IUTを読むための用語集資料スレ2

[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料スレ2 (489ﾚｽ)
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1(7): 2020/12/01(火)18:11 ID:g/5kciS4(1) AAS
テンプレは後で

2(2): 2020/12/01(火)18:12 ID:mY/U6brk(1/7) AAS
20200403の記者会見により、望月Inter-universal Teichmuller theory (abbreviated as IUT) （下記）は、新しい局面に入りました。
査読が終り、IUTが正しいことは、99％確定です。
このスレは、IUTを読むための用語集資料集スレとします。
議論は、
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
2chｽﾚ:math
でお願いします

＜過去スレ＞
IUTを読むための用語集資料集スレ
2chｽﾚ:math
省6

3(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/12/01(火)18:13 ID:mY/U6brk(2/7) AAS
>>2
つづき
（参考）
関連：望月新一（数理研）外部ﾘﾝｸ:www.kurims.kyoto-u.ac.jp

外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
星裕一郎の論文
(抜粋)
宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2019) （Indexあり）外部ﾘﾝｸ:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
続・宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2018) （Indexあり）外部ﾘﾝｸ:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
省12

4(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/12/01(火)18:14 ID:mY/U6brk(3/7) AAS
>>3
なお、
おサル＝サイコパス＊のピエロ、不遇な「一石」、サイコパス、“鳥なき里のコウモリ”そのままで、“シッタカ”ぶり男で、アホ男です。
なお、IUTスレでは、「維新さん」と呼ばれることもあります。（突然“維新〜！”と絶叫したりするからです（＾＾；　）
( 外部ﾘﾝｸ:textream.yahoo.co.jp 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊）（Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（＊＊）注；外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：画像ﾘﾝｸ[png]:upload.wikimedia.org
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org 双曲面
二葉双曲面：画像ﾘﾝｸ[png]:upload.wikimedia.org
おサル、あいつは双曲幾何の修論でも書いたみたいだなｗ（＾＾）
省13

5: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/12/01(火)18:14 ID:mY/U6brk(4/7) AAS
>>4
つづき

守屋悦朗先生のABC予想って？（１）＆(２)が出ました（＾＾

外部ﾘﾝｸ:www.f.waseda.jp
旧「早稲田大学教育・総合科学学術院教育学部数学科　守屋悦朗研究室」
外部ﾘﾝｸ[html]:www.f.waseda.jp
ご近所講座守屋悦朗
〜数楽すうがくJoy of Mathematics と佳算けいさんSmart Computations の散歩道〜

外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.f.waseda.jp
M-project 守屋悦朗
省16

6(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/12/01(火)18:15 ID:mY/U6brk(5/7) AAS
つづき

下記の PDF 数学の超難問「ABC予想」とは？
別冊Newton「数学の世界」増補第3版 168 - 171 2019年11月協力小山信也執筆山田久美
これ分かり易いな
必見ですね（＾＾
外部ﾘﾝｸ:researchmap.jp
researchmap 小山信也コヤマシンヤ (Shin'ya Koyama)
画像ﾘﾝｸ[JPG]:researchmap.jp
外部ﾘﾝｸ[pdf]:researchmap.jp
数学の超難問「ABC予想」とは？別冊Newton「数学の世界」増補第3版 168 - 171 2019年11月協力小山信也執筆山田久美
省17

7(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/12/01(火)18:16 ID:mY/U6brk(6/7) AAS
>>6
つづき

なお

外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
Introduction to Inter-universal Teichm¨uller theory
Fucheng Tan RIMS, Kyoto University 2018
To my limited experiences, the following seem to be an option for people who wish to get to
know IUT without spending too much time on all the details.
・ Regard the anabelian results and the general theory of Frobenioids as blackbox.
・ Proceed to read Sections 1, 2 of [EtTh], which is the basis of IUT.
省13

8: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/12/01(火)18:17 ID:mY/U6brk(7/7) AAS
>>7
つづき

外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
Research Institute for Mathematical Sciences - Kyoto University, Japan
PROMENADE IN INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY - 復元
Online Seminar - Algebraic & Arithmetic Geometry
Laboratoire Paul Painleve - Universite de Lille, France
Version 1 ? ε - 09/10/2020

外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
Promenade in Inter-Universal Teichmuller Theory
省3

9: 2021/02/07(日)23:07 ID:1q1vuYYo(1/9) AAS
外部ﾘﾝｸ:ejje.weblio.jp
modularとは
主な意味
基準寸法の
研究社英和コンピューター用語辞典での「modular」の意味
・modular arithmetic 法の代数《ある数を法として同じ数は同じとみなした整数の計算; ⇒mod》

外部ﾘﾝｸ:www.weblio.jp
ウィキペディア
モジュール
(モジュラーから転送)
省2

10(1): 2021/02/07(日)23:09 ID:1q1vuYYo(2/9) AAS
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
モジュラー曲線
モジュラー曲線（モジュラーきょくせん）とは複素上半平面 H の合同部分群 Γ の作用による商として定義されるリーマン面のことである。合同部分群 Γ とは、整数の 2 × 2 の行列 SL(2, Z) のある部分群のことである。モジュラー曲線はコンパクトとは限らないが、有限個の Γ のカスプと呼ばれる点を加えることでコンパクト化されたモジュラー曲線 X(Γ) を定めることができる。モジュラー曲線の点は、楕円曲線とそれに付随する群 Γ に関係するある構造をもったものの同型類の集合とみなすことができ、モジュラー曲線を代数幾何的に、また有理数体 Q や円分体の上でモジュラー曲線を定義することもできる。このことからモジュラー曲線は整数論で重要な対象である。

目次
1 解析的定義
1.1 コンパクト化されたモジュラー曲線
2 例
3 種数
3.1 種数 0
4 モンスター群との関係
省3

11(1): 2021/02/07(日)23:09 ID:1q1vuYYo(3/9) AAS
>>10
つづき

例
モジュラー曲線 X(5) は種数 0 を持ち、正二十面体の頂点に 12個のカスプを持つリーマン球面である。被覆 X(5) → X(1) はリーマン球面上の20面体群（英語版）(icosahedral group)の作用による商である。この群は位数 60 の単純群で、対称群 A5 および PSL(2, 5) とに同型である。

モジュラー曲線 X(7) は、カスプを 24個持つ種数 3 のクライン四次曲線（英語版）(Klein quartic)である。これは3つのハンドルつきの曲面を 24 個の七角形でタイリングし、各々の面の中心にカスプを持っていると解釈することができる。これらのタイリングは、dessins d'enfants[2] やバイリ函数（英語版）(Belyi function)を通して理解することができる。カスプは、無限遠点 ∞ 上にある（赤い点）、一方、頂点と辺の中心にある（黒と白の点）カスプは、0 と 1 にある。被覆 X(7) → X(1) のガロア群は、PSL(2, 7) に同型な位数 168 の単純群である。

X0(N) には、明確な古典モデルである古典モジュラー曲線（英語版）(classical modular curve)が存在し、これを「モジュラー曲線」という場合もある。
これらの曲線は、レベル構造つき楕円曲線のモジュライ空間として解釈される。このため、モジュラー曲線は数論幾何(arithmetic geometry)で重要な役割を果たす。レベル N のモジュラー曲線 X(N) は、楕円曲線とそのN-等分点の基底の組のモジュライ空間である。X0(N) と X1(N) の付加構造は、それぞれ、位数 N の巡回部分群、位数 N の点である。これらの曲線は、非常に詳しく研究されており、特に、X0(N) は有理数体上で定義することができる。

モジュラ曲線を定義する方程式は、モジュラー方程式（英語版）(modular equation)の最も良く知られた例である。この「最良のモデル」は楕円函数論から直接得られる理論とは非常に異なっている。ヘッケ作用素は、二つのモジュラー曲線の間の対応として幾何学的に研究される。
省2

12: 2021/02/07(日)23:10 ID:1q1vuYYo(4/9) AAS
>>11
つづき

種数
X(5) は種数 0 であり、X(7) は種数 3 であり、X(11) は種数26 であることがわかる。p = 2 あるいは 3 に対しは分岐を考えに入れる、つまり、PSL(2, Z) には位数 p の元が存在し、PSL(2, 2) は位数 3 というよりも位数 6 であることを考慮する必要がある。N を因子として含むレベル N のモジュラー曲線の種数についてのより複雑な公式がある。

種数 0
一般に、モジュラー函数体とは、モジュラー曲線（あるいは既約であるような他のモジュライ空間）の函数体である。種数が 0 であることは、そのような函数体が唯一の超越函数を生成元として持っていることを意味し、たとえば、j-函数は X(1)=PSL(2,Z )＼ H の函数体を生成する。この生成元はメビウス変換で移りあう函数を同一視すると一意となり、適切に正規化することができ、そのような函数を Hauptmodul (あるいは主モジュラー函数(principal modular function)と呼ぶ。

空間 X1(n) は n = 1, ..., 10 と n = 12 に対して、種数 0 である。これらの曲線は、Q 上で定義されているので、そのような曲線上には無限に多くの有理点が存在し、よって、これらの n の値に対し n-捩れを持つ有理数体上定義された楕円曲線が無限に存在する。n がこれらの値のときのみ、逆のステートメントが成り立ち、これがメイザーの捩れ定理である。

モンスター群との関係
詳細は「モンストラス・ムーンシャイン」を参照
種数 0 のモジュラー曲線はモンストラス・ムーンシャイン予想との関係で非常に重要であることが判明した。モジュラー曲線の Hauptmoduln を q-展開した係数の最初のいくつかが、19世紀に既に計算されていたが、最も大きな単純散在モンスター群の表現空間の次元と同じになっていることが、非常に衝撃的である。
省2

13(1): 2021/02/07(日)23:10 ID:1q1vuYYo(5/9) AAS
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Belyi's theorem
In mathematics, Belyi's theorem on algebraic curves states that any non-singular algebraic curve C, defined by algebraic number coefficients, represents a compact Riemann surface which is a ramified covering of the Riemann sphere, ramified at three points only.

