂x Q(x, η) } dη
= ∫【y→p】 ∂x Q(x, η) dη + ∫【y→p】g(x,η,h) dη
( g(x,η,h) := ∂x Q(x+θ*h , η)- ∂x Q(x, η) )
QがC1なので Dで ∂x Q は連続
コンパクト集合 K := [x,x+α]×[y,p] ⊂ D の上で ∂x Q は一様連続なので
∀ε>0 ∃δ>0 h<δ ⇒ |g(x,η,h)| < ε
よってこのとき |∫【y→p】g(x,η,h) dη | ≦ |y-p| * ε →0 (ε→0, h→0)
以下略
θが可測かどうかなんてカンケーないよ
831: 2021/10/25(月)18:23 ID:BV69bm7e(3/4) AAS
=∫【y→p】 ∂x Q(x+θ*h , η) dη (0<θ(x,η,h)<1)
↑θはηにdependする関数
ηについて可測でなければこの式は意味をなさない
832(1): 2021/10/25(月)20:31 ID:65WjjLB+(3/4) AAS
{ Q(x+h, η) - Q(x, η) } / h = ∂x Q(x+θ*h , η)
ηごとにθの存在が保証されているので (選択公理を使えば) 関数としての θ=θ(η) を構成できる.
そしてそれがどんな関数か不明でも ∂x Q(x+θ*h , η) の連続性は 左辺が保証してくれている
QがC1 だから ∂x Q(x, η) も連続、だから g(η) も連続で積分可能
h を十分小さくすれば ∫[y,p] g(η) dη はいくらでも小さくできる (∵ コンパクト空間上での一様収束性)
以下略
833(1): 2021/10/25(月)21:25 ID:BV69bm7e(4/4) AAS
>>832
略してもあかん
選択公理で出鱈目に選んだ関数でできたθ(x,η,h)<1) はηの関数として可積分とは限らない
するとθから作られた合成関数∂x Q(x+θ*h , η) をηに関して積分できない
ならば
=∫【y→p】 ∂x Q(x+θ*h , η) dη (0<θ(x,η,h)<1)
という式は何ら数学的意味を持たない
この行が入ってる限り証明は失敗するしてる
834(1): 2021/10/25(月)21:26 ID:cxpU5FlM(1/2) AAS
なんで選択公理がでてくんの？
835(1): 2021/10/25(月)21:43 ID:65WjjLB+(4/4) AAS
>>833
{ Q(x+h, η) - Q(x, η) } / h = ∂x Q(x+θ(η)*h , η)
左辺が η 区間 [y,p] で連続(とうぜん可積分)なのに、右辺が可積分かどうかを心配するの？
>>834
h ごとに対応する θ の値が一つとは限らないから
あと上の人が θの関数形に拘ってる感じだったから念のために書いた
836: 2021/10/25(月)21:46 ID:cxpU5FlM(2/2) AAS
>>835
微積分の範疇の話なので関係ないと思うが
837: 2021/10/26(火)11:12 ID:5mX29OLz(1/3) AAS
すいません。
バカなのでどなたかご教授頂きたいのですが、
x=(y-z)/z
と言う式を
z=
にする場合はどの様な式にすれば良いのでしょうか？
838(2): 2021/10/26(火)11:23 ID:2H60O/AY(1/2) AAS
両辺にz(!=0)をかけると
xz=y-z
両辺にzを足すと
xz+z=y
左辺をzで括ると
(x+1)z=y
両辺x+1(x!=-1)で割ると
z=y/(x+1)
839: 2021/10/26(火)11:46 ID:5mX29OLz(2/3) AAS
>>838
ありがとうございます。
早速エクセルで試してみたのですが、違う解になってしまいました
私が何か勘違いしてるのでしょうか？
840: 2021/10/26(火)11:49 ID:5mX29OLz(3/3) AAS
>>838
再度試したところ出来ました！！
本当にすいません。。
また、本当に本当にありがとうございました！！！
841: 2021/10/26(火)14:10 ID:yHWX4IjJ(1) AAS
>>821
各ライトは、高さ方向で rr/2R の部分の地表面を照らし、
面積は πr^2 です。
これは一辺が(√3)r の正三角形を含みます。
(面積 〜 (3√3)/4・r^2)
全ての地表面の面積は 4πR^2 なので
(16π/3√3)(R/r)^2 個以上必要でしょうか。
842(3): 2021/10/26(火)17:47 ID:mdvX7N7l(1) AAS
3点(0,0),(1,0),(0,1)と(x,y)の距離がすべて有理数となるものを全て求めよ
843(1): 2021/10/26(火)19:34 ID:EyPv/NlO(1) AAS
∫[-N→N](1/(a|x|^3+1))dx
三角関数を使う感じかと思ったらaって係数あるし絶対値ついてるし３乗だしで全然分からないです
844: 2021/10/26(火)19:52 ID:2H60O/AY(2/2) AAS
2∫[0->N](1/(ax^3+1))求めれば良くてx^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)と因数分解できるから部分分数分解してあとは三角関数が使える形になる
845(1): 2021/10/26(火)19:55 ID:s4vxFPOj(1) AAS
>>843
まず絶対値については積分範囲-N〜Nを-N〜0と0〜Nに分けて考えれば絶対値を外せる
-N〜0の積分は0〜Nの積分と一致するので後者の2倍として計算する
aについてはa^(1/3)x=tと変数変換すれば1/(t^3+1)の計算に帰着できる
最後に1/(t^3+1)の積分はt^3+1=(t+1)(t^2-t+1)を利用して部分分数展開をする
1/(t^3+1)=b/(t+1)+(ct+d)/(t^2-t+1)として係数b,c,dを決める
b=1/3,c=-1/3,d=2/3
1項目はすぐlogとして積分可能
2項目はt^2-t+1=(t-1/2)^2+3/4と平方完成して
2y/(y^2+1)の形と1/(y^2+1)の形に分ける
省1
846: 2021/10/26(火)20:30 ID:+DaCz6D4(1/2) AAS
>>842
ヘロンの三角形の一般的表現をいじるのかな
x≠0, y≠0で解が見つかりそうにない
847: 2021/10/26(火)20:43 ID:bibNvrlF(1) AAS
未解決問題
848(1): 2021/10/26(火)21:50 ID:ivACNbqU(1) AAS
問題というわけではないのですが大雑把に球（風船）の体積を求めたいとき簡単に求める式がほしいのですが検索してもたどり着けませんでした。
20％くらいずれても構わないので良さそうなもの教えて下さい。
849: 2021/10/26(火)21:58 ID:x3r7ECv5(1) AAS
有名な公式ありますよ
850: 2021/10/26(火)21:58 ID:ZojzOpif(1/5) AAS
>>848
風呂に沈めて水位の上昇から求める。
851: 2021/10/26(火)22:01 ID:68jBCFiG(1/2) AAS
アルキメデスktkr
852(2): 2021/10/26(火)22:04 ID:ZojzOpif(2/5) AAS
球体の体積
球 = 球を包む円柱(シリンダー) から 短い円錐 (コーン)2つを削り取った分。
半径r の時
V = 円柱 - 2 x (円錐)
V = {πr^2 * 2r } - 2{(πr^2 * r /3)}
= 2πr^3 - 2(πr^3 /3)
= 4/3 * (πr^3)
853: 2021/10/26(火)22:07 ID:Ba1Cgw2v(1/2) AAS
風呂に沈めるぞ
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