[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料スレ2 (489ﾚｽ)
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290(1): 2022/07/09(土)08:26 ID:ETpiR2xz(2/11) AAS
>>289
つづき
① X は位相空間
まず、「X は位相空間である」ことを示す必要があります。位相空間の定義はここでは省略します。
「X は位相空間である」を示すためには、X の開集合系を決定するなどの方法があります。ほかにも、別の位相空間を定義してから、その位相空間から誘導される位相を考えることもあります。次回具体的な例を作る際には、後者の方法をとりたいと思いますが、具体的な方法についてはそのときに議論しましょう。
⑥ C の開集合への同相写像 φi:Ui→C
上で定めた開被覆の各開集合 Ui に対して、「C の開集合への同相写像 φi:Ui→C」とは、C のある開集合 Vi に対して、同相写像
φi:Ui→Vi
を考えるということですね。この Ui と φi:Ui→C の組 (Ui,φi) を座標近傍系といい、今考えている座標近傍系全体の集合 {(Ui,φi)}i∈I をアトラスといいます。
省10
291(2): 2022/07/09(土)08:26 ID:ETpiR2xz(3/11) AAS
>>290
つづき
⑦ φj*φ-1i:φi(Ui∩Uj)→φj(Ui∩Uj) は正則関数
上によって、X には各点に対して座標が定まったわけです。局所的には座標が定まっていますが、それが全体的に「うまくいっている」かどうか考える必要があります。
共通部分を持つ開被覆 Ui,Uj を考えたときに、Ui,Uj にはそれぞれ異なる座標近傍系 φi,φj が定まっています。つまり、共通部分 Ui∩Uj には φi,φj という2通りの座標近傍系が定まっているわけですね。リーマン面の条件⑦では、これらの座標近傍系の間の「整合性」を要請しています。
この整合性についてより詳しく説明したいと思います。Ui∩Uj を φi,φj によって写したものをそれぞれ φi(Ui∩Uj),φj(Ui∩Uj) と書くことにします。これらはどちらも C の開集合で、Ui∩Uj と同相です。
画像ﾘﾝｸ[png]:cdn-ak.f.st-hatena.com
省11
292: 2022/07/09(土)08:27 ID:ETpiR2xz(4/11) AAS
>>291
つづき
おわりに
以上がリーマン面の定義で主張していることの全容です。ある与えられた X がリーマン面であることを示すためには、上記の条件①～⑤がすべて成り立つことを言う必要があります。
次回は、このことを具体的に X=P1 で確認したいと思います。リーマン面の定義を丁寧にすべて確認していくのは、相当に骨が折れます。リーマン面の練習として、頑張って全部の条件を示したいと思います。
それでは今日はこの辺で。
(引用終り)
以上
293(1): 2022/07/09(土)09:22 ID:ETpiR2xz(5/11) AAS
>>291
>多様体のことを知っている人は、リーマン面の定義が多様体の定義に似ていることに気づいたと思います。
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
多様体
多様体（たようたい、英: manifold, 独: Mannigfaltigkeit）とは、局所的にはユークリッド空間と見なせるような図形や空間（位相空間）のことである。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。
直感的な説明
多様体に座標を描くという作業は地球上の地図を作る作業に似ている。地図の上の点は地球上の点に対応し、さらに地面には描かれていない緯線や経線を地図に描き込むことによって、地図に描いてある地域の様子が分かりやすくなる。座標の無い地球上の様子は、人間が作った座標のある地図と対応させることによって非常に把握しやすくなる。
地球は球であり、世界地図を一枚の平面的な地図におさめようとすれば、南極大陸が肥大化したり、地図の端の方では一枚の地図の中に（連続性を表現するために）同じ地点が複数描き込まれたりする。世界地図をいくつかの小さな地図に分割すると、こういった奇妙なことはある程度回避できる。例えば、北極を中心とした地図、南極を中心とした地図、ハワイを中心とした地図、ガーナを中心とした地図…… などのように分割できる。そして隣り合った地図の繋がりをそれぞれの地図に同じ地域を含めることで表現すればよい。こうすることによって異なる地図同士では重複する部分が出てきてしまうものの、一枚の地図の中に同じ地域が 2 箇所以上描かれることをなくすことはできる。
地球と同じように多様体は好きなところに小さな地図（局所座標系）が描ける図形である。逆に、このような小さな地図を繋げていったら全体としてどのような図形ができあがるのか？という問題は位相幾何学の重要な問題の一つでもある。地図だけみれば地球をまねて作っているようなゲーム(例えば、ファミコン版のドラゴンクエストシリーズ[1])の世界が、実は球面ではなく平坦トーラスだったということもある。
省1
294(1): 2022/07/09(土)09:22 ID:ETpiR2xz(6/11) AAS
>>293
つづき
多様体は性質のよい図形であり、多様体でない図形も多く存在する。円や球や多角形、多面体などは全て多様体として扱えるが、ペアノ曲線やフラクタルなどは適当な地図を描くことはできず、多様体にはならない。
定義
多様体の定義で重要な点は、多様体の上にいかにして座標系を貼り付けるか？ということと、どのような座標系を用いたとしても計算に違いが現れないようにすることである。多様体は計算したいときに座標を導入でき、しかもどのような座標系で計算したとしても違いがない、すなわち座標系に依存しないという非常に扱いやすい性質が追求された図形である。
ここでいう計算とは関数やベクトル、それらの微分、積分などのユークリッド空間の上で普通に行われているような座標を用いた計算のことである。
つづく
295(1): 2022/07/09(土)09:23 ID:ETpiR2xz(7/11) AAS
>>294
つづき
局所座標系
M を位相空間とする。M の開集合 U に対して、m 次元ユークリッド空間の開集合 U ' への 同相写像
{\displaystyle φ ： U → U'}
を局所座標系 (local coordinate system) あるいは（局所）チャート (chart) という。
局所座標を用いることにより U 上の点を m 次元ユークリッド空間の点であるかのように扱うことが可能になる。U 上に局所座標系 φ が定義されていることを (U, φ) という対で表し、これを m 次元座標近傍 (coordinate neighborhood) あるいはチャートという。局所座標系の成分を明示的に (U;φ1, ..., φm) のように書き表すこともある。
M の二つの座標近傍 (U,φ) と (V,ψ) について、 U ∩ V が空でないとする。局所座標系 φ と ψ は U と V をそれぞれ m 次元ユークリッド空間の開集合 U ', V ' に写すとする。すなわち
省6
296(1): 2022/07/09(土)09:23 ID:ETpiR2xz(8/11) AAS
>>295
つづき
座標変換はまず φ?1 で M に戻してから ψ によって座標のある集合 V ' に写す写像である。間に座標が決められていない空間 M を挟む形になっているものの、座標変換全体はユークリッド空間の部分集合 U ' からユークリッド空間の部分集合 V ' への写像になっている。すなわち M を経由しているという事実を無視し、座標変換を合成写像としてではなく全体で 1 つの写像として捉えると、それは普通のユークリッド空間からユークリッド空間への写像である。
m 次元座標近傍の族 S = {(Uλ, φλ) | λ ∈ Λ} が M 全体を覆っているとする:
M= λ∈Λ U_λ.