This is a result of G. V. Belyi from 1979. At the time it was considered surprising, and it spurred Grothendieck to develop his theory of dessins d'enfant, which describes nonsingular algebraic curves over the algebraic numbers using combinatorial data.

Contents
1 Quotients of the upper half-plane
2 Belyi functions
3 Applications

Quotients of the upper half-plane
It follows that the Riemann surface in question can be taken to be
省3

14: 2021/02/07(日)23:11 ID:1q1vuYYo(6/9) AAS
>>13
つづき

Belyi functions
A Belyi function is a holomorphic map from a compact Riemann surface S to the complex projective line P1(C) ramified only over three points, which after a Mobius transformation may be taken to be {\displaystyle \{0,1,\infty \}}\{0,1,\infty \}. Belyi functions may be described combinatorially by dessins d'enfants.

Belyi functions and dessins d'enfants ? but not Belyi's theorem ? date at least to the work of Felix Klein; he used them in his article (Klein 1879) to study an 11-fold cover of the complex projective line with monodromy group PSL(2,11).[1]

Applications
Belyi's theorem is an existence theorem for Belyi functions, and has subsequently been much used in the inverse Galois problem.

15(1): 2021/02/07(日)23:12 ID:1q1vuYYo(7/9) AAS
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Dessin d'enfant

In mathematics, a dessin d'enfant is a type of graph embedding used to study Riemann surfaces and to provide combinatorial invariants for the action of the absolute Galois group of the rational numbers. The name of these embeddings is French for a "child's drawing"; its plural is either dessins d'enfant, "child's drawings", or dessins d'enfants, "children's drawings".
A dessin d'enfant is a graph, with its vertices colored alternately black and white, embedded in an oriented surface that, in many cases, is simply a plane. For the coloring to exist, the graph must be bipartite. The faces of the embedding must be topological disks. The surface and the embedding may be described combinatorially using a rotation system, a cyclic order of the edges surrounding each vertex of the graph that describes the order in which the edges would be crossed by a path that travels clockwise on the surface in a small loop around the vertex.

Any dessin can provide the surface it is embedded in with a structure as a Riemann surface. It is natural to ask which Riemann surfaces arise in this way. The answer is provided by Belyi's theorem, which states that the Riemann surfaces that can be described by dessins are precisely those that can be defined as algebraic curves over the field of algebraic numbers. The absolute Galois group transforms these particular curves into each other, and thereby also transforms the underlying dessins.

For a more detailed treatment of this subject, see Schneps (1994) or Lando & Zvonkin (2004).

Contents
1 History
1.1 19th century
1.2 20th century
省3

16(1): 2021/02/07(日)23:13 ID:1q1vuYYo(8/9) AAS
>>15
つづき

History
19th century
Early proto-forms of dessins d'enfants appeared as early as 1856 in the icosian calculus of William Rowan Hamilton;[1] in modern terms, these are Hamiltonian paths on the icosahedral graph.

Recognizable modern dessins d'enfants and Belyi functions were used by Felix Klein (1879). Klein called these diagrams Linienzuge (German, plural of Linienzug "line-track", also used as a term for polygon); he used a white circle for the preimage of 0 and a '+' for the preimage of 1, rather than a black circle for 0 and white circle for 1 as in modern notation.[2] He used these diagrams to construct an 11-fold cover of the Riemann sphere by itself, with monodromy group PSL(2,11), following earlier constructions of a 7-fold cover with monodromy PSL(2,7) connected to the Klein quartic in (Klein 1878?1879a, 1878?1879b). These were all related to his investigations of the geometry of the quintic equation and the group A5 ? PSL(2,5), collected in his famous 1884/88 Lectures on the Icosahedron. The three surfaces constructed in this way from these three groups were much later shown to be closely related through the phenomenon of trinity.

20th century
Dessins d'enfant in their modern form were then rediscovered over a century later and named by Alexander Grothendieck in 1984 in his Esquisse d'un Programme.[3] Zapponi (2003) quotes Grothendieck regarding his discovery of the Galois action on dessins d'enfants:

This discovery, which is technically so simple, made a very strong impression on me, and it represents a decisive turning point in the course of my reflections, a shift in particular of my centre of interest in mathematics, which suddenly found itself strongly focused. I do not believe that a mathematical fact has ever struck me quite so strongly as this one, nor had a comparable psychological impact. This is surely because of the very familiar, non-technical nature of the objects considered, of which any child’s drawing scrawled on a bit of paper (at least if the drawing is made without lifting the pencil) gives a perfectly explicit example. To such a dessin we find associated subtle arithmetic invariants, which are completely turned topsy-turvy as soon as we add one more stroke.
省2

17: 2021/02/07(日)23:13 ID:1q1vuYYo(9/9) AAS
>>16
つづき

画像ﾘﾝｸ[png]:upload.wikimedia.org
The triangulation of the sphere with (2,3,5) triangle group, generated by using the regular dodecahedron to construct a clean dessin

画像ﾘﾝｸ[png]:upload.wikimedia.org
The triangulation of the hyperbolic plane with (2,3,7) triangle group generated as the universal cover of the Klein quartic

18: 2021/02/08(月)23:48 ID:PIZF5OS0(1) AAS
（参考）
外部ﾘﾝｸ[html]:www.utp.or.jp
楕円関数論　増補新装版
楕円曲線の解析学
梅村　浩著
ISBN978-4-13-061314-9発売日:2020年05月21日判型:A5ページ数：392頁
東京大学出版会

梅村楕円関数論の第5章楕円曲線のモジュライ
より、写経する
P250
省21

19: 2021/02/13(土)13:20 ID:wXktx3pj(1) AAS
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Belyi's theorem
Contents
1 Quotients of the upper half-plane
2 Belyi functions
3 Applications
Applications
Belyi's theorem is an existence theorem for Belyi functions, and has subsequently been much used in the inverse Galois problem.

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Dessin d'enfant
省17

20: 2021/02/13(土)13:41 ID:4TALI0LV(1) AAS
コピペは続くよどこまでも

21(1): 2021/02/13(土)14:11 ID:4eb0VVkt(1/4) AAS
どうせなら、翻訳しよう

ベリイの定理

数学では、代数曲線に関するBelyiの定理は、
代数的数係数上で定義された任意の非特異代数曲線Cは、
3点のみで分岐したリーマン球面の分岐被覆である
コンパクトなリーマン面を表すと述べている。

22: 2021/02/13(土)14:12 ID:4eb0VVkt(2/4) AAS
>>21
これは1979年のG. V. Belyiの結果である。
当時は驚くべきことだと思われていたが、
それがGrothendieckを駆り立て、
組み合わせデータを用いて代数上の非特異代数曲線を記述する
dessins d'enfantの理論を発展させた。

23: 2021/02/13(土)14:24 ID:4eb0VVkt(3/4) AAS
上半平面の商

問題のリーマン曲面はH/Γ
Hを上半平面、Γをカスプで圧縮されたモジュラー群の有限指数の部分群とする。
モジュラー群には非一致部分群があるので、
そのような曲線があればモジュラー曲線である
という結論にはならない。

24(2): 2021/02/13(土)14:24 ID:4eb0VVkt(4/4) AAS
Belyi関数

Belyi関数は，コンパクトなリーマン曲面Sから
3点上にある複素射影線P1(C)への正則写像であり，
(3点は)メビウス変換後に{0,1,∞}とできる
Belyi関数は，dessins d'enfantsによって組み合わせ的に記述できる

25(1): 2021/02/19(金)08:22 ID:G/gMneGZ(1/4) AAS
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
射有限群
射有限群（しゃゆうげんぐん、英語: pro-finite group）あるいは副有限群（ふくゆうげんぐん）は、有限群の射影系の極限になっているような位相群である。ガロア群やp-進整数を係数とする代数群など、数論的に興味深い様々な群が射有限群の構造を持つ。

射有限群は完全不連結でコンパクトなハウスドルフ位相群として定義される。同値な定義として、離散有限群の成す射影系（逆系）の射影極限（逆極限）として得られる位相群に同型であるような群を射有限群と定めるいうこともできる。

目次
1 例
2 性質および事実
3 射有限完備化
4 入射有限群
5 関連項目
省4

26: 2021/02/19(金)08:23 ID:G/gMneGZ(2/4) AAS
Pro-p 群

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Pro-p group

In mathematics, a pro-p group (for some prime number p) is a profinite group {\displaystyle G}G such that for any open normal subgroup {\displaystyle N\triangleleft G}N\triangleleft G the quotient group {\displaystyle G/N}G/N is a p-group. Note that, as profinite groups are compact, the open subgroups are exactly the closed subgroups of finite index, so that the discrete quotient group is always finite.

