楕円関数・テータ関数・モジュラー関数

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40: 2020/11/07(土)11:42 ID:zpeR/n4w(5/7) AAS
>>38
ま、素人ですから・・・

知ったところで、自己満足ですから、
数学者として結果を出すなんてことは
到底あり得ません

そこんとこ、ご理解いただいた上で
お付き合い願えれば幸いです
（ひたすら低姿勢）

41(1): 2020/11/07(土)11:51 ID:zpeR/n4w(6/7) AAS
代数幾何学講義
外部ﾘﾝｸ:www.maruzen-publishing.co.jp

なんか面白そう・・・付録が

ところで「レトリの定理」は正しくは「トレリの定理」ですよね？

42(1): 2020/11/07(土)17:50 ID:zpeR/n4w(7/7) AAS
>>41
結局、amazonで古書を注文した

43(1): 2020/11/08(日)09:39 ID:ylCwY4vu(1) AAS
梅村でも竹内でもマンフォードTâta Iでもいいからまずあの程度は読もう
レッドブックやTata II,IIIはそのあとで良い
楕円関数はナントカとも関係があるようですとかwiki的な知識だけで
数学的な中身を勉強しない知ったかになっても仕方ないよ

44: 2020/11/08(日)15:07 ID:bKzT4Sg/(1/2) AAS
>>43
Tata?と?、?の違いってなんですか？

45(1): 2020/11/08(日)16:39 ID:XMF9GTdc(1) AAS
Tataは全部DLできるのだから読めばいい
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.dam.brown.edu
Iはテータ関数の入門書だが、IIは微分方程式への応用などIIIは代数幾何寄り

46: 2020/11/08(日)17:03 ID:bKzT4Sg/(2/2) AAS
>>45
早速ＤＬしてみました
おっしゃる通り　?で多変数テータ（リーマン・テータ）とか
ヤコビ多様体とかジーゲル・モジュラー群とか出てきますね
ということで、まず?を読んでみます

47(1): 2020/11/10(火)20:21 ID:neBqQ1Mo(1) AAS
>>42
本日届いた
付録の「代数曲線とヤコビ多様体」を読んでみようと思う

48(1): 2020/11/11(水)00:22 ID:Rh2zJrrm(1) AAS
読んだら感想ヨロ

49: 2020/11/13(金)15:20 ID:ppGaUUO3(1) AAS
梅村本の誤植に気づいた奴はいねえだろうな
まあ本質とは全然関係ないところだが

50: 2020/11/13(金)16:26 ID:NI5QsYsE(1) AAS
梅村本の誤植は昔の初版の時にあったのを刷り直した時に直しているが
まだいくつか残ってるんだろうな

51: 2020/11/13(金)20:28 ID:33PXHoNr(1) AAS
増補新装版にも残ってるの？

52: 2020/11/14(土)07:05 ID:D68Dfh0K(1/22) AAS
>>47
結局、梅村「楕円関数論」を読むことにした
>>48
このスレッドでまとめを書いてみることにする