このとき、S を座標近傍系 (system of coordinate neighborhoods) あるいはアトラス (atlas) という。アトラスというのは地図帳のことで、局所的な地図であるチャートをいくつも集めて作った地図帳という意味である。
位相多様体
M をハウスドルフ空間とする。M の任意の点 a に対して、a を含む m 次元座標近傍 (U, φ) が存在するとき、M を（境界のない）m 次元位相多様体 (topological manifold) という。
省7
297(1): 2022/07/09(土)09:23 ID:ETpiR2xz(9/11) AAS
>>296
つづき
極大座標近傍系
m 次元位相多様体 M に対し Cn 級座標近傍系として S と T の 2つを取るとする。和集合 S ∪ T が再び M のCn 級座標近傍系になるとき、 S と T は同値であるという。これは同値関係を定める。これは S に属する座標近傍と T に属する座標近傍の間にも座標変換が存在し S での計算と T での計算に違いが無いという性質を保証するための同値関係である。
こうして座標近傍系の取り方に依存しない Cn 級多様体が定義される。m 次元位相多様体 M 上に互いに微分同相でない複数の微分構造が存在することもある。
多様体上の関数
m 次元 Cn 級多様体 M 上で定義された実数値関数 f を考える。
f: M → R
これは、多様体上の点 p ∈ M に対して実数値 f(p) を対応させる関数である。特定の局所座標を考えているわけではないので、この関数の変数は (x1, x2, ..., xm) のように数を並べた座標ではなく単に点を表している。
省7
298(1): 2022/07/09(土)09:24 ID:ETpiR2xz(10/11) AAS
>>297
つづき
多様体上の曲線
R の開区間 I = (a, b) から Cs 級多様体 M への Cr 級写像
φ: I → M
のことを、 Cr 級曲線 (Cr-curve) という (0 ? r ? s)。
{ φ(t) ∈ M | t ∈ I} という点の集合を曲線というのではなく、写像 φ を曲線というのである。なお、φ の変数 t を媒介変数という。
a ? c < d ? b
とする。φ が 開区間 I = (a,b) で定義された Cr 級曲線であるとき、 I に含まれる閉区間 [c,d] や 半開区間 [c,d), (c,d] に φ の定義域を制限して得られる写像も Cr 級曲線という。
省14
299: 2022/07/09(土)09:24 ID:ETpiR2xz(11/11) AAS
>>298
つづき
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Manifold google訳
多様体
ポアンカレの定義
ヘルマン・ワイルは、1911年から1912年のリーマン面に関する講義コースで可微分多様体の本質的な定義を示し、まもなく続く位相空間の一般的な概念への道を開きました。1930年代に、ハスラーホイットニーなどが主題の基本的な側面を明らかにし、19世紀後半にさかのぼる直感が正確になり、微分幾何学とリー群論によって発展しました。特に、ホイットニー埋め込み定理[6]は、チャートに関する本質的な定義が、ユークリッド空間のサブセットに関するポアンカレの定義と同等であることを示しました。
原文
Hermann Weyl gave an intrinsic definition for differentiable manifolds in his lecture course on Riemann surfaces in 1911?1912, opening the road to the general concept of a topological space that followed shortly. During the 1930s Hassler Whitney and others clarified the foundational aspects of the subject, and thus intuitions dating back to the latter half of the 19th century became precise, and developed through differential geometry and Lie group theory. Notably, the Whitney embedding theorem[6] showed that the intrinsic definition in terms of charts was equivalent to Poincare's definition in terms of subsets of Euclidean space.
(引用終り)
省1
300: 2022/07/14(木)16:57 ID:/Ighvrnv(1) AAS
これいいね！
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
【位相幾何】被覆空間の定義とリフトの一意性【代数トポロジー】
578 回視聴 2022/02/16 【参考文献】
・講座 数学の考え方〈15〉代数的トポロジー
外部ﾘﾝｸ:www.アマゾン.co.jp/%E8%AC%9B%E5...
【Contents】
00:00 初めに
04:12 位相空間論・基本事項
05:50 被覆空間の定義
省10
301(1): 2022/07/22(金)08:01 ID:n1cxh6b7(1) AAS
>>817
>「IUTは全く新しい数学」
数学史の教えるところ
数学とは、新しい数学概念の歴史でもあり、
「数学は言葉」です by 新井
外部ﾘﾝｸ[html]:www.tokyo-tosho.co.jp
【2009年9月刊行】東京図書株式会社
math stories 数学は言葉
上野健爾・新井紀子監修／新井紀子 著
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省9
302: 2022/07/22(金)11:58 ID:/MEtP/MZ(1) AAS
>>301
誤爆スマン
303: 2022/08/12(金)10:02 ID:9bI6xvgK(1) AAS
sage
304: 2022/08/24(水)07:52 ID:KNdtuvQm(1) AAS
sage
305: 2022/08/30(火)07:56 ID:CQLzxpCp(1) AAS
sage
306(1): 2022/09/19(月)11:09 ID:aLiBZfCJ(1/2) AAS
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ヘンゼルの補題
ヘンゼルの補題（ヘンゼルのほだい、英: Hensel's lemma）とは、1変数多項式が素数 p を法として単根（英語版）を持つならば、その根は p の任意の冪乗を法とする根に一意的に持ち上げられるという、合同算術における補題である。この補題は、多項式が法 p で2つの互いに素な多項式（英語版）に因数分解できるならば、その因数分解は p の任意の冪乗を法とする因数分解に持ち上げることができるという補題に一般化できる。因数分解に現れる多項式の次数が1の場合が根の場合に相当する。ヘンゼルの持ち上げ補題（英: Hensel's lifting lemma）とも呼ばれる。名称はクルト・ヘンゼルに因む。
p の冪指数を無限に大きくしていったときの（射影極限の意味での）極限を取ることにより、法 p での根（または因数分解）を p 進整数上での根（または因数分解）に持ち上げることができる。
還元と持ち上げ
R を可換環、I を R のイデアルとする。R の元を標準写像 R\→ R/I による像で置き換えることを、I を法とする還元、または法 I での還元と呼ぶ。
持ち上げとは還元の逆の操作である。つまり、R/I の元を使って表されている対象があったとき、持ち上げとは対象の性質を保ったまま還元するとこの対象に等しくなるように R（もしくはある k > 1 に対する R/I^{k}の元に置き換えることをいう。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
射影極限
逆極限（ぎゃくきょくげん、英: inverse limit）あるいは射影極限（しゃえいきょくげん、英: projective limit）は、正確な言い方ではないが、いくつかの関連する対象を「貼合せる」ような構成法であり、貼合せの具体的な方法は対象の間の射によって決められている。逆極限は任意の圏において考えることができる。
省4
307: 2022/09/19(月)11:09 ID:aLiBZfCJ(2/2) AAS
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
完備化 (環論)
抽象代数学において、完備化（かんびか、英: completion）とは、環や加群上の関手であって、完備な位相環や加群になるような任意のものである。完備化は局所化と類似しており、これらは可換環を解析する最も基本的な手法である。完備可換環は一般の環よりも単純な構造をもっており、ヘンゼルの補題が適用される。
また特に環Rが非アルキメデス距離について距離空間であるときは、距離空間としての完備化と環としての完備化は一致する。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Completion of a ring
Power series
Main article: Formal power series
Power series generalize the choice of exponent in a different direction by allowing infinitely many nonzero terms. This requires various hypotheses on the monoid N used for the exponents, to ensure that the sums in the Cauchy product are finite sums. Alternatively, a topology can be placed on the ring, and then one restricts to convergent infinite sums. For the standard choice of N, the non-negative integers, there is no trouble, and the ring of formal power series is defined as the set of functions from N to a ring R with addition component-wise, and multiplication given by the Cauchy product. The ring of power series can also be seen as the ring completion of the polynomial ring with respect to the ideal generated by x.