Alternatively, one can define a pro-p group to be the inverse limit of an inverse system of discrete finite p-groups.

The best-understood (and historically most important) class of pro-p groups is the p-adic analytic groups: groups with the structure of an analytic manifold over {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}\mathbb {Q} _{p} such that group multiplication and inversion are both analytic functions. The work of Lubotzky and Mann, combined with Michel Lazard's solution to Hilbert's fifth problem over the p-adic numbers, shows that a pro-p group is p-adic analytic if and only if it has finite rank, i.e. there exists a positive integer {\displaystyle r}r such that any closed subgroup has a topological generating set with no more than {\displaystyle r}r elements. More generally it was shown that a finitely generated profinite group is a compact p-adic Lie group if and only if it has an open subgroup that is a uniformly powerful pro-p-group.
省1

27: 2021/02/19(金)08:23 ID:G/gMneGZ(3/4) AAS
>>24
ありがとう
ご苦労様

28(1): 2021/02/19(金)09:26 ID:46Fge3L7(1) AAS
>>25
そもそも射影系が分かってないんじゃ意味ないぞ

射影極限
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org

Ai を長さiの有限数列全体からなる集合、
fij (i≤j) を数列をi項に切り詰める写像とすると、
その射影極限は、数列全体の集合となる。

29: 2021/02/19(金)21:09 ID:G/gMneGZ(4/4) AAS
>>28
ありがとう
ご苦労様

30: 2021/02/22(月)06:56 ID:mv3QHkFS(1) AAS
望月出張講演の下記数論的Teichmuller理論入門　（京都大学理学部数学教室 2008年5月）が、素朴な形でIUTの構想が語れていて、必読ですね
談話会のURLだけコピペしていますが、月〜金の資料も結構参考になります
IUTの最終版では、変わっている部分もあると思いますが、全体構想を知る上で、大変参考になります

外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
望月出張講演

[11] 数論的Teichmuller理論入門　（京都大学理学部数学教室 2008年5月）.　　月　火　水　木　金　概要　
　　　レポート問題　談話会　アブストラクト

外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
談話会数論的Teichmuller理論入門　（京都大学理学部数学教室 2008年5月）

31: 2021/02/23(火)23:08 ID:RLePkY5e(1/2) AAS
スキーム、前スキーム、マンフォードの「Red Book」
”概型/スキームという用語で前スキームのうちで特に点の分離性を満たすものをさしているものもある。”

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
概型あるいはスキーム (英: scheme) とは、可換環に対して双対的に構成される局所環付き空間である。二十世紀半ばにアレクサンドル・グロタンディークによって導入され、以降の代数幾何学において任意標数の代数多様体を包摂し、係数の拡大や図形の「連続的」な変形を統一的に取り扱えるような図形の概念として取り扱われている。さらに、今まで純代数的な対象として研究されてきた環についてもそのアフィンスキームを考えることである種の幾何的対象として、多様体との類推にもとづく研究手法を持ち込むことが可能になる。このため特に数論の分野ではスキームが強力な枠組みとして定着している。

スキームを通じて圏論的に定義される様々な概念は、大きな威力を発揮するが、その一方で、古典的な代数幾何においては点とみなされなかった既約部分多様体のようなものまでがスペクトルの「点」になってしまう。

スキーム
アフィンスキームの張り合わせとしてえられるような局所環付き空間は前スキームまたは概型（スキーム）とよばれる。グロタンディークのEGAやマンフォードの「Red Book」など初期の文献には概型/スキームという用語で前スキームのうちで特に点の分離性を満たすものをさしているものもある。

32: 2021/02/23(火)23:29 ID:RLePkY5e(2/2) AAS
局所は、局所化：環に乗法逆元を機械的に添加する
局所環：In practice, a commutative local ring often arises as the result of the localization of a ring at a prime ideal. The English term local ring is due to Zariski.[2]

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
環の局所化（きょくしょか、英: localization）あるいは分数環 (ring of fraction)、商環 (ring of quotient)[注 1] は、環に乗法逆元を機械的に添加する方法である。すなわち、環 R とその部分集合 S が与えられたとき、環 R' と R から R' への環準同型を構成して、S の準同型像が R' における単元（可逆元）のみからなるようにする。さらに、R' が「可能な限りで最良な」あるいは「最も一般な」ものとなるようにするということを考える（こういった状況はふつうは普遍性によって表されるべきものである）。環 R の部分集合 S による局所化は S−1R で表され、あるいは S が素イデアル {p} の補集合であるときには R_ {p}} で表される。S−1R のことを RS と表すこともあるが、通常混乱の恐れはない。

局所化は完備化と重要な関係があり、環を局所化すると完備になるということがよくある。

用語について
「局所化」の名の起源は代数幾何学にある。R はある幾何学的対象（代数多様体）の上で定義された函数環とする。この多様体を点 p の近傍で「局所的に」調べようとするならば、p の近傍で 0 でないような函数全体の成す集合 S を考えることになる。その意味で、R を S に関して局所化して得られる環 S−1R は p の近傍における V の挙動についての情報のみをふくんでいる（局所環も参照）。

例
整数環を Z, 有理数体を Q と表す。
省8

33(1): 2021/02/26(金)10:41 ID:/iWCqc/x(1/2) AAS
田口雄一郎先生、結構面白い

外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.titech.ac.jp
Fermat の最終定理を巡る数論
田口雄一郎
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.titech.ac.jp
Fermat の最終定理を巡る数論
( 『日本の科学者』 vol.40, no.3 )
外部ﾘﾝｸ:www.math.titech.ac.jp
Yuichiro TAGUCHI
外部ﾘﾝｸ[htm]:www.jsa.gr.jp
省3

34(1): 2021/02/26(金)11:00 ID:/iWCqc/x(2/2) AAS
>>33
田口雄一郎先生、
これ以前にも別のスレで取り上げたけど
IUT以前の話と思う（細かい時期は不明）

外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.titech.ac.jp
abc予想の話
( 昔、北大理学部ＨＰの「サイエンストピックス」に掲載されたもの )
田口雄一郎
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.titech.ac.jp
Yuichiro TAGUCHI

35(1): 2021/02/27(土)23:24 ID:f+hU2HEr(1/4) AAS
>>34
メモ
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Klein quartic
In hyperbolic geometry, the Klein quartic, named after Felix Klein, is a compact Riemann surface of genus 3 with the highest possible order automorphism group for this genus, namely order 168 orientation-preserving automorphisms, and 336 automorphisms if orientation may be reversed. As such, the Klein quartic is the Hurwitz surface of lowest possible genus; see Hurwitz's automorphisms theorem. Its (orientation-preserving) automorphism group is isomorphic to PSL(2, 7), the second-smallest non-abelian simple group. The quartic was first described in (Klein 1878b).

Closed and open forms
It is important to distinguish two different forms of the quartic. The closed quartic is what is generally meant in geometry; topologically it has genus 3 and is a compact space. The open or "punctured" quartic is of interest in number theory; topologically it is a genus 3 surface with 24 punctures, and geometrically these punctures are cusps. The open quartic may be obtained (topologically) from the closed quartic by puncturing at the 24 centers of the tiling by regular heptagons, as discussed below. The open and closed quartics have different metrics, though they are both hyperbolic and complete[1] – geometrically, the cusps are "points at infinity", not holes, hence the open quartic is still complete.

Affine quartic
The above is a tiling of the projective quartic (a closed manifold); the affine quartic has 24 cusps (topologically, punctures), which correspond to the 24 vertices of the regular triangular tiling, or equivalently the centers of the 24 heptagons in the heptagonal tiling, and can be realized as follows.

続く

36(1): 2021/02/27(土)23:25 ID:f+hU2HEr(2/4) AAS
>>35
続き

Considering the action of SL(2, R) on the upper half-plane model H2 of the hyperbolic plane by Möbius transformations, the affine Klein quartic can be realized as the quotient Γ(7)\H2. (Here Γ(7) is the congruence subgroup of SL(2, Z) consisting of matrices that are congruent to the identity matrix when all entries are taken modulo 7.)

Fundamental domain and pants decomposition

3-dimensional models
画像ﾘﾝｸ[gif]:upload.wikimedia.org
An animation by Greg Egan showing an embedding of Klein’s Quartic Curve in three dimensions, starting in a form that has the symmetries of a tetrahedron, and turning inside out to demonstrate a further symmetry.