53: 2020/11/14(土)07:07 ID:D68Dfh0K(2/22) AAS
■定義1.1　（周期の定義）

f(u)をC上定義された有理型関数とする

複素数ωに対して
f(u+ω)=f(u)
が成り立つとき、
ωは関数f(u)の周期であるという

54: 2020/11/14(土)07:08 ID:D68Dfh0K(3/22) AAS
●命題1.1

C上定義された有理型関数f(u)の
周期全体のなす集合Ωは
Cの加法群の部分群になる

55: 2020/11/14(土)07:09 ID:D68Dfh0K(4/22) AAS
●命題1.1

C上定義された有理型関数f(u)の
周期全体のなす集合Ωは
Cの加法群の部分群になる

56: 2020/11/14(土)07:10 ID:D68Dfh0K(5/22) AAS
●命題1.2

有理型関数f(u)が定数でなければ、
加群Ωは高々二つの元で生成される

57: 2020/11/14(土)07:10 ID:D68Dfh0K(6/22) AAS
■定義1.2　（楕円関数の定義）

C上定義された有理型関数f(u)が、
R上1次独立な複素数ω1,ω2を周期とするとき、
f(u)は2重周期ω1,ω2を持つ楕円関数であるという

58: 2020/11/14(土)07:12 ID:D68Dfh0K(7/22) AAS
□複素トーラス　その１

ω1,ω2をR上1次独立な複素数とする

ω1,ω2から生成されるCの加法部分群をΩで表す

加法群Cの部分群Ωに関する剰余群C/Ωを考える

59: 2020/11/14(土)07:12 ID:D68Dfh0K(8/22) AAS
■定義1.3　（周期平行四辺形の定義）

[u0]={u=u0+rω1+sω2∈C|0<=r,s<=1}とおく

[u0]を周期平行四辺形と呼ぶ

60: 2020/11/14(土)07:13 ID:D68Dfh0K(9/22) AAS
●命題1.3

任意の複素数uが与えられたとき、

u≣u' mod Ω

となる[u0]が唯一つ存在する

61: 2020/11/14(土)07:14 ID:D68Dfh0K(10/22) AAS
□複素トーラス　２

U0を周期平行四辺形の内点の集合
~U0をU0の閉包とする

位相空間C/Ωは平行四辺形~U0の縁を
同一視することにより得られる

62: 2020/11/14(土)07:15 ID:D68Dfh0K(11/22) AAS
□複素トーラス　３

位相空間C/Ωは常に🍩（円環面）と同相であるが
これは位相空間であるばかりでなく
複素1次元あるいは実2次元の多様体でもある

複素1次元の複素多様体をRiemann面という
C/Ωはコンパクトである
コンパクトRiemann面の穴の数は種数と呼ばれ
その重要な位相不変量である
🍩には穴がちょうど１個あるので、C/Ωの種数は1である
すなわちC/Ωは種数1のコンパクトRiemann面である
省2

63: 2020/11/14(土)07:16 ID:D68Dfh0K(12/22) AAS
□複素トーラス　４

種数1のコンパクトRiemann面は楕円曲線と呼ばれる
楕円関数論は種数1のRiemann面の理論である
Ωを周期とする楕円関数は
複素多様体C/Ωの有理型関数に他ならない

1次元複素多様体としてC/Ωを考えるとき
複素トーラスC/Ω
コンパクトRiemann面C/Ω
複素多様体C/Ω
などと書くことにする

64: 2020/11/14(土)07:18 ID:D68Dfh0K(13/22) AAS
□楕円関数体
ω1,ω2をR上1次独立な複素数とする

ω1,ω2を固定して考える

Ω=(ω1,ω2)を周期に持つ楕円関数全体をKと書くことにする

Kには以下の性質がある

1)定数関数はKに属する
2)f(u),g(u)∈Kならば、f(u)±g(u)∈K
3)f(u),g(u)∈Kならば、f(u)g(u)∈K
4)f(u),g(u)∈Kで、g(u)≠0ならば、f(u)/g(u)∈K
省5

65: 2020/11/14(土)07:19 ID:D68Dfh0K(14/22) AAS
★定理1.1
{ω1,ω2},{ω'1,ω'2}を各々R上1次独立な複素数の組とし
Ω={ω1,ω2},Ω={ω'1,ω'2}とおく
次の集合の元の間に1対1対応が存在する

1){f:C/Ω→C/Ω'|fは複素多様体の全射正則写像}
2){φ:K(Ω')→K(Ω)|φは体のC-準同型写像}

66: 2020/11/14(土)07:19 ID:D68Dfh0K(15/22) AAS
☆系1.1
次の条件は同値である
1)コンパクトRiemann面C/ΩとC/Ω'は同型である
2)体K(Ω)とK(Ω')は同型である

67: 2020/11/14(土)07:19 ID:D68Dfh0K(16/22) AAS
つまり両者は同値である
1)幾何学的対象である種数1のコンパクトRiemann面C/Ωを考えること
2)代数的対象である楕円関数体K(Ω)を考えること

68: 2020/11/14(土)07:21 ID:D68Dfh0K(17/22) AAS
●命題1.4
楕円関数は周期平行四辺形[u0]上で有限個の極を持つ

69: 2020/11/14(土)07:22 ID:D68Dfh0K(18/22) AAS
●命題1.5
複素平面C上で正則である楕円関数f(u)は定数に限る

70: 2020/11/14(土)07:22 ID:D68Dfh0K(19/22) AAS
a_1,…,a_nを楕円関数f(u)の
周期平行四辺形[u0]上の極全体とする
a_iにおける極の位数をm_iとする
Σ(i=1〜n)m_i
を楕円関数f(u)の位数と呼ぶ

●命題1.6
楕円関数f(u)の周期平行四辺形[u0]上の
すべての極にわたる留数の総和は0である

〇系1.2
位数1の楕円関数は存在しない

71: 2020/11/14(土)07:23 ID:D68Dfh0K(20/22) AAS
●命題1.7
f(u)を位数rの楕円関数とする
任意の複素数に対して
楕円関数f(u)-cは周期平行四辺形上で
ちょうどr個の零点を持つ

72(2): 2020/11/14(土)07:24 ID:D68Dfh0K(21/22) AAS
★定理1.2(Abel)

位数rの楕円関数f(u)の周期平行四辺形[u0]の
極を　　a_1,…,a_r
零点を　b_1,…,b_r
とすると、合同式
a_1+…+a_r≣b_1+…+b_r mod Ω
が成立する