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
省4
308: 2022/09/27(火)07:27 ID:8RXDFRVG(1) AAS
sage
309: 2022/10/10(月)09:57 ID:EBzEjr+/(1) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ:ac-net.org
辻下 研究室 立命館大学
外部ﾘﾝｸ[php]:www.ac-net.org
サイト資料
外部ﾘﾝｸ[html]:ac-net.org
辻下 徹「有限の中の無限」
外部ﾘﾝｸ[pdf]:ac-net.org
有限の中の無限
辻下 徹
省4
310: 2022/10/13(木)18:24 ID:q/R61KJF(1) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ:miz-ar.info
∂ぽっぽ
外部ﾘﾝｸ:miz-ar.info
数学ネタ
外部ﾘﾝｸ[pdf]:miz-ar.info
超限帰納法
@mod_poppo
2021 年 7 月 25 日
P1
省11
311: 2022/10/14(金)07:00 ID:vJZfsUiI(1) AAS
>>306 補足
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ヘンゼルの補題
ヘンゼルの補題は、解析的整数論の一分野である p 進解析学の基礎である。
ヘンゼルの補題の証明は構成的（英語版）であり、証明からヘンゼル持ち上げの効率的なアルゴリズムが得られる。これは多項式の因数分解のアルゴリズムの基礎である。また有理数体上の線型代数学についての最も効率の良いアルゴリズムが得られる[要検証 ? ノート]。
ヘンゼルの補題は、ヘンゼルよりも早く1846年にテオドル・シェーネマン（英語版）によって証明されていた[1]。また、「存在」についての主張だけならシェーネマンよりも早くカール・フリードリヒ・ガウスによっても知られていた[2]。
312: 2022/11/03(木)11:21 ID:fNTesdKc(1/2) AAS
外部ﾘﾝｸ:mathweb.sc.niigata-u.ac.jp
Akinari Hoshi
Chair, Department of Mathematics
Professor of Niigata University
外部ﾘﾝｸ[html]:mathweb.sc.niigata-u.ac.jp
修士論文 (主指導)
三浦 正道「ガウスの2次形式論とクロネッカー・ウェーバーの定理についての考察」2016年3月 新潟大学
修士論文(PDF) / 修論発表会のスライド(PDF) /
三浦 正道 * (MIURA, Masamichi) （H26学部卒，H28修士修了，博士課程へ）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:mathweb.sc.niigata-u.ac.jp
省4
313: 2022/11/03(木)20:41 ID:fNTesdKc(2/2) AAS
sage
314: 2022/12/12(月)23:51 ID:qR3y03w/(1) AAS
外部ﾘﾝｸ:arxiv.org
Mathematical Physics
[Submitted on 10 Apr 2005]
Riemann Hypothesis and Short Distance Fermionic Green's Functions
Michael McGuigan
315: 2022/12/13(火)21:48 ID:l5nGItti(1) AAS
sage
316: 2022/12/17(土)13:05 ID:EhW0UvWQ(1) AAS
外部ﾘﾝｸ:www.math.okayama-u.ac.jp
Masao Ishikawa 岡山大
外部ﾘﾝｸ:www.math.okayama-u.ac.jp
2016 年度前期講義資料
2016 年度 第 1,2 クォータ 「代数学」 (PDF ファイル)
「代数学」 講義ノート未完成版 (2016/07/22)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.okayama-u.ac.jp
代数学講義ノート (体とガロア理論)
作成者 : 石川雅雄
平成 28 年 7 月 22 日
省6
317: 2022/12/21(水)22:50 ID:F669Iarw(1) AAS
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省2
318: 2023/01/02(月)21:58 ID:qZFMMNjk(1) AAS
外部ﾘﾝｸ[html]:www.s.u-tokyo.ac.jp
理学のキーワード 第14回
外部ﾘﾝｸ[html]:www.s.u-tokyo.ac.jp
フォン・ノイマン環 河東泰之（数理科学研究科）
フォン・ノイマンの名前を聞いたことがない人はいないであろう。コンピュータのフォン・ノイマン・アーキテクチャーや，ゲーム理論の創始，著書「量子力学の数学的基礎」，原爆開発への参加など，きわめて多方面で活躍した20世紀最高の科学者の一人である。純粋に数学的な方面においても多数の偉大な業績があるが，その中の主要なひとつが，彼の名前を冠するフォン・ノイマン環の理論である
フォン・ノイマン環とは作用素環とよばれるものの一種で，だいたいのところは，足し算や掛け算のできるような作用素の集合である。作用素は物理学では演算子と訳されており，無限次元行列と言ってもよい。物理量は数ではなく，作用素で表されるというのが量子力学の教えるところである。数と同じように，作用素も足したり掛けたりすることができる。このとき，行列で知っているようにAB=BAとは限らないということが重要なポイントになる
フォン・ノイマンは，純粋に数学的な理由と，量子力学からの要請の両方に基づき，この理論を創始した。量子力学，さらには量子場の理論への応用は当初は急速には進展しなかったが，長い年月を掛けた進歩があり，とくに近年，量子場の理論のひとつである共形場理論のもたらす多くの数学的問題の研究に関連して，めざましい成果が得られている。共形場理論はきわめて多くの分野の数学と関係しているため，数学的な立場からも重要であるが，私自身もこの分野の数学的研究を行っている
いっぽう，純粋に数学的側面からは，群，およびそのエルゴード作用からフォン・ノイマン環を構成する，フォン・ノイマン自身による方法が重要である。このようにして得られるフォン・ノイマン環を互いに区別するための分類理論はきわめて困難であり，長い間，進展が少なかった。現在は非可換幾何で有名なA. コンヌ（Alain Connes）のフィールズ賞の対象となった業績は，この種の分類理論であるが，最近，S. ポパ（Sorin Popa） の革命的な一連の業績により，さらに進展がもたらされた。本研究科の小沢登高准教授はこの進展の中心的な研究者の一人であり，これからの発展が一段と期待されている
319(1): 2023/01/11(水)21:01 ID:AmYdnay+(1) AAS
フィールズ賞2022 語ろうや
2chｽﾚ:math
外部ﾘﾝｸ:webcache.googleusercontent.com
佐伯 佳祐
@noeasywalk
友人が数学者をやっている。30歳にして旧帝大の教員。たぶん、いや間違いなく凄いことだろう。昨日、彼の結婚式に出席した。乾杯挨拶が東大数学科教授。「彼は博士課程の時、部分的にさえ明らかになっていなかった分野の未解決問題を解きました。世界が驚きました。」衝撃的な乾杯挨拶だった。
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1:29 PM ・ Nov 28, 2022
Twitterﾘﾝｸ:5chan_nel (5ch newer account)
320: 2023/01/22(日)20:47 ID:7UAyOaT7(1/2) AAS
sage
321: 2023/01/22(日)20:48 ID:7UAyOaT7(2/2) AAS
sage
322: 2023/02/08(水)21:27 ID:IfFd6N6h(1) AAS
ガウスＤＡの英PDFを探したが、良いファイルが見つからなかったが
記録を残す
検索：Disquisitiones Arithmeticae Gauss english
例
外部ﾘﾝｸ[html]:www.pdfdrive.com
外部ﾘﾝｸ[html]:www.pdfdrive.com
The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae
323: 2023/02/15(水)08:13 ID:IikyRbGC(1/4) AAS
sage
324(1): 2023/02/15(水)08:14 ID:IikyRbGC(2/4) AAS
>>441
ありがとう
東大数学科なの？
日銀の次期総裁・植田和男氏と知り合いかい？
「枯れ木と太陽の歌」か
知らなかったね
歌詞の”枯れ木は一人で歌う”>>443
私にぴったりだね
(参考)
https://西南シャントゥール/略
省5
325(1): 2023/02/15(水)08:14 ID:IikyRbGC(3/4) AAS
>>324
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
枯木と太陽の歌
概説
1956年（昭和31年）、東京男声合唱団の委嘱により作曲された。中田浩一郎（のちの芸術現代社社長・中曽根松衛）の書き下ろしの詩に作曲した。曲の成立について、石井は「この作品は、孤独なる人間の、人生におけるつきつめた哀歓といった、だれにでも通ずるであろう内容に基づいて一貫したイメージを持って、あらかじめ作曲し、それを私の心の友である中田君と、曲を訂正し、あるいは詩を訂正しながら作り上げて行ったもので、ある意味では、音楽と詩が同時に生れてきた、とさえ言えると思っています。」[1]とし、中田は「詩を私が書き、石井先生が曲を書く。ほんとに寝食を共にするというか、彼のうちに泊り、寝たり起きたり、作曲をしたり詩を書いたり、そういう形でできましたね。」[2]とし、両名とも真に「一身同体で作った」[2]ことを強調する。石井と中田のコンビは多くの作品を生み出しているが、その最初期の作品である。
（動画）
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