Dessin d'enfants
The dessin d'enfant on the Klein quartic associated with the quotient map by its automorphism group (with quotient the Riemann sphere) is precisely the 1-skeleton of the order-3 heptagonal tiling.[10] That is, the quotient map is ramified over the points 0, 1728, and ∞; dividing by 1728 yields a Belyi function (ramified at 0, 1, and ∞), where the 56 vertices (black points in dessin) lie over 0, the midpoints of the 84 edges (white points in dessin) lie over 1, and the centers of the 24 heptagons lie over infinity. The resulting dessin is a "platonic" dessin, meaning edge-transitive and "clean" (each white point has valence 2).
省1

37(1): 2021/02/27(土)23:26 ID:f+hU2HEr(3/4) AAS
>>36
続き

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Klein quadric
In mathematics, the lines of a 3-dimensional projective space, S, can be viewed as points of a 5-dimensional projective space, T. In that 5-space, the points that represent each line in S lie on a quadric, Q known as the Klein quadric.

If the underlying vector space of S is the 4-dimensional vector space V, then T has as the underlying vector space the 6-dimensional exterior square Λ2V of V. The line coordinates obtained this way are known as Plücker coordinates.
以上

38: 2021/02/27(土)23:36 ID:f+hU2HEr(4/4) AAS
>>37

”Punctured spheres”
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Riemann surface

Contents

5 Classification of Riemann surfaces
5.1 Elliptic Riemann surfaces
5.2 Parabolic Riemann surfaces
5.3 Hyperbolic Riemann surfaces
6 Maps between Riemann surfaces
省8

39(1): 2021/02/28(日)08:21 ID:c9K39yvS(1/6) AAS
>>24
ありがとう
（追加）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Dessin d'enfant
Contents
1 History
1.1 19th century
1.2 20th century
2 Riemann surfaces and Belyi pairs
省7

40(1): 2021/02/28(日)08:22 ID:c9K39yvS(2/6) AAS
>>39
続き

The same construction applies more generally when X is any Riemann surface and f is a Belyi function; that is, a holomorphic function f from X to the Riemann sphere having only 0, 1, and ∞ as critical values. A pair (X, f) of this type is known as a Belyi pair. From any Belyi pair (X, f) one can form a dessin d'enfant, drawn on the surface X, that has its black points at the preimages f-1(0) of 0, its white points at the preimages f-1(1) of 1, and its edges placed along the preimages f-1([0, 1]) of the line segment [0, 1]. Conversely, any dessin d'enfant on any surface X can be used to define gluing instructions for a collection of halfspaces that together form a Riemann surface homeomorphic to X; mapping each halfspace by the identity to the Riemann sphere produces a Belyi function f on X, and therefore leads to a Belyi pair (X, f). Any two Belyi pairs (X, f) that lead to combinatorially equivalent dessins d'enfants are biholomorphic, and Belyi's theorem implies that, for any compact Riemann surface X defined over the algebraic numbers, there are a Belyi function f and a dessin d'enfant that provides a combinatorial description of both X and f.

Maps and hypermaps
A vertex in a dessin has a graph-theoretic degree, the number of incident edges, that equals its degree as a critical point of the Belyi function.

画像ﾘﾝｸ[png]:upload.wikimedia.org

画像ﾘﾝｸ[png]:upload.wikimedia.org
省3

41(1): 2021/02/28(日)08:23 ID:c9K39yvS(3/6) AAS
>>40
続き

The absolute Galois group and its invariants
The two choices of a lead to two Belyi functions f1 and f2. These functions, though closely related to each other, are not equivalent, as they are described by the two nonisomorphic trees shown in the figure.

However, as these polynomials are defined over the algebraic number field Q(√21), they may be transformed by the action of the absolute Galois group Γ of the rational numbers. An element of Γ that transforms √21 to -√21 will transform f1 into f2 and vice versa, and thus can also be said to transform each of the two trees shown in the figure into the other tree.

More generally, due to the fact that the critical values of any Belyi function are the pure rationals 0, 1, and ∞, these critical values are unchanged by the Galois action, so this action takes Belyi pairs to other Belyi pairs. One may define an action of Γ on any dessin d'enfant by the corresponding action on Belyi pairs; this action, for instance, permutes the two trees shown in the figure.

Due to Belyi's theorem, the action of Γ on dessins is faithful (that is, every two elements of Γ define different permutations on the set of dessins),[10] so the study of dessins d'enfants can tell us much about Γ itself.
省3

42(1): 2021/02/28(日)16:01 ID:c9K39yvS(4/6) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Algebraic stack

In mathematics, an algebraic stack is a vast generalization of algebraic spaces, or schemes, which are foundational for studying moduli theory. Many moduli spaces are constructed using techniques specific to algebraic stacks, such as Artin's representability theorem, which is used to construct the moduli space of pointed algebraic curves {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}{\mathcal {M}}_{{g,n}} and the moduli stack of elliptic curves. Originally, they were introduced by Grothendieck[1] to keep track of automorphisms on moduli spaces, a technique which allows for treating these moduli spaces as if their underlying schemes or algebraic spaces are smooth. But, through many generalizations the notion of algebraic stacks was finally discovered by Michael Artin.[2]

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
代数的スタック

代数スタックとは、モジュライ理論の研究の基礎となる代数空間またはスキームの一般化である。多くのモジュライ空間は、アルチンの表現可能定理など、代数スタック固有の手法を駆使して構築される。これは、尖った代数曲線のモジュライ空間の構築に使用される。 {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}{\mathcal {M}}_{{g,n}}は楕円曲線のモジュラススタックで、それらはモジュライ空間の自己同型を追跡するためにグロタン [1]により導入された。これは、モジュライ空間を基礎とするスキームや代数空間が滑らかであるかのように扱うことを可能とする。多くの一般化を通じ、代数スタックの概念がついにアルチンにより発見された。 [2]

定義
代数スタックの動機付けの例の1つは、亜郡スキームをである。 {\displaystyle (R,U,s,t,m)}{\displaystyle (R,U,s,t,m)}固定スキーム上{\displaystyle S}S 。たとえば、 {\displaystyle R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}}{\displaystyle R=\mu _{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{n}} （{\displaystyle \mu _{n}}\mu _{n}は、1を根とする群スキーム）、 {\displaystyle U=\mathbb {A} _{S}^{n}}{\displaystyle U=\mathbb {A} _{S}^{n}} 、 {\displaystyle s={\text{pr}}_{U}}{\displaystyle s={\text{pr}}_{U}}射影、 {\displaystyle t}tは群作用である。

43(1): 2021/02/28(日)16:42 ID:c9K39yvS(5/6) AAS
>>42

下記分かりやすい
ご推奨です

外部ﾘﾝｸ:shitijyou-a.github.io
七条彰紀のノート 2020 shitijyou-a
(PDFダウンロード可)
外部ﾘﾝｸ:shitijyou-a.github.io
Artin スタック入門
七条彰紀
2020 年 2 月 16 日
省5

44: 2021/02/28(日)16:45 ID:c9K39yvS(6/6) AAS
>>43
追加ご参考

外部ﾘﾝｸ:shitijyou-a.github.io
七条彰紀のノート 2020 shitijyou-a
外部ﾘﾝｸ:shitijyou-a.github.io
代数幾何学つい
代数幾何学とは，代数学と幾何学を行き来する数学の一分野です．

代数学と幾何学の結びつき
多項式で定まる図形はアフィン代数多様体 (affine algebraic variety) と呼ばれます．

スキームへ，更なる一般化へ
省11

45: 2021/03/04(木)07:46 ID:KBoU0Myd(1) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ[htm]:www.math.chuo-u.ac.jp
森田茂之氏による特別講演（ENCOUNTERwithMATHEMATICS番外編）中央大学
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.chuo-u.ac.jp
特性類と不変量
森田茂之
ver. 2013 年 3 月

目次
7 モジュライ空間 142
8 モジュライ空間のサイクル，コサイクルの作り方 158
省18

46(1): 2021/03/21(日)06:55 ID:00ruIs7L(1/2) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Perverse sheaf
The mathematical term perverse sheaves refers to a certain abelian category associated to a topological space X, which may be a real or complex manifold, or a more general topologically stratified space, usually singular. This concept was introduced in the thesis of Zoghman Mebkhout, gaining more popularity after the (independent) work of Joseph Bernstein, Alexander Beilinson, and Pierre Deligne (1982) as a formalisation of the Riemann-Hilbert correspondence, which related the topology of singular spaces (intersection homology of Mark Goresky and Robert MacPherson) and the algebraic theory of differential equations (microlocal calculus and holonomic D-modules of Joseph Bernstein, Masaki Kashiwara and Takahiro Kawai). It was clear from the outset that perverse sheaves are fundamental mathematical objects at the crossroads of algebraic geometry, topology, analysis and differential equations. They also play an important role in number theory, algebra, and representation theory. The properties characterizing perverse sheaves already appeared in the 75's paper of Kashiwara on the constructibility of solutions of holonomic D-modules.