●命題1.8

位数rの楕円関数f(u)の周期平行四辺形[u0]の
極を　　a_1,…,a_r　とする
省5

73: 2020/11/14(土)07:28 ID:D68Dfh0K(22/22) AAS
感想

第１章は基礎なので、だいたいのことは知っていたが
Abelの定理1.2(>>72)は、今回初めて知った

今日以降　第2章を読む

74: 2020/11/15(日)06:13 ID:BuA8Fzkj(1/8) AAS
☆補題2.1

無限級数
S=Σ'　1/|ω|^n
はn>2なら収束し、n<=2ならば発散する
(Σ'はωが集合Ω\{0}を動くときの総和)
(\はバックスラッシュ）

☆補題2.2

n>=3ならば、級数
f_n(u)=Σ(ω∈Ω)　1/(u-ω)^n
は絶対収束し、2重周期関数を表す
省8

75(2): 2020/11/15(日)06:15 ID:BuA8Fzkj(2/8) AAS
●命題2.1

複素数cが与えられたとき、
P(u)-c=0
の解は基本周期平行四辺形上に２つ存在する
それらをb1,b2とすると
b1+b2 ≣ 0 mod Ω
が成り立つ

●命題2.2

複素数a,bについての次の条件は同値である
1) P(a)=P(b)
省10

76: 2020/11/15(日)06:16 ID:BuA8Fzkj(3/8) AAS
>>75
命題2.2より
P(ω1/2)=e1,P((ω1+ω2)/2)=e2,P(ω2/2)=e3
とおくと、cが各々e1,e2,e3のとき
方程式P(u)-c=0は2重解
u=ω1/2,(ω1+ω2)/2,ω2/2
を持つ

したがってこの3つのuに対して
P'(u)=d/du(P(u)-c)=0
である
省14

77: 2020/11/15(日)06:22 ID:BuA8Fzkj(4/8) AAS
感想

WeierstrassのP関数と、それが満たす微分方程式が出てきた
>>75の命題2.1を導くのに、さっそくAbelの定理1.2>>72を使った

78(1): 2020/11/15(日)09:26 ID:aTqarMtk(1) AAS
竹内本は、昔誰かがtex打ちしたものがまだネットに転がっている模様。

79(2): 2020/11/15(日)17:08 ID:BuA8Fzkj(5/8) AAS
g2=60Σ'1/ω^4,　g3=140Σ'1/ω^6
と置く
(Σ'はωが集合Ω\{0}を動くときの総和)

★定理2.3
WeierstrassのP関数は微分方程式
P'(u)=4P^3-g2P-g3
を満たす

定理2.2及び定理2.3より
4P^3-g2P-g3=4(P(u)-e1)(P(u)-e2)(P(u)-e3)
であり、e1,e2,e3は相異なるので
省6

80: 2020/11/15(日)17:09 ID:BuA8Fzkj(6/8) AAS
>>79
★定理2.4
WeierstrassのP関数のu=0におけるLaurent展開の係数cnは、
正の有理数を係数に持つg2,g3の多項式で書ける

☆系2.1
G_2n=Σ'1/ω^2n
は、正の有理数を係数に持つG_4,G_6の多項式で書ける

81: 2020/11/15(日)17:12 ID:BuA8Fzkj(7/8) AAS
解析写像
f~:u∈C\Ω→(P(u),P'(u))∈C^2
から、射影化により、以下の写像
f~*:C→P2
が定義できる

f~*(u)=(1,P(u),P'(u))　u∈C\Ω
f~*(u)=(0,0,1)　u∈Ω

したがって、f~*から解析写像
f:C/Ω→C*⊂P2
(C*:x0x2^2=4x1^3-g2x0^2x1-g3x0^3)
省10

82: 2020/11/15(日)17:21 ID:BuA8Fzkj(8/8) AAS
感想

WeierstrassのP関数およびその導関数を使って
複素トーラスを射影平面内に埋め込みました

>>78
そうすか

このスレは読書日記ってことで、読んだ定理のステートメントと
個人的に重要と思った説明を書くことにします
あ、でもあくまで骨だけなので肉は書きません　あしからず

83: 2020/11/18(水)19:16 ID:Z62/0mic(1/6) AAS
>>79
誤りがあったので訂正

★定理2.3
WeierstrassのP関数は微分方程式
P'^2=4P^3-g2P-g3
を満たす

85: 2020/11/18(水)19:42 ID:Z62/0mic(3/6) AAS
★定理2.8
u1+u2+u3=0のとき、
次の公式が成り立つ

1)P(u1)+P(u2)+P(u3)=a^2/4
2)(P(u1)+P(u2)＋P(u3))(4P(u1)P(u2)P(u3)-g3)=(P(u1)P(u2)+P(u2)P(u3)+P(u3)P(u1)+g2/4)^2