函館男声合唱団第11回定期演奏会 第２ステージ「枯れ木と太陽の歌」 作詞：中田浩一郎 作曲：石井 歓
kamueku
省2
326: 2023/02/15(水)08:21 ID:IikyRbGC(4/4) AAS
>>325
誤爆すまん
327: 2023/02/24(金)18:49 ID:uvW2SKpZ(1) AAS
sage
328: 2023/02/24(金)20:40 ID:9XII1Ge4(1) AAS
sage
329: 2023/02/25(土)09:40 ID:ZowC59iz(1) AAS
sage
330: 2023/03/18(土)12:42 ID:M09HE8oG(1) AAS
sage
331: 2023/03/21(火)18:55 ID:8s9PZXQ2(1) AAS
sage
332: 2023/03/23(木)20:53 ID:KNw8p5HO(1) AAS
sage
333: 2023/03/24(金)21:40 ID:wM9/QPOi(1) AAS
sage
334: 2023/04/18(火)07:54 ID:ROqvqI7Q(1/2) AAS
sage
335: 2023/04/18(火)10:29 ID:kT/K1Ll/(1) AAS
sage
336: 2023/04/18(火)22:56 ID:ROqvqI7Q(2/2) AAS
sage
337: 2023/04/23(日)14:46 ID:xRz9gQiq(1) AAS
sage
338: 2023/05/21(日)18:31 ID:bq+56Klo(1) AAS
sage
339: 2023/06/26(月)10:40 ID:KzqHHz3F(1) AAS
sage
340: 2023/07/13(木)10:54 ID:9KLQWdwW(1) AAS
sage
341: 2023/07/14(金)11:59 ID:iSiI/8dQ(1) AAS
sage
342: 2023/07/27(木)10:41 ID:UxY8f0SS(1) AAS
sage
343: 2023/08/12(土)16:14 ID:fmL7VjG2(1) AAS
age
344: 2023/08/23(水)21:29 ID:hzz7WE0O(1/2) AAS
sage
345(1): 2023/08/23(水)21:31 ID:hzz7WE0O(2/2) AAS
sage
346: 2023/09/22(金)20:27 ID:wOSXAWQB(1) AAS
sage
347: sage 2023/11/06(月)13:05 ID:LZcqYXGa(1) AAS
sage
348: 2023/11/18(土)08:17 ID:DKjkkeW7(1) AAS
sage
349: 2023/12/21(木)10:04 ID:jOc3BHEy(1/2) AAS
sage
350: 2023/12/21(木)10:09 ID:jOc3BHEy(2/2) AAS
sage
351: 2023/12/30(土)14:44 ID:iToCwHyp(1) AAS
IUT読める人ってどんどん増えてるの？
352: 2023/12/30(土)21:22 ID:/ZTYqiJv(1) AAS
>>319
ジェイムズ・メイナード？
ユーゴー・デュミニル＝コパン？
353: 2024/04/20(土)08:31 ID:b3gJjkjy(1/12) AAS
2chｽﾚ:math
(参考)
ja.wikipedia.org/
宇宙際タイヒミュラー理論
「一点抜き楕円曲線付き数体」の「数論的タイヒミューラー変形」を遠アーベル幾何等を用いて「計算」する数論幾何学の理論である。
www.kurims.kyoto-u.ac.jp
IUT I: CONSTRUCTION OF HODGE THEATERS
Shinichi Mochizuki May 2020
Abstract.
This data determines various hyperbolic orbicurves that are related via finite ´etale coverings to the once-punctured elliptic curve XF determined by EF.
省16
354: 2024/04/20(土)09:13 ID:0huTH1S0(1/2) AAS
>>1
閲覧注意
>1は数学の線形代数|・|≠0を理解できない
トンデモ
↓
0426 １３２人目の素数さん
2023/10/29(日) 14:22:15.63
IUTは、ガリレオ天動説です
だんだん、理解され受け入れられてきたよ
355: 2024/04/20(土)09:18 ID:b3gJjkjy(2/12) AAS
これいいね
外部ﾘﾝｸ:www4.math.sci.osaka-u.ac.jp
大阪大学 理学研究科 数学教室
中村博昭
外部ﾘﾝｸ[html]:www4.math.sci.osaka-u.ac.jp
研究分野紹介
ガロア群と基本群
この研究領域では、数学的な対称性に関わる２つの分野 --- ガロア理論における代数的な対称性、 基本群の理論における幾何学的な対称性 --- をひとつの共通の場に持ち込む。 この２つのいずれの分野においても、数学的対象はそれぞれの対称性 が取る形態を調べることで研究することができるが、 ここでの中心的な主題は、この両分野がお互いに相互作用をおよぼし、 代数は幾何の影響のもとで応用され、また幾何は代数の恩恵のもとで 構築されることではじめて取り扱うことができるような問題 を研究することである。
基本群は、被覆の対称性としてだけでなく、空間に描かれたループ を考えることでも理解することが出来る。 位相幾何的な曲面の場合には、曲面をより理解しやすい小片に分割する ことが有用である。 このアプローチは、与えられた位相曲面の基本群だけでなく、 付随する「モジュライ空間」(これは、ある空間が連続的に変形していく 族を束ねている空間である)の基本群を研究するときにも用いられる。
幾何学とくに位相幾何学における基本群の理論は、被覆空間の概念と関係している。 例としては、渦巻き階段の形をしたヘリックス曲線とよばれるものがある。 ヘリックス曲線の各点は、固定されたひとつの円の下方から上方にかけて 渦巻きのように配置してあり、 ヘリックス曲線全体は各点を一周り上の点にもっていく操作に対応する対称性をもつ。 このとき、すべての対称性のなす群は整数の全体と対応し、例えば整数５は ５回転分だけ上に移動することに対応している。 こうした状況を、ヘリックス曲線は円の被覆空間であり、整数全体(のなす 加法群)は円の「基本群」であるという。 空間は、その基本群によって研究することができる。--- 例えば、 もし２つの空間が異なる基本群を持つことが示されれば、 それらの空間は違うということがわかる。 さらに、空間の間の写像(例えばヘリックスから円への写像)も 付随する対称性の群を用いて研究することができる。
省4
356: 2024/04/20(土)09:18 ID:b3gJjkjy(3/12) AAS
つづき
ガロア理論における対称性と、基本群と被覆空間の理論における対称性との 間には強い類似性が認められる -- 例えば、どちらも対称性と対象物とを 正確に関係づける 「基本定理」を満たす。この根拠としては、被覆空間が代数方程式系で与えられる という事実があり、それらの方程式はガロア理論の研究対象である。 そのとき方程式系の対称性は、被覆空間の対称性と対応する。 この類似性を用いることにより、代数的な問題のいくつかを幾何学的な手法に より解くことができる。代表的な例としては、 整数の代わりに複素数を係数として考えた場合 (つまり、複素数体上の有理関数の体の上で考えた場合)に、 任意の対称性をあらわす群が 適切な方程式に対するガロア理論として実現される、 という事実を証明することができる。 不思議なことに、伝統的な有理数体上のガロア理論の状況で、これに 対応する主張はまだ証明されていない。ガロアの逆問題といわれる未解決問題 である。
この二つの研究領域の間には第二の関連がある。 それは被覆空間に対する方程式系が、(√2のような)代数的数と関わっている ところに由来している。すなわち、代数的数がそれ自身代数方程式の解である ため、ガロア理論により研究される範疇にはいるのである。 このことから、数論と代数と幾何が交錯する「被覆空間の算術性」の研究 に導かれる。この研究分野には、幾何学的に表現された様々な被覆の方程式に どのようなタイプの代数的数が現れるか、といった未解決の深い問題群が いくつも残されている。整数論に対するさらなる関連は、より一般的な空間、 例えば与えられた素数の倍数だけ座標がずれている２点を同等とみなす標数 p の世界、 などを考えることによりさらなる広がりをみせる。 この方向では、与えられた空間の上にどのような種類の対称性が存在し得るか、 あるいは空間が基本群によってどの程度決定されるか、を理解する問題 に限っても、最近において多大な進展が起こって来ている。
このページは 1999 年8月〜12月にカリフォルニア大学・バークレーの 数理科学研究所 (MSRI)
で行われた
Program on Galois Groups and Fundamental Groups
Organizers:
Eva Bayer, Michael Fried, David Harbater, Yasutaka Ihara,
B. Heinrich Matzat, Michel Raynaud, John Thompson
の紹介ページ 外部ﾘﾝｸ:msri.org の日本語訳をもとに
省2
357: 2024/04/20(土)09:27 ID:b3gJjkjy(4/12) AAS
これいいね
外部ﾘﾝｸ[html]:www4.math.sci.osaka-u.ac.jp
Several articles of H.Nakamura
Articles on Anabelian Geometry
H.Nakamura, A.Tamagawa, S.Mochizuki:
``The Grothendieck Conjecture on the Fundamental Groups of Algebraic Curves''
Copyright 1999 American Mathematical Society
``Sugaku Expositions'' (AMS), Volume 14 (2001), 31--53
English translation (by S.Mochizuki) from ``Sugaku'' 50(2), 1998, pp. 113-129 (Japanese).