Contents
1 Preliminary remarks
2 Definition and examples
3 Properties
4 Applications
5 String Theory
省1

47: 2021/03/21(日)06:56 ID:00ruIs7L(2/2) AAS
>>46
つづき

String Theory
Massless fields in superstring compactifications have been identified with cohomology classes on the target space (i.e. four-dimensional Minkowski space with a six-dimensional Calabi-Yau (CY) manifold). The determination of the matter and interaction content requires a detailed analysis of the (co)homology of these spaces: nearly all massless fields in the effective physics model are represented by certain (co)homology elements. However, a troubling consequence occurs when the target space is singular. A singular target space means that only the CY manifold is singular as Minkowski space is smooth. Such a singular CY manifold is called a conifold as it is a CY manifold that admits conical singularities. Andrew Strominger observed (A. Strominger, 1995) that conifolds correspond to massless blackholes.

These singular target spaces, i.e. conifolds, correspond to certain mild degenerations of algebraic varieties which appear in a large class of supersymmetric theories, including superstring theory (E. Witten, 1982).

In the winter of 2002, T. Hubsch and A. Rahman met with R.M. Goresky to discuss this obstruction and in discussions between R.M. Goresky and R. MacPherson, R. MacPherson made the observation that there was such a perverse sheaf that could have the cohomology that satisfied Hubsch's conjecture and resolved the obstruction. R.M. Goresky and T. Hubsch advised A. Rahman's Ph.D. dissertation on the construction of a self-dual perverse sheaf (A. Rahman, 2009) using the zig-zag construction of MacPherson-Vilonen (R. MacPherson & K. Vilonen, 1986). This perverse sheaf proved the Hübsch conjecture for isolated conic singularities, satisfied Poincarè duality, and aligned with some of the properties of the Kähler package.

Satisfaction of all of the Kähler package by this Perverse sheaf for higher codimension strata is still an open problem.
省4

48(1): 2021/03/22(月)12:13 ID:lCUI4uMx(1) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.titech.ac.jp
田口雄一郎
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.titech.ac.jp
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.titech.ac.jp
類体論1
田口雄一郎

1「整数論札幌夏の学校」に於ける講義 (2006 年 8 月 28 日) のノート。
2これらは 1 次元の体で、それを高次元の体 (或いは scheme) に一般化したものが
「高次元類体論」である。古典的な類体論について、予備知識を仮定せず、約 180分で概説した。
省15

49(1): 2021/03/26(金)07:23 ID:tYykNeNT(1/2) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ:ncatlab.org
Grothendieck fibration Last revised on January 13, 2021
Contents
1. Idea
2. Definition
3. Fibrations versus pseudofunctors
4. Fibrations versus presheaves of categories

外部ﾘﾝｸ:ncatlab.org
Joyal's CatLab
省9

50: 2021/03/26(金)07:30 ID:tYykNeNT(2/2) AAS
>>49
>Fibred categories (or fibered categories) are abstract entities in mathematics used to provide a general framework for descent theory.

追加
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Descent (mathematics)
In mathematics, the idea of descent extends the intuitive idea of 'gluing' in topology. Since the topologists' glue is the use of equivalence relations on topological spaces, the theory starts with some ideas on identification.

Contents
1 Descent of vector bundles
2 History
3 Fully faithful descent
省5

51(1): 2021/03/29(月)23:34 ID:jhylP48U(1/3) AAS
「ライプニッツは間違っていたのか?」
「ラインハートは間違っていたのか?」

”数学の歴史を見渡してみると，paradigm shift とかquantum leap などという言
葉でしかよべないような大きな変革の前後では，何が正しいのかが一見して判断できないよ
うな状況が生れていて，一部の例外的な数学力を持った人達だけが，その状況での研究の最
先端で，後で整理してみると正しいことが厳密に説明できるようになる種類の結論を導いて
ゆく，というパターンが見られることがあります．”

（参考）
外部ﾘﾝｸ:researchmap.jp
渕野昌
省16

52(1): 2021/03/29(月)23:35 ID:jhylP48U(2/3) AAS
>>51
つづき

近代になってからの数学の歴史でも，何が本当に正しいのかが判然としないような枠組
で，何世紀にもわたって，数学理論の研究が進展してゆくという流れが一度ならず起ってい
ます．
17 世紀，18 世紀における解析学(「微分積分学」というような題で大学で講義される科
目の内容を含む数学分野) は，そのような状況の典型的なものの一つ，と言うことができるで
しょう．

例えば，ライプニッツの(1670 年代くらいの頃の) \微分係数" の理解は，変量x を無限
小量1) dx だけ変化させたときの，x の関数(ライプニッツの理解ではx の式として書ける
省17

53: 2021/03/29(月)23:35 ID:jhylP48U(3/3) AAS
>>52
つづき

というのは，1960 年代の初めに，アブラハム・ロビンソン(Abraham Robinson, 1918{
1974) が，20 世紀の前半に得られた数理論理学での研究成果を用いると，ライプニッツの無
限小の，厳密な数学的定式化が可能になることを示しているからです．ロビンソンは，彼の
手法をNon-standard Analysis とよびましたが，これは，齋藤正彦先生によって「超準解析」
と日本語訳されています[齋藤1976]．

超準解析を用いると，この全微分可能性が一変数の関数の微分可能性の自然な拡張になっているこ
とが，容易に理解できます．

5. ラインハートは間違っていたのか?
省25

54(1): 2021/04/08(木)16:43 ID:PIfweOM8(1/2) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ:www.is.nagoya-u.ac.jp
久木田水生のページ名古屋大
外部ﾘﾝｸ[html]:www.is.nagoya-u.ac.jp
その他
過去の講義ノート
研究会やゼミなどのために作成した資料
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.is.nagoya-u.ac.jp
米田埋め込みと米田の補題
久木田水生
省6

55: 2021/04/08(木)17:15 ID:PIfweOM8(2/2) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ:alg-d.com
トップ > 数学 > 圏論
圏論
このページについて
※特に断らない限り、圏はlocally smallであると仮定しています。

外部ﾘﾝｸ[html]:alg-d.com
トップ > 数学 > 圏論 > レビューを書くページ
2020年07月25日更新
レビューを書くページ
省7

56: 2021/04/10(土)09:03 ID:BBK6b/st(1/9) AAS
Galois connectionを、「ガロア接続」と訳しているけど、ガロア関係くらいの方が分かりやすくね？
なんか、ソフトウェア分野では、「随伴（ガロア接続）」なんて使われているのかｗ（＾＾；

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Galois connection

Antitone Galois connections
Galois theory
The motivating example comes from Galois theory: suppose L/K is a field extension. Let A be the set of all subfields of L that contain K, ordered by inclusion ⊆. If E is such a subfield, write Gal(L/E) for the group of field automorphisms of L that hold E fixed. Let B be the set of subgroups of Gal(L/K), ordered by inclusion ⊆. For such a subgroup G, define Fix(G) to be the field consisting of all elements of L that are held fixed by all elements of G. Then the maps E → Gal(L/E) and G → Fix(G) form an antitone Galois connection.

7 Connection to category theory
8 Applications in the theory of programming

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省10

57: 2021/04/10(土)09:07 ID:BBK6b/st(2/9) AAS
「A 'killer application' is etale cohomology.」だって

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
History of topos theory

Contents
1 In the school of Grothendieck
2 From pure category theory to categorical logic
3 Position of topos theory
4 Summary

In the school of Grothendieck
During the latter part of the 1950s, the foundations of algebraic geometry were being rewritten; and it is here that the origins of the topos concept are to be found. At that time the Weil conjectures were an outstanding motivation to research. As we now know, the route towards their proof, and other advances, lay in the construction of etale cohomology.
省5

58: 2021/04/10(土)09:11 ID:BBK6b/st(3/9) AAS
Category Theory Brief Historical Sketch

外部ﾘﾝｸ:plato.stanford.edu
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Category Theory
First published Fri Dec 6, 1996; substantive revision Thu Aug 29, 2019

1. General Definitions, Examples and Applications
1.1 Definitions
1.2 Examples
1.3 Fundamental Concepts of the Theory
2. Brief Historical Sketch
省8

59(1): 2021/04/10(土)11:36 ID:BBK6b/st(4/9) AAS
メモ下記誘（いざな）い　《拡大版》なかなか良いね
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
望月出張講演
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
望月出張講演
[13] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い　《拡大版》（東京大学 2013年06月） PDF

P12
実は、先ほどの IUTeich の議論は上半平面上の古典的なテータ関数
θ(t) = Σe^(-πn^2t)
に対するヤコビの変換式
省24

60: 2021/04/10(土)11:58 ID:BBK6b/st(5/9) AAS
>>59
P14（追加引用）
絶対遠アーベル幾何を用いたアルゴリズムによる記述く←→極座標
円分物 (＝〜Z(1)) の確保=剛性が肝心! ← → S^1 による座標変換
・「log-shell」=「入れ物」log(-)への作用
log(Oxk) ← {q^j^2} j=1, ...,l
を実現するためには、Log-link の活用が必要不可欠である。
... 一方、対数・テータ格子の非可換性によって様々な困難が生じる。
→ 後の「体積計算」では、(等式ではなく!) 不等式しか出ない!
主定理のアルゴリズムの出力に対して、体積計算を行うと、
省15

