[過去ﾛｸﾞ] 楕円関数・テータ関数・モジュラー関数 (309ﾚｽ)
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137(1): 2020/12/05(土)16:21 ID:IssG98Nd(1/3) AAS
>>135
定理3.7の公式は
q=○((1/2)τ),w=○((1/2)z)
とおくと、以下のように書ける

Σ(m=-∞〜∞) q^(m^2)w^(2m)
=Π(m=1〜∞) (1-q^2m)(1+q^(2m-1)w^2)(1-q^(2m-1)w^(-2))

上記の公式はJacobiの三重積公式と呼ばれている

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138(1): 2020/12/05(土)16:22 ID:IssG98Nd(2/3) AAS
>>137
Jacobiの三重積公式の公式で
w=iq^(1/4)　q=q^3/2
を代入すると、Eulerの5角数公式を得る

Σ(m=-∞〜∞)(-1)^m*q^(m(3m+1)/2)
=Π(m=1〜∞) (1-q^m)

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139: 2020/12/05(土)16:24 ID:IssG98Nd(3/3) AAS
>>138
Eulerの5角数公式の右辺を展開すると
Π(m=1〜∞) (1-q^m)
=1+Σ(n=1〜∞)q^n[E(n)-U(n)]

ここで
E(m)は整数mを偶数個の相異なる正整数の和に表す書き方の数
U(m)は整数mを奇数個の相異なる正整数の和に表す書き方の数

★定理3.8
正の整数mが与えられたとき、
正の整数nが存在して
省5

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