pdf 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www4.math.sci.osaka-u.ac.jp
省19
358: 2024/04/20(土)09:29 ID:0huTH1S0(2/2) AAS
閲覧注意
>1は数学の線形代数|・|≠0を理解できない
トンデモ
↓
0426 １３２人目の素数さん
2023/10/29(日) 14:22:15.63
IUTは、ガリレオ天動説です
だんだん、理解され受け入れられてきたよ
359: 2024/04/20(土)09:35 ID:JoipkNiz(1) AAS
inter universe がだめだとどれだけいわれたらこの能無しは理解できるんだろう？
360: 2024/04/20(土)10:09 ID:b3gJjkjy(5/12) AAS
これいいね
外部ﾘﾝｸ:www4.math.sci.osaka-u.ac.jp
中村博昭
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www4.math.sci.osaka-u.ac.jp
「曲線の moduli 空間の基本群への Galois 作用」 （12p.) pdf
---２００４年度整数論サマースクール報告集所収
361: 2024/04/20(土)18:19 ID:b3gJjkjy(6/12) AAS
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2chｽﾚ:math
0065１３２人目の素数さん
2024/04/20(土) 12:39:54.74ID:cvhHH4p1
>>0056
＞問題は、スキームの基本群を分解し無限の異質な宇宙を群論的に構成するという点
＞これを大域的な「加群」で考えると、図式が同型になるから無意味だと言われてる
＞望月らはそうじゃない、違う宇宙なんだと反論している
Joshiの例で、局所を単に加えた(積分）では素点ｐ、無限素点のときにギャップがでることは明らか。
但し下記リンクの頁10で、”素点の連動”の法則は、”積の公式の法則”があり、”近似を局所的なあるを満たすように用意し”、積分による大域的な式で、”積公式はそうして入手した緒々の局所的な情報を「貼り合わせる」役割を果たす”とある。。
省13
362: 2024/04/20(土)19:49 ID:b3gJjkjy(7/12) AAS
これいいね
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Teichmüller space
In mathematics, the Teichmüller space
T(S) of a (real) topological (or differential) surface
S is a space that parametrizes complex structures on
S up to the action of homeomorphisms that are isotopic to the identity homeomorphism. Teichmüller spaces are named after Oswald Teichmüller.
History
Moduli spaces for Riemann surfaces and related Fuchsian groups have been studied since the work of Bernhard Riemann (1826-1866), who knew that
6g-6 parameters were needed to describe the variations of complex structures on a surface of genus
省4
363: 2024/04/20(土)20:04 ID:b3gJjkjy(8/12) AAS
これいいね
外部ﾘﾝｸ:www.youtube.com
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
A History and Survey of the Subject by Pierre Lochak
International Centre for Theoretical Sciences 2024/02/26
DISCUSSION MEETING : GROTHENDIECK TEICHMÜLLER THEORY
ORGANIZERS : Pierre Lochak (CNRS and IMJ-PRG, Paris, France) and Devendra Tiwari (Bhaskaracharya Pratishthana, Pune, India)
DATE : 26 February 2024 to 01 March 2024
VENUE : Madhava Lecture Hall, ICTS Bengaluru and Online
Beyond “dessins d’enfant”, the theory nowadays referred to as Grothendieck-Teichmüller theory (Galois-Teichmüller in Grothendieck’s manuscripts) may well represent the main new theme in the Esquisse d'un Programme, as confirmed in the Promenade à travers une œuvre (which is part of Récoltes et semailles). Simplifying a great deal one may say that Grothendieck’s main ideas were taken up especially by Y. Ihara, V. Drinfeld and P. Deligne in the mid and late eighties.They derive in large part from the elementary remark that the fundamental group remains the only invariant in classical algebraic topology which is not a priori abelian .Making this remark fruitful probably required the genius of Alexandre Grothendieck . The fact is that out of it Grothendieck-Teichmüller theory (on which we will concentrate) and Anabelian Geometry (including the so-called “section conjecture”) were born.
省2
364: 2024/04/20(土)20:05 ID:b3gJjkjy(9/12) AAS
つづき
A significant bifurcation occurred in Deligne’s 1989 paper on Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points,in which the author brings in the rich toolbox of rational homotopy theory and motives (at least what we nowadays call mixed Tate motives),at the expense of using the prounipotent (not profinite) fundamental group. The ensuing version of the Grothendieck-Teichmüller group of course does not contain the Galois group anymore but this linearized version of the theory lends itself more easily to computations (e.g. those involving Multiple Zeta Values) and has become largely prevalent (including lately in deformation theory).
In this week long meeting we will discuss both versions (which could also be termed “linear” and “nonlinear”), including in particular an introduction to the profinite (nonlinear) version of the theory, which seems much closer to what Grothendieck initially had in mind and has been hitherto much less publicized. There will be mini-courses by subject experts of introductory nature for younger researchers, who were not exposed to these topics before.There will also be a few research talks by active researchers to explain the current state of the art in the subject of the meeting.
Accommodation will be provided for outstation participants at our on campus guest house.
ICTS is committed to building an environment that is inclusive, non discriminatory and welcoming of diverse individuals. We especially encourage the participation of women and other under-represented groups.
Eligibility Criteria: Senior Ph.D. students, postdocs, and faculties working on topics related to the theme of the meeting.
(引用終り)
365: 2024/04/20(土)20:09 ID:lgVZM1FC(1/2) AAS
This multi-volume set deals with Teichmüller theory in the broadest sense, namely, as the study of moduli space of geometric structures on surfaces, with methods inspired or adapted from those of classical Teichmüller theory. The aim is to give a complete panorama of this generalized Teichmüller theory and of its applications in various fields of mathematics.
The volumes consist of chapters, each of which is dedicated to a specific topic. The present volume has 19 chapters and is divided into four parts:
The metric and the analytic theory (uniformization, Weil–Petersson geometry, holomorphic families of Riemann surfaces, infinite-dimensional Teichmüller spaces, cohomology of moduli space, and the intersection theory of moduli space).
The group theory (quasi-homomorphisms of mapping class groups, measurable rigidity of mapping class groups, applications to Lefschetz fibrations, affine groups of flat surfaces, braid groups, and Artin groups).