61(1): 2021/04/10(土)12:30 ID:Z9sY9TKp(1) AAS
当時のフェルマーが大定理の証明をできてたなんて誰も思ってないけど
大定理を巡って数論が大きく発展したのは事実で、フェルマーはやはり偉大な数学者である
望月先生もその辺りに落ち着くんだろうな

62: 2021/04/10(土)12:40 ID:BBK6b/st(6/9) AAS
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
PROMENADE IN INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY - 復元 Version 1 - ε - 03/09/2021
>LCF, coricity & Mono-theta Environments

(多分下記)LCF：by Joshua Lederberg, and extended by H. S. M. Coxeter and Robert Frucht

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
LCF notation

In combinatorial mathematics, LCF notation or LCF code is a notation devised by Joshua Lederberg, and extended by H. S. M. Coxeter and Robert Frucht, for the representation of cubic graphs that contain a Hamiltonian cycle.[2][3] The cycle itself includes two out of the three adjacencies for each vertex, and the LCF notation specifies how far along the cycle each vertex's third neighbor is. A single graph may have multiple different representations in LCF notation.

Contents
1 Description
省7

63(1): 2021/04/10(土)16:09 ID:lX4LmaU2(1) AAS
フェルマーは予想者、もっちーは証明者
証明が正しくなければ何も残らない

64: 2021/04/10(土)20:12 ID:BBK6b/st(7/9) AAS
>>61
＞望月先生もその辺りに落ち着くんだろうな

そうですね
そこらは、今年の4回の国際会議を経て
見えてくると思います

65: 2021/04/10(土)23:08 ID:BBK6b/st(8/9) AAS
メモ（これ面白い）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Timeline of category theory and related mathematics

Contents
1 Timeline to 1945: before the definitions
2 1945?1970
3 1971?1980
4 1981?1990
5 1991?2000
6 2001?present
省1

66: 2021/04/10(土)23:22 ID:BBK6b/st(9/9) AAS
メモ
Categorical logic - higher-order logics
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Categorical logic

Internal languages
This can be seen as a formalization and generalization of proof by diagram chasing. One defines a suitable internal language naming relevant constituents of a category, and then applies categorical semantics to turn assertions in a logic over the internal language into corresponding categorical statements. This has been most successful in the theory of toposes, where the internal language of a topos together with the semantics of intuitionistic higher-order logic in a topos enables one to reason about the objects and morphisms of a topos "as if they were sets and functions".

Further reading
Lambek, J. and Scott, P. J., 1986. Introduction to Higher Order Categorical Logic. Fairly accessible introduction, but somewhat dated. The categorical approach to higher-order logics over polymorphic and dependent types was developed largely after this book was published.
Jacobs, Bart (1999). Categorical Logic and Type Theory. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 141. North Holland, Elsevier. ISBN 0-444-50170-3. A comprehensive monograph written by a computer scientist; it covers both first-order and higher-order logics, and also polymorphic and dependent types. The focus is on fibred category as universal tool in categorical logic, which is necessary in dealing with polymorphic and dependent types.

67: 2021/04/11(日)00:00 ID:DhE75b2I(1/5) AAS
メモ
”He and others went on to show that higher order logic was beautifully captured in the setting of category theory (more specifically toposes).”
外部ﾘﾝｸ:math.mit.edu
David Spivak
Research Scientist
Department of Mathematics
MIT
外部ﾘﾝｸ:ocw.mit.edu
Category Theory for Scientists MIT OpenCourseWare, Massachusetts Institute of Technology
外部ﾘﾝｸ:ocw.mit.edu
省16

68: 2021/04/11(日)12:37 ID:DhE75b2I(2/5) AAS
メモ（これ、結構いいかも）

Twitterﾘﾝｸ:math_jin
math_jinさんがリツイート
京大軽音オリエンテーション
@kulmcorient
3月14日
#数理解析研究所
↓
■ 数学入門講座 2012
数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」
省10

69(1): 2021/04/11(日)14:33 ID:ZxBfa76s(1) AAS
これ面白い（理解してるとは言ってない）
これ、結構いいかも（理解してるとは言ってない）

70: 2021/04/11(日)16:43 ID:DhE75b2I(3/5) AAS
メモ

外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
星裕一郎
講演

宇宙際 Teichmuller 理論入門 I〜III
代数的整数論とその周辺 2015,
京都大学数理解析研究所,
2015.11.30-2015.12.4.
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
省5

71(1): 2021/04/11(日)16:46 ID:DhE75b2I(4/5) AAS
>>69
ありがとう
下記10人に入っていないことは、確かだ

Twitterﾘﾝｸ:math_jin
math_jinさんがリツイート
石倉徹也 Tetsuya ISHIKURA
@i_tetsuya137
4月3日
返信先:
@ryomakom
省5

72: 2021/04/11(日)16:47 ID:DhE75b2I(5/5) AAS
>>71
補足

もっとも、10人と言っていたのは、何年も前のこと
いま、100人くらいに増えてて居ると思うよ

73(1): 2021/04/12(月)07:13 ID:e7FQ3ldh(1/7) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Categorification

In mathematics, categorification is the process of replacing set-theoretic theorems with category-theoretic analogues. Categorification, when done successfully, replaces sets with categories, functions with functors, and equations with natural isomorphisms of functors satisfying additional properties. The term was coined by Louis Crane.

The reverse of categorification is the process of decategorification. Decategorification is a systematic process by which isomorphic objects in a category are identified as equal. Whereas decategorification is a straightforward process, categorification is usually much less straightforward. In the representation theory of Lie algebras, modules over specific algebras are the principle objects of study, and there are several frameworks for what a categorification of such a module should be, e.g., so called (weak) abelian categorifications.[1]

Categorification and decategorification are not precise mathematical procedures, but rather a class of possible analogues. They are used in a similar way to the words like 'generalization', and not like 'sheafification'.[2]

Contents
1 Examples of categorification
2 Abelian categorifications
3 See also
省1

74(1): 2021/04/12(月)07:13 ID:e7FQ3ldh(2/7) AAS
>>73
つづき

Examples of categorification
One form of categorification takes a structure described in terms of sets, and interprets the sets as isomorphism classes of objects in a category. For example, the set of natural numbers can be seen as the set of cardinalities of finite sets (and any two sets with the same cardinality are isomorphic). In this case, operations on the set of natural numbers, such as addition and multiplication, can be seen as carrying information about products and coproducts of the category of finite sets. Less abstractly, the idea here is that manipulating sets of actual objects, and taking coproducts (combining two sets in a union) or products (building arrays of things to keep track of large numbers of them) came first. Later, the concrete structure of sets was abstracted away - taken "only up to isomorphism", to produce the abstract theory of arithmetic. This is a "decategorification" - categorification reverses this step.

Other examples include homology theories in topology. Emmy Noether gave the modern formulation of homology as the rank of certain free abelian groups by categorifying the notion of a Betti number.[3] See also Khovanov homology as a knot invariant in knot theory.

An example in finite group theory is that the ring of symmetric functions is categorified by the category of representations of the symmetric group. The decategorification map sends the Specht module indexed by partition {\displaystyle \lambda }\lambda to the Schur function indexed by the same partition,
(引用終り)
以上

75(2): 2021/04/12(月)07:25 ID:e7FQ3ldh(3/7) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Gluing axiom

In mathematics, the gluing axiom is introduced to define what a sheaf {F} on a topological space X must satisfy, given that it is a presheaf, which is by definition a contravariant functor
{F}: {O}(X)→ C
to a category C}C which initially one takes to be the category of sets. Here {O}(X) is the partial order of open sets of X ordered by inclusion maps; and considered as a category in the standard way, with a unique morphism
U→ V
if U is a subset of V}V, and none otherwise.

As phrased in the sheaf article, there is a certain axiom that F must satisfy, for any open cover of an open set of X. For example, given open sets U and V with union X and intersection W, the required condition is that
{F}(X) is the subset of {F}(U) ｘ {F}(V) With equal image in {F}(W)
省6

76: 2021/04/12(月)07:25 ID:e7FQ3ldh(4/7) AAS
>>75
つづき

Given this basic understanding, there are further issues in the theory, and some will be addressed here. A different direction is that of the Grothendieck topology, and yet another is the logical status of 'local existence' (see Kripke?Joyal semantics).

Sheafification
To turn a given presheaf {P} into a sheaf {F}, there is a standard device called sheafification or sheaving. The rough intuition of what one should do, at least for a presheaf of sets, is to introduce an equivalence relation, which makes equivalent data given by different covers on the overlaps by refining the covers. One approach is therefore to go to the stalks and recover the sheaf space of the best possible sheaf {F} produced from {P}.