ただし
a=(P'(u1)-P'(u2))/(P(u1)-P(u2))

定理2.6より
P'(u1)(P(u3)-P(u2))+P'(u2)(P(u1)-P(u3))＋P'(u3)(P(u2)-P(u1))=0
したがって
省9

86: 2020/11/18(水)19:43 ID:Z62/0mic(4/6) AAS
☆補題2.3

f(u)をΩを周期とする2重周期関数とする
f(u)が偶関数であれば、f(u)はP(u)の有理式で書ける

★定理2.10

f(u)をΩを周期とする2重周期関数とする。
このときP(u)の有理式F(P(u)),G(P(u))が存在して
f(u)＝F(P(u))＋G(P(u))P'(u)
と書ける

Ωを周期とする楕円関数全体K(Ω)は楕円関数体を構成する
定理2.10は、体K(Ω)がP(u),P'(u)により、C上生成されることを示す
省9

87: 2020/11/18(水)19:47 ID:Z62/0mic(5/6) AAS
★定理2.11(Chow)

W⊂Pnを複素閉部分多様体とする
このとき斉次多項式f1,…,frが存在して
Wは、f1,…,frの共通零点の集合となる

★定理2.12

V⊂Pnを非特異射影多様体とする
このとき代数多様体V上の有理関数体C(V)は
複素多様体V上の有理型関数全体のなす体と一致する

定理2.10は、定理2.12を3次曲線
C*:x0x2^2=4x1^3-g2x0^2x1-g3x0^3
省5

88: 2020/11/18(水)19:55 ID:Z62/0mic(6/6) AAS
感想

P関数の加法公式　及び
楕円関数体がPおよびP'によって生成されること
を示しました

この後、Weierstrassのζ関数およびσ関数の話になります

89: 2020/11/20(金)02:43 ID:LfEw/wic(1) AAS
外部ﾘﾝｸ:news.yahoo.co.jp

南京慰安婦国技殺人ニホンザルをこの世から殺し尽くせ

90: 2020/11/20(金)07:05 ID:ABWRhkT+(1) AAS
昭和女のエレジー終戦間際の狂気、全裸羞恥に咽び泣く女達

外部ﾘﾝｸ:www.dmm.co.jp

91(1): 2020/11/21(土)05:37 ID:1h1BAbXo(1/10) AAS
□Weierstrassのζ関数
ζ(u)=1/u+Σ'(1/(u-ω)+1/ω+u/ω＾2)
と定義する
(Σ'はωが集合Ω\{0}を動くときの総和)

ζ'(u)=-1/u^2+Σ'(-1/(u-ω)^2+1/ω^2)
　　　=-P(u)

ζ(-u)=-ζ(u)　(※)

ω∈Ωとすると

ζ(u+ω)-ζ(u)は定数である
省13

92(1): 2020/11/21(土)05:39 ID:1h1BAbXo(2/10) AAS
●命題2.3

φ(u)を楕円関数とし、その極はすべて1位であるとする
周期平行四辺形上でのφ(u)の極を
a1,…,ar
そこでの留数を
c1,…,cn
とする
このとき、複素数c0が存在して、以下が成立する
φ(u)=c0+Σ(i=1〜r) ciζ(u-ai)

---
省5

93(2): 2020/11/21(土)05:42 ID:1h1BAbXo(3/10) AAS
さて
ζ(u)-1/u=Σ'(1/(u-ω)+1/ω+u/ω＾2)

∫[0 u] (ζ(u)-1/u)du
=∫[0 u] Σ'(1/(u-ω)+1/ω+u/ω＾2)du
=Σ'(1/(u-ω)+1/ω+u/ω＾2)
=Σ'(log(1-u/ω)+u/ω+u^2/2ω^2)

exp(Σ'(log(1-u/ω)+u/ω+u^2/2ω^2))
=Π'(1-u/ω)exp(u/ω+u^2/2ω^2)

94(1): 2020/11/21(土)05:43 ID:1h1BAbXo(4/10) AAS
>>93
□Weierstrassのσ関数

σ(u)
=u exp(∫[0 u] (ζ(u)-1/u)du)
=uΠ'(1-u/ω)exp(u/ω+u^2/2ω^2)
と定義する

exp(∫[0 u] (ζ(u)-1/u)du)
=σ(u)/u

両辺のlog微分をとると
ζ(u)-1/u=σ'(u)/σ(u)-1/u
省10

95(1): 2020/11/21(土)05:46 ID:1h1BAbXo(5/10) AAS
f(u)=σ(u-b)/σ(u-a)

ω=mω1+nω2
η=mη1+nη2
とすれば
f(u+ω)=exp(η(a-b))f(u)