Representation spaces and geometric structures (trace coordinates, invariant theory, complex projective structures, circle packings, and moduli spaces of Lorentz manifolds homeomorphic to the product of a surface with the real line).
The Grothendieck–Teichmüller theory (dessins d'enfants, Grothendieck's reconstruction principle, and the Teichmüller theory of the soleniod).
This handbook is an essential reference for graduate students and researchers interested in Teichmüller theory and its ramifications, in particular for mathematicians working in topology, geometry, algebraic geometry, dynamical systems and complex analysis.
The authors are leading experts in the field.
366: 2024/04/20(土)20:11 ID:b3gJjkjy(10/12) AAS
P.Lochakは、中村先生のホームページに３カ所出てくる
(参考)
外部ﾘﾝｸ[html]:www4.math.sci.osaka-u.ac.jp
Articles on Anabelian Geometry
Y.Ihara, H.Nakamura:
``Some illustrative examples for anabelian geometry in high dimensions''
in `Geometric Galois Actions I' (L.Schneps, P.Lochak eds.)
London Math. Soc. Lect. Note Series 242 (1997), pp. 127--138.
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www4.math.sci.osaka-u.ac.jp
H.Nakamura:
省9
367(1): 2024/04/20(土)20:32 ID:lgVZM1FC(2/2) AAS
The Teichmüller space of a surface was introduced by O. Teichmüller in the 1930s. It is a basic tool in the study of Riemann's moduli spaces and the mapping class groups. These objects are fundamental in several fields of mathematics, including algebraic geometry, number theory, topology, geometry, and dynamics.
The original setting of Teichmüller theory is complex analysis. The work of Thurston in the 1970s brought techniques of hyperbolic geometry to the study of Teichmüller space and its asymptotic geometry. Teichmüller spaces are also studied from the point of view of the representation theory of the fundamental group of the surface in a Lie group
368(2): 2024/04/20(土)22:59 ID:b3gJjkjy(11/12) AAS
>>367
ありがとうございます
こういう重要ポイントをさらっとコピーできるのは、御大かな
さて、下記の動画がよさげです
（宇宙の説明は、間違った説明ですが、それ以外は）
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
宇宙際タイヒミューラー理論 JPアクチュアリーコンサルティング（JPAC)株式会社
JPアクチュアリーコンサルティング株式会社
2020/04/16
@user-sx2zr3rs4q
省2
369: 2024/04/20(土)23:25 ID:b3gJjkjy(12/12) AAS
>>368 補足
>宇宙際タイヒミラー理論は、グロタンデーク宇宙を無限に格子状に並べて垂直方向はlog矢印で固定してるが水平方向は宇宙にかかわりのある矢印で結んでいて
ここ、完全に望月さんのミスリードに乗せられています
・IUT最新文書は、下記2024年03月24日付けのものです
・なお、補足下記Mathlogで「前節で述べた通り本稿で考察する対象であるGrothendieck宇宙は，圏論を含む現代数学の多くを展開するにたる大きさを持つ集合である」
ということです。なお正確には
「Grothendieck宇宙は，圏論を含む現代数学の多くを展開するにたる大きさを持つ宇宙（集合とクラスのあつまり）である」でしょうね
”大きさを持つ集合”というと、パラドックスを誘導するのでまずいですね
＜IUT最新文書＞
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
省26
370: 2024/04/21(日)09:25 ID:+2zd27AU(1/12) AAS
これいいね
四半世紀前だが、ここまで戻らないと、理解がついていかない
中村博昭先生の話は、分かり易い
”集中講義の機会をお世話くださった田口雄一郎氏”とありますが
田口雄一郎先生は、このころから遠アーベルのワールドの住人だったのですね（当時は北大か）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www4.math.sci.osaka-u.ac.jp
１９９９年度北大集中講義
レクチャーノート
ガロア・タイヒミュラー群の理論
中村博昭述
省17
371: 2024/04/21(日)09:52 ID:+2zd27AU(2/12) AAS
>末尾に、講義で十分に立ち入ることの出来なかった詳細などを補うために、簡単な文献案内を追加した。
文献案内がいい
岩澤健吉先生から始るのか！
伊原康隆先生や
P.Lochak先生も出てきます
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www4.math.sci.osaka-u.ac.jp
参考文献
本文中に引用した、基本群とガロア群に関する次の教科書は、基礎的な事項から正確に学べる大変有用な書物です。
[岩澤]岩澤健吉,『代数函数論増補版』 岩波書店1952
数論的基本群の組織的研究は、Grothendiek,Deligneそしてわが国の伊原康隆先生により、独立の観点から進められてきました。
省2
372: 2024/04/21(日)10:50 ID:+2zd27AU(3/12) AAS
用語 宇宙(universe)
に対する混乱は、2002年8月頃の下記文書でも見られる
しかし、用語 宇宙(universe)の混乱はあっても、それはIUTの数学としての成否に直結しない
むしろ、アイデアの飛翔をうながしたかもしれない
(参考)
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
望月新一論文
講演のアブストラクト・レクチャーノート
[4] Anabelioidの幾何学とTeichmuller理論. PDF
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
省26
373: 2024/04/21(日)10:50 ID:+2zd27AU(4/12) AAS
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
宇宙 (数学)
数学、とりわけ集合論や数学基礎論における宇宙とは、特定の状況において考察される実体のすべてを元として含むような類のことである。このアイデアにはいくつものバージョンがあるため、項目を分けて説明する。
ある特定の文脈において
おそらく最も単純なバージョンは、研究対象が特定の集合で閉じている限り、任意の集合が宇宙であるというものである。 もし研究対象が実数として形式化されていれば、実数の集合である実数直線 R は考察下において宇宙になりうる。 これは1870年代から1880年代にかけてゲオルク・カントールが実解析の応用として、初の現代的な集合論と濃度の開発に用いた宇宙である。 カントールが当時興味を持っていた集合は、R の部分集合だった。
この宇宙の概念はベン図の使用に反映されている。 ベン図において、作用は伝統的に宇宙 U を表す大きな四角形の内部に生じる。 一般的に集合が U の部分集合であれば、それは円によって表現される。集合 A の補集合は A の円の外側の四角形の部分によって与えられている。
通常の数学
与えられた X (カントールの場合には、 X = R) の部分集合を考えれば、宇宙は X の部分集合の集合の存在を要請する。 (例えば、X の位相は X の部分集合の集合である。) X の様々な部分集合の集合は、それ自体は X の部分集合にならないが、代わりに X の冪集合 PX の要素はX の部分集合になる。 これに続き、研究対象は宇宙が P(PX) になるような場合における X の部分集合の集合などを構成する。
省10
374: 2024/04/21(日)12:40 ID:+2zd27AU(5/12) AAS
グロタンディークのガロア理論
むずいが、この程度は「常識だ！」と言えないと、IUTは分らない
むずいが勉強中です
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ガロア圏
ガロア圏（ガロアけん、Galois category）とは古典ガロア理論が展開される、いくつかの公理を満たす圏である。
