[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）8 (942ﾚｽ)
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617(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/29(土)19:17 ID:fi/E4J7v(21/25) AAS
>>615 追加
下記の古賀明彦氏の無限集合ωの説明が分かり易いが
「無限集合は生成できない」は、レーヴェンハイム-スコーレムの定理
”一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない”
”定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない”
を考えると、無限集合が出来ても、一階の理論では証明できないから、無限公理を置くが正しいかも（＾＾
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ivis.co.jp
（2018年10月21日修正版）
「連続体仮説の解説 AGAIN」
古賀明彦 第434回 わかみず会資料
省17
618: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2021/05/29(土)19:18 ID:fi/E4J7v(22/25) AAS
>>617
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
レーヴェンハイム-スコーレムの定理とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一部とする場合もある
レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。例えば、真の算術 (true arithmetic) には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ。さらに悩ましかったのは、集合論の可算なモデルの存在である。それにもかかわらず、集合論は実数が非可算であるという文を満たさなければならない。この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ、可算性 (countability) は絶対的 (absolute) ではないことを示している
(引用終り)
以上
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