したがって以下の定理がいえる

★定理2.6
g(u)を位数rの楕円関数、
その零点の完全代表系を
b1,…,br
省11

96(2): 2020/11/21(土)15:58 ID:1h1BAbXo(6/10) AAS
☆補題2.4
ωを定数とし、任意の複素数uについて、
P(u+ω)=P(u)
が成り立てば、ω∈Ωである

●命題2.7
ω1,ω2およびω1',ω2'をR上1次独立な複素数の二つの組とする
次の条件は同値である
1)uの関数として
　P(u;ω1,ω2)=P(u;ω1',ω2')
　が成り立つ
省14

97(1): 2020/11/21(土)15:58 ID:1h1BAbXo(7/10) AAS
>>96
●命題2.8
　命題2.7の1)〜3)と以下の条件は同値である
4)uの関数として
　ζ(u;ω1,ω2)=ζ(u;ω1',ω2')
　が成り立つ
5)uの関数として
　σ(u;ω1,ω2)=σ(u;ω1',ω2')
　が成り立つ

●命題2.9
省3

98(2): 2020/11/21(土)16:07 ID:1h1BAbXo(8/10) AAS
問題2.1
　g2^3-27g3^2≠0となる複素数g2,g3が与えられたとき、
　３次曲線
　C*:x0x2^2=4x1^3-g2x0^2x1-g3x0^3
　を考える、
　このとき、R上1次独立な複素数ω1,ω2が存在して、写像
　C/Ω→P2：u→[1,P(u;ω1,ω2),P'(u;ω1,ω2)]
　によってC/Ωと３次曲線C*は同型になるか？

問題2.2
　g2^3-27g3^2≠0となる複素数g2,g3が与えられたとき、
省3

99(1): 2020/11/21(土)16:08 ID:1h1BAbXo(9/10) AAS
>>98
☆補題2.5
　g2(e^(2πi/3),1)=0

☆補題2.6
　g3(i,1)=0

★定理2.13
　任意の複素数aに対して
　J(ω1,ω2) = 1728g2^3(ω1,ω2)/(g2^3(ω1,ω2)-27g3^2(ω1,ω2)) = a
　となるようなR上1次独立な複素数ω1,ω2が存在する

100: 2020/11/21(土)16:18 ID:1h1BAbXo(10/10) AAS
感想
　>>91-95
　・Weierstrassのζ関数、σ関数を定義した
　（注：両方とも楕円関数ではない）
　・さらにζ関数、σ関数による楕円関数の表示が
　　可能であることを示した
　（ここで、楕円関数f(u)の周期平行四辺形[u0]上の
　　すべての極にわたる留数の総和は0であること、および
　　Abelの定理を使う）
　>>96-97
省6

101: 2020/11/22(日)21:14 ID:zDKQhRQs(1) AAS
テータ関数って楕円関数の一種なの？

102: 2020/11/23(月)20:11 ID:Wox3ASNB(1) AAS
違う
テータ関数は擬二重周期
楕円関数はテータ関数の積の比で表される

103: 2020/11/24(火)19:36 ID:m9UFgqkA(1/2) AAS
○(x)=exp(2πix)
とおく

(注:原文ではe(x)としているが、
　　e^xと紛らわしいので
　　あえて○(x)と書き直す）

Hを上半平面とする

●命題3.1
　(z,τ)∈C×Hに対して、級数
　θ(z,τ)=Σ(n∈Z) ○(1/2*n^2τ+nz)
　を考える
省20

104(1): 2020/11/24(火)20:02 ID:m9UFgqkA(2/2) AAS
さて、a,b∈Rに対して
　θa,b(z,τ)＝○(1/2*a^2τ+a(z+b))θ(z+aτ+b,τ)
とおく
θa,b(z,τ)を指標a,bのテータ関数と呼ぶ

具体的に級数で書けば
　θa,b(z,τ)
＝○(1/2*a^2τ+a(z+b))Σ(n∈Z) ○(1/2*n^2τ+n(z+aτ+b))
＝Σ(n∈Z) ○(1/2*(n+a)^2τ+(n+a)(z+b))

上記より、以下の公式が成り立つ

θ0,0(z,τ)＝θ(z,τ)
省4

105: 2020/11/24(火)21:57 ID:lb2pt8bI(1) AAS
　
テータ関数ってのは何のためにあるのかな
楕円関数をテータ関数の比で表すということだけ？

106: 2020/11/25(水)11:19 ID:a0a1Fcre(1) AAS
そうか、テータ関数はモジュラー形式の一種なんだね

107(7): 2020/11/25(水)19:34 ID:G4noa87A(1/2) AAS
τ∈H、整数l>=0を固定して
V_l:={f(z)|f(z)は整関数、∀m,n∈Z.f(z+lmτ+ln)=○(-1/2*l^2m^2τ-lmz)f(z)}
とおく
V_lはC-ベクトル空間である
その基底をテータ関数を使って与えることができる