元来古典ガロア理論および位相幾何学における基本群の理論の類似点が指摘されていたが、アレクサンドル・グロタンディークがガロア理論の成り立つ公理系を明言し、一般的なガロア圏の理論を構成した。古典ガロア理論および基本群の理論はこの理論の基本的な例になる。この理論はグロタンディークのガロア理論と呼ばれることもある。
ガロア圏成立の経緯
グロタンディークのガロア理論、ガロア圏は、体のガロア理論の抽象的なアプローチであり、1960年頃に開発され、代数幾何学の設定おいて代数トポロジー(algebraic topology)の基本群の研究方法をもたらした。体論の古典的設定の中で、1930年代頃から標準的となっている線型代数を基礎としたエミール・アルティン(Emil Artin)の理論に代わる見方をもたらした。
アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)のアプローチは、固定された射有限群 G に対して有限 G-集合の圏を特徴付ける圏論的性質に関係している。例えば、G として ˆZ と表記される群が考えられる。この群は巡回加法群 Z/nZ の逆極限である。あるいは同じことであるが、有限指数の部分群の位相に対する無限巡回群の完備化である。すると、有限 G-集合は G が商有限巡回群を通して作用している有限集合 X であり、X の置換を与えると特定することができる。
省7
375: 2024/04/21(日)13:14 ID:+2zd27AU(6/12) AAS
これいいね
この程度が私には合っているかも
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
成18年度(第28回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成18年7月31日〜8月3日開催)
ガロア理論とその発展
玉川安騎男
§0. はじめに
ガロア理論とは、Evariste Galois (1811-1832) によって創始された、代数方程式の解の置換に関する理論です。その基本定理は「体」と「群」という代数学の基本概念を用いて述べることができ、現在でも整数論の研究の中で最も基本的な道具の１つであり続けています。
最後に、遠アーベル幾何など、現代の整数論・数論幾何におけるガロア理論の展開についても紹介したいと思います。
5.1. 無限次ガロア理論
省16
376: 2024/04/21(日)13:15 ID:+2zd27AU(7/12) AAS
つづき
5.4. スキームの基本群と遠アーベル幾何
前節で「絶対的ガロア理論」という遠アーベル幾何の精神について、例を挙げて説明しましたが、なぜ「幾何」なのか、なぜ「遠アーベル」なのか、ということについては説明しませんでした。
以下これについて説明して本稿を終わりたいと思います。
体の一般化として、環という概念があります。体の定義の中で、除法（÷）に関する部分（及び1=0という条件）を全て削除したものが環の定義になります。（正確には、これは「可換環」の定義ですが、ここでは可換環を単に環と呼ぶことにします。）つまり、環とは、加法、減法、乗法が自由にできるような集合のことを言います。体のほか、整数環Zや多項式環K[x1,...,xn]、K[x]などが環の例になります。環の典型的な現れ方として、与えられた空間Xの上の（適当な条件を満たす）関数全体のなす環があります。この場合、関数の値の和、差、積を考えることにより、関数の和、差、積を定義します。（1,0は、それぞれ恒等的に値1,0を取る関数として定義します。）
実は、任意の環はこのようにして得られることが知られています。より正確に言うと、与えられた環Rに対し、アフィンスキームと呼ばれるある種の空間Spec(R)が定まり、Rは空間Spec(R) 上の正則関数全体のなす環と自然に同一視されます。
更に、環を考えることとアフィンスキームを考えることは本質的に同等であることが知られています。
一般のスキームは、アフィンスキームをはり合わせることにより定義されます。１９５０年代後半にグロタンディークによって定義されたこのスキームは、代数多様体（≈多項式で定義される図形）の概念を大きく一般化するもので、現在の代数幾何学・数論幾何学の基礎をなす概念です。グロタンディーク自身により、体のガロア理論は、スキームのガロア理論へと一般化されました。この理論で体の絶対ガロア群に当たるものが、スキームの基本群です。絶対ガロア群は、与えられた体の（有限次分離）拡大体全体を統制する副有限位相群でしたが、基本群は、与えられたスキームの（有限エタール）被覆全体を統制する副有限位相群です。スキームの基本群は、通常の位相幾何（トポロジー）で扱う位相空間の基本群の代数的（ないし代数幾何的）な類似と見ることができます。
１９８０年代初頭、グロタンディークは、遠アーベル幾何という新しい幾何を提唱しました。その基本的な発想の一つは、遠アーベルスキームと呼ばれるある種のスキームの幾何は、その（アーベル群から程遠い）基本群によって完全に決定されるだろう、というものです。グロタンディークの提唱した形での遠アーベル幾何は、遠アーベルスキームの一般的な定義が見つかっていないなど、理論的にはまだまだ発展途上の状態ですが、既にいくつもの重要な結果が得られています。例えば、ノイキルヒ・内田の定理は、（グロタンディークが遠アーベル幾何を提唱する以前の結果ですが）遠アーベル幾何における一つの基本的な結果となっています。また、近年では、代数曲線やそのモジュライ空間の遠アーベル幾何の研究が、（本研究所を中心に）さまざまな角度から進められ、興味深い結果がいくつも得られています。このように、１９世紀前半に生まれたガロア理論は、現代もなお強い生命力を持って進化しています。
(引用終り)
省1
377: 2024/04/21(日)14:46 ID:+2zd27AU(8/12) AAS
これいいね
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
絶対ガロア群
体 K の絶対ガロア群 GK（ぜったいガロアぐん、英: absolute Galois group）とは、K の分離閉包 Ksep の K 上のガロア群のことである。これは、K の代数的閉包の自己同型のうちで K を固定するもの全てから成る群と一致する。絶対ガロア群は副有限群であり、内部自己同型による違いを除いて well-defined である。
K が完全体であれば Ksep は K の代数的閉包 Kalg と等しい。K が標数0の場合や、K が有限体の場合がこれにあたる。
例
・代数的閉体の絶対ガロア群は単位元のみからなる自明な群である。
・実数体の絶対ガロア群は複素共役と恒等写像からなる位数2の巡回群である。これは、複素数体 C が 実数体 R の分離閉包であり、[C:R] = 2 であることから分かる。
・有限体 K の絶対ガロア群は次の群
𝑍^=lim ←𝑍/𝑛𝑍
省12
378: 2024/04/21(日)16:00 ID:+2zd27AU(9/12) AAS
これいいね
Florian Pop先生、さすがですね
外部ﾘﾝｸ[html]:swc-math.github.io
Arizona Winter School 2005
Florian Pop: “Anabelian phenomena in arithmetic and geometry”
Course description
Course notes
Video:
Lecture 1: video
Lecture 2: video
省18
379: 2024/04/21(日)19:40 ID:+2zd27AU(10/12) AAS
ホッジシアター（ホッジ劇場）とは
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
宇宙際タイヒミュラー理論
理論の範囲
遠アーベル的な復元、変形手順のインフラストラクチャは、Θリンクやlogリンクなど、いわゆるホッジ劇場間の特定のリンクによってデコードされる[66]。
これらのホッジ劇場は、IUTの2つの主要な対称性を使用する。乗法演算と加法幾何学である。ホッジ劇場は、アデールやイデールなどの古典的オブジェクトをグローバル要素に関連して一般化し、一方で、望月のホッジ・アラケロフ理論に登場する特定の構造を一般化する。劇場間のリンクは、環またはスキーム構造と互換性がなく、従来の数論幾何学の外部で実行される。 ただし、それらは特定の群構造と互換性があり、絶対ガロア群や特定のタイプの位相群はIUTで基本的な役割を果たす。関数性の一般化である多重放射性の考慮事項は、3つの穏やかな不確定性を導入する必要があることを意味している[66]。
外部ﾘﾝｸ:ja.ユアペディア.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
ホッジ舞台[編集]
まず、初期テータ情報が与えられる。
省9
380: 2024/04/21(日)19:59 ID:+2zd27AU(11/12) AAS
ホッジシアター（ホッジ劇場）とは (2)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
宇宙際Teichm¨uller 理論入門(Introduction to Inter-universal Teichm¨uller Theory)
By星裕一郎(Yuichiro Hoshi)
謝辞
本稿のからまでの部分は年月に京都大学数理解析研究所で行われた研究集会宇宙際タイヒミューラー理論の検証と更なる発展での筆者による講演数体の単遠アーベル的復元の内容の一部をまとめて更に説明を付け加えたものでありそして本稿のからまでの内容をもとに年月に九州大学の数論幾何学セミナーにおいて宇宙際理論入門という題目の講演を行いましたこれら講演の機会を与えてくださった望月新一先生田口雄一郎先生にお礼申し上げます
§20.加法的Hodge劇場
§23.θHodge劇場
§25.乗法的Hodge劇場
§26.Hodge劇場と対数リンク
省4
381: 2024/04/21(日)20:15 ID:+2zd27AU(12/12) AAS
ホッジシアター（ホッジ劇場）とは (3)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
続・宇宙際Teichm¨uller 理論入門(Introduction to Inter-universal Teichm¨uller Theory, Continued)
By星裕一郎(Yuichiro Hoshi)
謝辞
本稿のそれぞれ§2と§3,§7と§16と§17と§18,§1と§4と§5は
2015年12月に京都大学数理解析研究所で行われた研究集会
"代数的整数論とその周辺2015”