This use of language strongly suggests that we are dealing here with adjoint functors. Therefore, it makes sense to observe that the sheaves on X form a full subcategory of the presheaves on X. Implicit in that is the statement that a morphism of sheaves is nothing more than a natural transformation of the sheaves, considered as functors. Therefore, we get an abstract characterisation of sheafification as left adjoint to the inclusion. In some applications, naturally, one does need a description.

In more abstract language, the sheaves on X}X form a reflective subcategory of the presheaves (Mac Lane?Moerdijk Sheaves in Geometry and Logic p. 86). In topos theory, for a Lawvere?Tierney topology and its sheaves, there is an analogous result (ibid. p. 227).
(引用終り)
以上

77: 2021/04/12(月)07:33 ID:e7FQ3ldh(5/7) AAS
>>74
>Other examples include homology theories in topology. Emmy Noether gave the modern formulation of homology as the rank of certain free abelian groups by categorifying the notion of a Betti number.[3] See also Khovanov homology as a knot invariant in knot theory.

追加
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
コバノフホモロジー(英: Khovanov homology)は、鎖複体のホモロジーとしてできる向きづけられた結び目の不変量である。コバノフホモロジーはジョーンズ多項式のカテゴリ化（英語版）として考えられる。

コバノフホモロジーは1990年代の終わりに、ミハイル・コバノフ（英語版）(Mikhail Khovanov)により導入された。彼は当時はカリフォルニア大学デービス校に在籍しており、現在はコロンビア大学に所属している。

目次
1 概要
2 定義
3 関連する理論
省12

78(2): 2021/04/12(月)07:40 ID:e7FQ3ldh(6/7) AAS
>>75
追加

外部ﾘﾝｸ:mathoverflow.net
mathoverflow
What precisely Is “Categorification”?
asked Nov 10 '09 at 11:22
Gil Kalai

anser 45
One way to think of categorification is that it's a generalization of enumerative combinatorics. When a combinatorialist sees a complicated formula that turns out to be positive they think "aha! this must be counting the size of some set!" and when they see an equality of two different positive formulas they think "aha! there must be a bijection explaining this equality!" This is a special case of categorification, because when you decategorify a set you just get a number and when you decategorify a bijection you just get an equality. As a combinatorialist I'm sure you can come up with some examples that nicely illustrate how this sort of categorification is not totally well-defined. ("What exactly do Catalan numbers count?" has many answers rather than a single right answer.)

A more sophisticated kind of categorification in combinatorics is "Combinatorial Species" which categorify power series with positive coefficients.

79: 2021/04/12(月)07:42 ID:e7FQ3ldh(7/7) AAS
>>78
追加

外部ﾘﾝｸ:ncatlab.org
vertical categorification

Contents
1. Idea
2. Variants
As a section of decategorification
Examples
As internalization in nCat
省11

80(2): 2021/04/12(月)11:28 ID:Dd3Vb2B3(1/8) AAS
>>78
＞One way to think of categorification is that it's a generalization of enumerative combinatorics. When a combinatorialist sees a complicated formula that turns out to be positive they think "aha! this must be counting the size of some set!" and when they see an equality of two different positive formulas they think "aha! there must be a bijection explaining this equality!"
＞A more sophisticated kind of categorification in combinatorics is "Combinatorial Species" which categorify power series with positive coefficients.

・IUTは、何らかの手段で、楕円曲線（又はそれが入っている空間（宇宙））を圏論化する
　anabelioid など？
・そうすると、見えてくるものがあるのです
・特に、enumerative combinatorics、 "Combinatorial Species" を使うのが、スジ（筋）かな
・そして、そこには不定性があり、不等式が出る！！

のかな？？（＾＾
早く、学部ないし修士レベルの解説を書く段階にならないかな？
省8

81(1): 2021/04/12(月)11:29 ID:Dd3Vb2B3(2/8) AAS
>>80
つづき

Q2. じゃあ, 宇宙を取り替えるってどういう意味？
A2. 宇宙際 Teichm¨uller 理論では, 環構造そのものを変形します. スキーム論とは環論だと思う
と, by definition でスキーム論が通用しない局面がしばしば出てくるということです. 一方のス
キーム論での操作や基点などを他方のスキーム論にもちこむことはできません. 一方での恣意
的なラベル付けが他方では通用しない, それは “宇宙を取り替える” ということではないか, と
いう意味で使っています. 厳密な意味での Grothendieck 宇宙を取り替えると考えてもいいです
し, 数学基礎論的に厳密な観点からはあくまで 1 つの Grothendieck 宇宙の中で考えてその中に
別々にスキーム論があって, それを取り替えることを “宇宙を取り替える” という言葉で表現し
省10

82: 2021/04/12(月)11:30 ID:Dd3Vb2B3(3/8) AAS
>>81
つづき

Q3. たくさん宇宙を取り替るとしても, もともとそれらをすべて含むような宇宙をとってきてそ
の宇宙で議論をすれば, 宇宙を取り替える必要はないんじゃないの？

Q4. よく分かんない. 分かりやすいおもちゃ的な例を挙げて欲しい
A4. 別のたとえをしますと, R 上の (適当な) 関数 f(x) とその Fourier 変換 ˆf(ξ) の変数 x, ξ が
住んでいる定義域は同じ R と考えることもできますが, “本当は” その住んでいる場所って違い
ますよね. そういう感覚に近いです. 上半平面の ∞ カスプと 0 カスプと取り替える座標変換
z 7→ −1
z も, どこを基点に座標を考えているのかを替える (ラベル付けを替える)“宇宙替え” の
省24

83(1): 2021/04/12(月)11:32 ID:4Cpnw9ZD(1) AAS
>下記10人に入っていないことは、確かだ
自惚れるのもいい加減にしろ
大学1年4月の課程さえちんぷんかんぷんの馬鹿が

84: 2021/04/12(月)17:05 ID:Dd3Vb2B3(4/8) AAS
これ、良くまとまっている
外部ﾘﾝｸ[html]:blog.livedoor.jp
【数学】ABC予想ニュース【最新情報】
2018年01月24日
宇宙際タイヒミュラー理論のまとめWiki
(2018.1.24更新)

85(4): 2021/04/12(月)17:31 ID:Dd3Vb2B3(5/8) AAS
>>83
ほいよ
お前下記でも読んでみなｗ

John Carlos Baez / Azimuthは、ちょっと大物かも
David Roberts は、三流だと思うが

外部ﾘﾝｸ:johncarlosbaez.wordpress.com
About
Hello! This is the official blog of the Azimuth Project.
You can read about many things here: from math to physics to earth science and biology, computer science and the technologies of today and tomorrow—but in general, centered around the theme of what scientists, engineers and programmers can do to help save a planet in crisis.

外部ﾘﾝｸ:johncarlosbaez.wordpress.com
省7

86: 2021/04/12(月)17:32 ID:Dd3Vb2B3(6/8) AAS
>>85
つづき

Reply
Todd Trimble says:
15 October, 2018 at 12:00 am
I’m somewhat sympathetic to the sentiment that working with a skeleton can be occasionally confusing. Mainly because it can cause one to “see” things which are not actually there! One of my favorite examples is the conceptual distinction between linear orderings of the set \{1, 2, \ldots, n\} and permutations thereon. Because it’s hard not to notice the usual ordering there, it’s very tempting to conflate the two — an urge which goes away when one works not with this skeleton of finite sets, but finite sets more generally, where the distinction becomes totally clear. I gather that Mochizuki (or Yamashita) is driving at something similar.

Reply
David Roberts says:
15 October, 2018 at 11:04 am
I agree that blind reduction to the skeleton is not the way to do things, but I have taught first-year linear algebra a number of times, and our course uses exclusively the skeleton :-). Not to mention in physics, where everything is R^3 or R^4, and one just makes sure the not-standard basis is explicit.
省7

87: 2021/04/12(月)17:45 ID:Dd3Vb2B3(7/8) AAS
>>85
>ほいよ
>お前下記でも読んでみなｗ

あんた
読めないんだろ？ｗ（＾＾
だったら、同じじゃんか！！ｗｗ（＾＾；

88: 2021/04/12(月)17:53 ID:Dd3Vb2B3(8/8) AAS
>>85
>外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp namely the dialogue in A4. Odd…
（追加）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
(上記URLと下記URLは同じ内容だが、下記の方が文字化けがないのでいいね)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
FAQ on Inter-universal Teichmüller Theory
By Go Yamashita, RIMS, Kyoto University.
September 2018

Q8. Can you give examples of further research or results that arose from inter-universal Teichmüller theory?
省18