☆補題3.1
整関数f(z)に関する次の条件は同値である
1)f(z)∈V_l
2)f(z+lmτ)=○(-1/2*l^2m^2τ-lmz)f(z)およびf(z+ln)=f(z)が
　任意の整数m,nについて成り立つ
省14

108: 2020/11/25(水)19:45 ID:G4noa87A(2/2) AAS
>>107
テータ関数を使ってベクトル空間V_lの基底を書くことができる

●命題3.3
a_i∈(1/l)Z (i=0,…,l-1)
b_j∈(1/l)Z (j=0,…,l-1)
を2組の((1/l)Z)/Zの完全代表系とすると
θa_i,b_j(z,τ)
はC-ベクトル空間V_lの基底となる

109(3): 2020/11/26(木)19:12 ID:uWYfcuV9(1/4) AAS
Vを整関数全体のなすC-ベクトル空間とする
ベクトル空間Vの自己同型全体のなす群をGL(V)で表す
τ∈Hを固定しておく

a,b∈Rに対して、線形写像S_b,T_aを
f(z)∈Vに対して

S_b f(z)=f(z+b)
T_a f(z)=○(1/2*a^2τ+az)f(z+aτ)

により定義すると,S_b,T_a∈GL(V)である

任意のb1,b2,a1,a2∈Rについて
省12

110(2): 2020/11/26(木)19:14 ID:uWYfcuV9(2/4) AAS
>>109
C1~*={c∈C||c|=1}と置く

写像
ρ:C1~*×R×R→GL(V)　(c,a,b)→cT_a・S_b
を考えると、ρは単射で、像ImρはGL(V)の部分群

(c1T_a1・S_b1)・(c2T_a2・S_b2)
=c1c2○(a,b)T_a1+a2・S_b1+b2

(cT_a・S_b)^-1=c^-1○(a,b)T_a・S_b

つまり
省17

111(1): 2020/11/26(木)19:41 ID:uWYfcuV9(3/4) AAS
>>109-110
さて、テータ関数とHeisenberg群の関係について述べる

(S_b・T_a)θ(z､τ)
=(S_b・T_a)Σ(n∈Z) ○(1/2*n^2τ+nz)
=S_b(○(1/2*a^2τ+az)Σ(n∈Z) ○(1/2*n^2τ+n(z+aτ))
=○(1/2*a^2τ+a(z+b))Σ(n∈Z) ○(1/2*n^2τ+n(z+b+aτ))
=θa,b(z,τ)

Γ={(1,a,b)∈G|a,b∈Z}とおけば、ΓはGの可換部分群
さらに整数l>=0に対して
lΓ={(1,a,b)∈G|a,b∈lZ}とおくと、lΓはΓの部分群で
省13

112(1): 2020/11/26(木)19:57 ID:uWYfcuV9(4/4) AAS
>>109-111
Mumfordのテータ関数論で大切なのは
Heisenberg群の有限版である

mを正整数とし
μm={ζ∈C1~*|ζ^m=1}
とおく

さて
G(l)={(c,a,b)∈G｜c∈μl^2,　a,b∈(1/l)Z}
とおくと、G(l)はGの部分群で、lΓ⊂{G(l)の中心}である

Gl=G(l)/lΓ=μl^2×((1/l)Z/lZ)×((1/l)Z/lZ)
省10

113(1): 2020/11/27(金)00:00 ID:khxS5vKK(1/2) AAS
　
テータ関数が熱方程式の解であることには
何か深い意味でもあったりするの？

114: 2020/11/27(金)01:08 ID:7wK1iFl7(1) AAS
>>113
「ユビキタス熱核」読んでスペクトル幾何調べて太鼓で形を聞き分ける絡みのネタ熱心に追ってた時期がボクにもありますた。

115: 2020/11/27(金)14:31 ID:khxS5vKK(2/2) AAS
　
テータ関数の本質というか正体っていったい何なんですか？
教科書を見ると変換公式やら互いの関係式やらは書いてあり
ますが、それだけでは何が何やらさっぱりわかりません・・

116(1): 2020/11/27(金)20:06 ID:xHFtMtk4(1/3) AAS
V_l (>>107) に属するテータ関数を用いて
複素トーラスC/(1,τ)の
射影空間P l^2-1への埋め込みを与える

117(2): 2020/11/27(金)20:07 ID:xHFtMtk4(2/3) AAS
>>116
Ω(τ)=(1,τ)とおく

☆補題3.3
0≠f(z)∈V_lとすると
f(z)はlΩ(τ)=(l,lτ)の基本周期四辺形の中に
ちょうどl^2個の零点を持つ
ただし零点は重複度を込めて数える