での筆者による連続講演宇宙際理論入門の
第1講演,第2講演,第3講演
省6
382: 2024/04/26(金)15:48 ID:em70EpiX(1/4) AAS
再録
2chｽﾚ:math
山下剛のオモチャのたとえでフーリエ変換と同じ発想でいくのだろ。
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
入れものにいれたぼやけた像でも、NMRなどではフーリエ変換の積算回数で、ぼやけのS/N比をクリアにしていく。
>入れものにいれたぼやけた像でも、NMRなどではフーリエ変換の積算回数で、ぼやけのS/N比をクリアにしていく。
あ、そのフーリエ変換の例えは分かり易い
同意です
フーリエ変換を、宇宙と宇宙の変換とは言わない
普通の関数の世界をフーリエ変換で別の世界に写すようなこと（またその逆変換）だと思う
383(2): 2024/04/26(金)15:51 ID:em70EpiX(2/4) AAS
再録
2chｽﾚ:math
問題なのはその“ぼやけた数論”とは何か、どう定義するんかって話
>問題なのはその“ぼやけた数論”とは何か、どう定義するんかって話
まさにまさに
下記”blurring”（ぼやけ）がSS文書の論点です
望月氏の”blurring”（ぼやけ）については、SCHOLZE氏は「訳わからん説明だ」みたいな扱い
（わざと、”blurring”を強調したとしか思えない書き方です）
ところで、”blurring”はおそらく 星氏の 宇宙際Teichm¨uller 理論入門（下記）
§10. 軽微な不定性 P113 (Ind1),(Ind2), (Ind3)と関連していると思われます
省29
384: 2024/04/26(金)16:23 ID:em70EpiX(3/4) AAS
(Ind 1,2,3)について：SCHOLZE氏は
下記では まじめに取り上げていないようです
(参考)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.uni-bonn.de
Whyabc is still a conjecture PETER SCHOLZE AND JAKOB STIX Date: July 16, 2018.
P9
2.2. Proof of [IUTT-3, Corollary 3.12].
As we indicated earlier, there is no clear distinction between abstract and concrete pilot objects in Mochizuki’s work,
so it is argued in [IUTT-3, Corollary 3.12] that the multiradial algorithm [IUTT-3, Theorem 3.11]*12 implies that up to certain indeterminacies, e.g. (Ind 1,2,3) (without which the conclusion would be obviously false),
this becomes an identification of concrete Θ-pilot objects and concrete q-pilot objects (encoded via their action on processions of tensor packets of log-shells), and then the inequality follows directly.
省9
385: 2024/04/26(金)16:32 ID:em70EpiX(4/4) AAS
(Ind 1,2,3)について：原文は下記です
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
望月新一
[3] Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice. PDF NEW !! (2020-05-18)
P154
for the collection of data (a), (b), (c) regarded up to indeterminacies of the following two types:
(Ind1) the indeterminacies induced by the automorphisms of the procession of D-prime-strips Prc(n,◦DT);
(Ind2) for each vQ ∈ Vnon Q (respectively, vQ ∈ Varc Q ), the indeterminacies induced by the action of independent copies of Ism [cf. Proposition 1.2, (vi)] (respectively, copies of each of the automorphisms of order 2 whose orbit constitutes the poly-automorphism discussed in Proposition 1.2, (vii)) on each of the direct summands of the j+1 factors appearing in the tensor product used to define IQ(S± j+1;n,◦DvQ ) [cf. (a) above; Proposition 3.2, (ii)] —where we recall that the cardinality of the collection of direct summands is equal to the cardinality of the set of v ∈ V that lie over vQ.
省1
386: 2024/04/26(金)19:29 ID:CEPjIAQZ(1) AAS
>>383
・星裕一郎 IUTT入門
>本稿には, 説明のための不正確な記述が多数存在します.
また, 当 然のことですが, 何か物事を説明する際, その説明の方法は一意的ではなく,
そして, “最 善なもの” というものも通常は存在しないと思います.
本稿で行われている解説は, あく まで, “ある時点での筆者が選択した方法” に
よる 1 つの解説に過ぎません. 別の方が本稿 のような解説を行えば,
まったく別の方法による解説が得られるでしょう.
あるいは, 筆 者が数年後に再びこの理論の解説を試みれば,
また別の方法による解説が得られるかもし れません.
省3
387: 2024/04/26(金)22:22 ID:A7Cl6sKK(1) AAS
IUT入門 星裕一郎
玉川安騎男先生, 松本眞先生、安田正大先生、田口雄一郎先生、査読者
何人もの人の目を経たIUT入門だということを、理解しましょう！
外部ﾘﾝｸ[pdf]:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
RIMS Kˆokyˆuroku Bessatsu B76 (2019), 79–183
宇宙際Teichm¨uller 理論入門
星裕一郎
P180
謝辞
そのセミナーを共に乗り切りそこでの数々の議論にお付き合いくださった玉川安騎男先生, 松本眞先生に感謝申し上げます. そして, 本稿に対していくつもの有益な指摘をくださった安田正大先生と査読者の方に感謝申し上げます.本稿の§1 から§3までの部分は2015年3月に京都大学数理解析研究所で行われた研究集会“宇宙際タイヒミューラー理論の検証と更なる発展”での筆者による講演“数体の単遠アーベル的復元”の内容の一部をまとめて更に説明を付け加えたものであり,そして, 本稿の§1から§8までの内容をもとに2015年6月に九州大学の数論幾何学セミナーにおいて“宇宙際Teichm¨uller 理論入門” という題目の講演を行いました. これら講演の機会を与えてくださった望月新一先生,田口雄一郎先生にお礼申し上げます.
388: 2024/04/27(土)10:20 ID:ow5Z8f7w(1/3) AAS
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
望月新一
講演のアブストラクト・レクチャーノート
[4] Anabelioidの幾何学とTeichmuller理論. PDF 2002年8月
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
§1 p進双曲曲線を他宇宙から見る
我々が通常使用している、スキームなどのような集合論的な数学的対象は、実は、艤論を開始した際に採用された「集合論｣、つまり、あるGrothendieck宇宙の遷択に本質的に依存しているのである。
この「1つの集合論」の採用は、もっと具体的にいうと、
「あるラベル（＝議論に登場する集合やその元の名前）のリストの選択」
と見ることもできる。すると、次のような問い掛けが生じる：
省24
389: 2024/04/27(土)10:34 ID:ow5Z8f7w(2/3) AAS
宇宙とは？
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
宇宙 (数学)
集合論や数学基礎論における宇宙とは、特定の状況において考察される実体のすべてを元として含むような類のことである。このアイデアにはいくつものバージョンがあるため、項目を分けて説明する。
ある特定の文脈において
おそらく最も単純なバージョンは、研究対象が特定の集合で閉じている限り、任意の集合が宇宙であるというものである。 もし研究対象が実数として形式化されていれば、実数の集合である実数直線 R は考察下において宇宙になりうる。 これは1870年代から1880年代にかけてゲオルク・カントールが実解析の応用として、初の現代的な集合論と濃度の開発に用いた宇宙である。 カントールが当時興味を持っていた集合は、R の部分集合だった。
この宇宙の概念はベン図の使用に反映されている。 ベン図において、作用は伝統的に宇宙 U を表す大きな四角形の内部に生じる
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Universe (mathematics)
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省11
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