89(2): 2021/04/14(水)21:50 ID:xXqRObsR(1/4) AAS
>>80

圏論化
外部ﾘﾝｸ:talk.hyuki.net
圏論と学びをめぐる往復書簡
No.04
圏論と通常の数学
土岡俊介→結城浩
2020-01-14

圏論化
三つ目は、やや専門的な話になりますが、通常の数学の対象（集合論的対象）の圏論版を考えることが重要であることが知られていて、圏論化（categorification）と呼ばれています。そして、定理の主張に圏は登場しないものの、圏論化の手法でしか証明が知られていない通常の数学の定理があり、数学の深い結果とされます（ここでは紹介できませんが）。
省2

90(1): 2021/04/14(水)21:58 ID:xXqRObsR(2/4) AAS
>>85
>John Carlos Baez / Azimuthは、ちょっと大物かも
>David Roberts は、三流だと思うが

John Carlos Baezは、一流ですね（下記）
（参考）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Timeline of category theory and related mathematics

1995 John Baez-James Dolan Opetopic sets (opetopes) based on operads. Weak n-categories are n-opetopic sets.
1995 John Baez-James Dolan Introduced the periodic table of mathematics which identifies k-tuply monoidal n-categories. It mirrors the table of homotopy groups of the spheres.
1995 John Baez?James Dolan Outlined a program in which n-dimensional TQFTs are described as n-category representations.
省3

91: 2021/04/14(水)21:58 ID:xXqRObsR(3/4) AAS
>>90
つづき

1995 John Baez-James Dolan Cobordism hypothesis (Extended TQFT hypothesis I): The n-category of which n-dimensional extended TQFTs are representations, nCob, is the free stable weak n-category with duals on one object.
1995 John Baez-James Dolan Stabilization hypothesis: After suspending a weak n-category n + 2 times, further suspensions have no essential effect. The suspension functor S: nCatk→nCatk+1 is an equivalence of categories for k = n + 2.
1995 John Baez-James Dolan Extended TQFT hypothesis II: An n-dimensional unitary extended TQFT is a weak n-functor, preserving all levels of duality, from the free stable weak n-category with duals on one object to nHilb.

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
John Carlos Baez (/?ba??z/; born June 12, 1961) is an American mathematical physicist and a professor of mathematics at the University of California, Riverside (UCR)[2] in Riverside, California. He has worked on spin foams in loop quantum gravity, applications of higher categories to physics, and applied category theory.

Baez is also the author of This Week's Finds in Mathematical Physics,[3] an irregular column on the internet featuring mathematical exposition and criticism.
(引用終り)
以上

92: 2021/04/14(水)23:28 ID:xXqRObsR(4/4) AAS
>>89
圏論化

外部ﾘﾝｸ[html]:mathsoc.jp
TOP Page > 日本数学会の出版物 > 数学通信 > 総目次「書評」
21 巻(2016 年度)
圏論の歩き方委員会　編：圏論の歩き方
評者:安田　健彦, 掲載巻号:21(1) pp.103-
外部ﾘﾝｸ[pdf]:mathsoc.jp
書　　評
圏論の歩き方
省12

93: 2021/04/15(木)07:12 ID:PakmFFPL(1/5) AAS
メモ
圏と論理
ローヴェア理論（等式理論のグラフ図示・圏論化）
圏の大きさ,矛盾の回避
(参考)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp
圏と論理へのいざない・レクチャーノート
木原貴行
名古屋大学情報学部・情報学研究科
最終更新日: 2020 年4 月3 日
省13

94: 2021/04/15(木)07:13 ID:PakmFFPL(2/5) AAS
つづき

■等式理論と項モデル: 等式理論とは，関数記号のみを言語に持ち，項に関する等式s t のみを
公理に持つ理論である．より具体的には，まず，等式理論の言語と項は以下によって定義される．
定義3.1. 言語(language) あるいはシグネチャ(signature) とは，形式的な記号の集合L であ
り，さらに各f P L に対して，引数(arity) と呼ばれる自然数が割り当てられている．各記号
f P L は関数記号と呼ばれ，f の引数がn の場合にはn 変数関数記号と呼ばれる．引数0 の関数
記号はしばしば定数記号と呼ばれる．
言語L が与えられたとき，L の記号以外に，可算個の変数記号を用意する．L の項(term) と
は，以下のように帰納的に定義される．
1. 定数記号c P L および変数記号x は項である．
省11

95(1): 2021/04/15(木)07:14 ID:PakmFFPL(3/5) AAS
つづき

§ 8. 補遺，あとがき，参考文献
8.1. 圏の大きさについて
圏に関するテキストを読んだとき，「大きい」「小さい」「局所的に小さい」などの修飾語を見か
けたことがある人も多いかと思う．これはある種の矛盾の回避のために導入されるものであるが，
初学者はあまり気にしないのがよいと思う．このようなものは実際に矛盾にぶつかってはじめて
有り難みがわかるので，まずは何度か矛盾してみるのがよい．つまり，「『大きさ』に気をつけない
と，矛盾することがある」ということだけ認識しておいて，何かふとしたときに矛盾が発生したら，
「あ，これはきっといわゆる『大きさ』ってやつのせいだな」と意識できるようであればよい．矛
盾に達して初めて，「大きさ」の詳細について学べば十分である．ここでは，圏の大きさに関して，
省12

96(1): 2021/04/15(木)07:14 ID:PakmFFPL(4/5) AAS
>>95
つづき

■カントールのパラドックス: しかし，さらに大きいサイズのグラフとなると，少し注意を払う必
要がある．たとえば，例 1.17 で挙げた，集合全体を頂点とし関数を辺とする圏 Set などである．
ところが，
「集合をすべて集めたものは集合ではない」
ということは集合論の創始者カントールが既に気づいていたことであり，カントールのパラドック
スとも言われていた．とはいえ，集合という日常用語に引きずられるとパラドックスに見えるもの
の，「集合」という用語はあくまで数学用語である．つまり，形式的には，特定の数学的概念を「集
合」と読んでいるに過ぎないから，「集合」を「机」「ビール」「X」などの別の名に差し替えてもよ
省13

97: 2021/04/15(木)07:14 ID:PakmFFPL(5/5) AAS
>>96
つづき

■グロタンディーク宇宙:
一般に，強到達不可能基数 k について，ランク k 未満の集合全体の集合 Vk のことをグロタン
ティーク宇宙 (Grothendieck universe) という．大層な名前が付いているが，かなり初等的な概念
なのであまり恐れる必要はないと思う．この集合 Vk は，いわゆる ZFC 集合論の公理というもの
をすべて満たすので，通常の数学で用いられるありとあらゆる操作で閉じている，というのが良い
ところである．このため，通常の数学に現れる集合はすべて Vk の中に入っていると思ってよい．
集合の大きさについて，U1 “ Vk0 までではなく，無限の系列を考えたい理由についても少し説
明しよう．たとえば，集合と関数の圏 Set や小さい圏の圏 Cat は共に大きさ 2 だが局所的に大き
省15

98: 2021/04/16(金)07:19 ID:AC4Ivedb(1/2) AAS
>>89 追加

圏論化に関連して
外部ﾘﾝｸ:talk.hyuki.net
圏論と学びをめぐる往復書簡
No.04
圏論と通常の数学
土岡俊介→結城浩
2020-01-14

「圏論ならでは」について、思い浮かんだことを線型代数に関連させて三つ書いてみます。

自明に自明
省12

99: 2021/04/16(金)07:25 ID:AC4Ivedb(2/2) AAS
関係ないけど、思い出したのでメモする

外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
パベル・ウリゾーン

関連項目
ウリゾーンの距離化定理
ウリゾーンの補題
メンガー・ウリゾーン次元

外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Pavel Urysohn

Pavel Samuilovich Urysohn (February 3, 1898 ? August 17, 1924) was a Soviet mathematician who is best known for his contributions in dimension theory, and for developing Urysohn's metrization theorem and Urysohn's lemma, both of which are fundamental results in topology. His name is also commemorated in the terms Urysohn universal space, Frechet?Urysohn space, Menger?Urysohn dimension and Urysohn integral equation. He and Pavel Alexandrov formulated the modern definition of compactness in 1923.

100(1): 2021/04/17(土)11:59 ID:cr30r3uy(1/8) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数論幾何学では、フロベニオイドは、グローバルフィールドの有限拡張のモデルでの線束の理論を一般化する追加の構造を持つ圏である。フロベニオイドは望月新一（2008）によって導入された。「フロベニオイド」という言葉は、フロベニウスとモノイドを合わせたものである。フロベニオイド間の特定のフロベニウス射は、通常のフロベニウス射の類似物であり、フロベニオイドの最も単純な例のいくつかは、本質的にモノイドである。

目次
1 モノイドのフロベニオイド
2 初等フロベニオイド
3 フロベニオイド

モノイドのフロベニオイド
Mが可換モノイドである場合、それは乗算の下で正の整数のモノイドNによって自然に作用され、Nの要素nはMの要素にnを乗算する。Mのフロベニオイドは、MとNの半直接積である。このフロベニオイドの基になる圏は、モノイドの圏であり、1つの対象とモノイドの各要素の射が含まれる。Mが非負整数の加法モノイドである場合、標準のフロベニオイドはこの構造の特殊なケースである。

初等フロベニオイド
省4

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