☆補題3.4
zの関数としてθ1/2,1/2(z,τ)は奇関数である　つまり
θ1/2,1/2(-z,τ)=-θ1/2,1/2(z,τ)
省14

118(1): 2020/11/27(金)20:09 ID:xHFtMtk4(3/3) AAS
命題3.8 (>>117) より、
l>=2とすると、任意のz∈Cに対して
(θ0(lz,τ),…,θl^2-1(lz､τ))
は零ベクトルになることはないので、
射影空間P l^2-1の点
[θ0(lz,τ),…,θl^2-1(lz､τ)]
が定まる　つまり、解析写像
Φl:C→P l^2-1
z　→　[θ0(lz,τ),…,θl^2-1(lz､τ)]
が定まる
省19

119: 2020/11/28(土)09:43 ID:XyNDA0Mg(1/3) AAS
V_l(>>107)はG_l(>>112)加群であるので　準同型写像
ρ:G_l→GL(V_l)
が存在する
(1,a,b)∈μl^2×((1/l)Z/lZ)×((1/l)Z/lZ)に対して
ρ(1,a,b)(θi)=Σ(j=0〜j^2-1) cijθj
であるとする

☆補題3.5
　φl(z+(aτ+b)/l,τ)
＝[Σ(j=0〜j^2-1) c0jθj,…,Σ(j=0〜j^2-1) cl^2-1jθj]

120: 2020/11/28(土)09:52 ID:XyNDA0Mg(2/3) AAS
●命題3.9
射影平面P l^2-1において、超平面Hと像φl(E_τ)の共通部分は
重複度も込めて丁度l^2個の点からなる

一般に射影空間Pn内のd次元射影多様体Vが与えられたとき
Pnの一般の位置にあるn-d次元超平面H^(n-d)とVは
有限個の点で交わることが知られている

さらに交点の数|V∩H|はHのとり方によらない
この数を射影多様体V⊂Pnの次数という

命題3.9はφl(E_τ)⊂P l^2-1がl^2次曲線であることを述べている

121: 2020/11/28(土)19:12 ID:XyNDA0Mg(3/3) AAS
l=2(>>107)の場合

伝統的テータ関数記号(Mumford,Tata lectures on Theta)の定義
θ00(z,τ)=θ0,0(z,τ)
θ01(z,τ)=θ0,1/2(z,τ)
θ10(z,τ)=θ1/2,0(z,τ)
θ11(z,τ)=θ1/2,1/2(z,τ)

指標付きテータ関数の定義(>>104)より
θ00(z,τ)=Σ(n∈Z) ○(1/2*n^2τ+nz)
θ01(z,τ)=Σ(n∈Z) ○(1/2*n^2τ+n(z+1/2))
θ10(z,τ)=Σ(n∈Z) ○(1/2*(n+1/2)^2τ+(n+1/2)z)
省17

122(1): 2020/12/01(火)19:55 ID:gRCeSSmI(1/7) AAS
☆補題3.6
A=
(1 1 1 1)
(1 1 -1 -1)
(1 -1 1 -1)
(1 -1 -1 1)
とおくと、等式
tAA=AtA=4I4
が成立する

ここでI4は4次の対称行列を表す
省13

123(1): 2020/12/01(火)20:14 ID:gRCeSSmI(2/7) AAS
テータ関数の定義より
θ00(x1,τ)θ00(x2,τ)θ00(x3,τ)θ00(x4,τ)
=Σ(m1〜m4∈Z) ○((1/2)(Σ(i=1〜4)mi^2)τ+Σ(i=1〜4)mixi)
θ01(x1,τ)θ01(x2,τ)θ01(x3,τ)θ01(x4,τ)
=Σ(m1〜m4∈Z) ○((1/2)(Σ(i=1〜4)mi)+(1/2)(Σ(i=1〜4)mi^2)τ+Σ(i=1〜4)mixi)
θ10(x1,τ)θ10(x2,τ)θ10(x3,τ)θ10(x4,τ)
=Σ(m1〜m4∈Z) ○((1/2)(Σ(i=1〜4)(mi+1/2)^2)τ+Σ(i=1〜4)(mi+1/2)xi)
θ11(x1,τ)θ11(x2,τ)θ11(x3,τ)θ11(x4,τ)
=Σ(m1〜m4∈Z) ○((1/2)(Σ(i=1〜4)mi)+(1/2)(Σ(i=1〜4)(mi+1/2)^2)τ+Σ(i=1〜4)(mi+1/2)xi)

　上記四個の等式を加えると
省8

124(3): 2020/12/01(火)20:29 ID:gRCeSSmI(3/7) AAS
さて
n=n1〜n4による縦ベクトル
m=m1〜m4による縦ベクトル
x=x1〜x4による縦ベクトル
y=y1〜y4による縦ベクトル
として
n=(1/2)Am　y=(1/2)Ay
とおくと、以下の補題が成り立つ

☆補題3.7
m1〜m4に関する次の条件は同値である
省18

125: 2020/12/01(火)20:56 ID:gRCeSSmI(4/7) AAS
☆補題3.8
次の公式が成り立つ
θ00(z+1,τ)=θ00(z,τ)
θ01(z+1,τ)=θ01(z,τ)
θ10(z+1,τ)=-θ10(z,τ)
θ11(z+1,τ)=-θ11(z,τ)

>>124の公式で、x1にx1+1を代入して補題3.8を使うと以下の公式を得る
θ00(x1,τ)θ00(x2,τ)θ00(x3,τ)θ00(x4,τ)
+θ01(x1,τ)θ01(x2,τ)θ01(x3,τ)θ01(x4,τ)
-θ10(x1,τ)θ10(x2,τ)θ10(x3,τ)θ10(x4,τ)
省2

126: 2020/12/01(火)20:56 ID:gRCeSSmI(5/7) AAS
☆補題3.9
次の公式が成り立つ
○(τ/2+z)θ00(z+τ,τ)=θ00(z,τ)
○(τ/2+z)θ01(z+τ,τ)=-θ01(z,τ)
○(τ/2+z)θ10(z+τ,τ)=θ10(z,τ)
○(τ/2+z)θ11(z+τ,τ)=-θ11(z,τ)

>>124の公式で、x1にx1+τを代入して両辺に○(τ/2+x1)を掛けると
補題3.9により以下の公式を得る

θ00(x1,τ)θ00(x2,τ)θ00(x3,τ)θ00(x4,τ)
-θ01(x1,τ)θ01(x2,τ)θ01(x3,τ)θ01(x4,τ)
省3

127: 2020/12/01(火)20:57 ID:gRCeSSmI(6/7) AAS
☆補題3.10
次の公式が成り立つ
○(τ/2+z)θ00(z+τ+1,τ)=θ00(z,τ)
○(τ/2+z)θ01(z+τ+1,τ)=-θ01(z,τ)
○(τ/2+z)θ10(z+τ+1,τ)=-θ10(z,τ)
○(τ/2+z)θ11(z+τ+1,τ)=θ11(z,τ)

>>124の公式で、x1にx1+τ+1を代入して両辺に○(τ/2+x1)を掛けると
補題3.10より以下の公式を得る

θ00(x1,τ)θ00(x2,τ)θ00(x3,τ)θ00(x4,τ)
-θ01(x1,τ)θ01(x2,τ)θ01(x3,τ)θ01(x4,τ)
省3

128: 2020/12/01(火)21:30 ID:gRCeSSmI(7/7) AAS
x1,x2,x3,x4にx1+l1,x2+l2,x3+l3,x4+l4を代入することにより
20個の公式を得る
l1〜l4∈(1/2,τ/2)　かつ　l1+l2+l3+l4∈(1,τ)　である

θab(x1,τ)θcd(x2,τ)θef(x3,τ)θgh(x4,τ)　を
[ab,cd,ef,gh]　と表し
θab(y1,τ)θcd(y2,τ)θef(y3,τ)θgh(y4,τ)　を
[ab,cd,ef,gh]'　と表す

上記の記号により20個のRiemannテータを記載する
1) [00,00,00,00]+[01,01,01,01]+[10,10,10,10]+[11,11,11,11] = 2[00,00,00,00]'
2) [00,00,00,00]+[01,01,01,01]-[10,10,10,10]-[11,11,11,11] = 2[01,01,01,01]'
省18

129: 2020/12/02(水)20:18 ID:pV8MmGTK(1/2) AAS
Riemannのテータ関係式において
x1=x2、x3=x4と特殊化すると
テータ関数の加法公式が得られる

例えば
θ00(x1+x3)θ00(x1-x3)θ00(0)^2
=θ00(x1)^2θ00(x3)^2+θ11(x1)^2θ11(x3)^2
=θ01(x1)^2θ01(x3)^2+θ10(x1)^2θ10(x3)^2

θ11(x1+x3)θ11(x1-x3)θ00(0)^2
=θ11(x1)^2θ00(x3)^2-θ00(x1)^2θ11(x3)^2
=θ01(x1)^2θ10(x3)^2-θ10(x1)^2θ01(x3)^2
省5

130: 2020/12/02(水)20:19 ID:pV8MmGTK(2/2) AAS
φ2:Eτ=C/(1,τ)→P3
φ2(z)=[θ00(2z,τ),θ01(2z,τ),θ10(2z,τ),θ11(2z,τ)]
が成り立つ

さらに
θ00(x1)^2θ00(0)^2-θ01(x1)^2θ01(0)^2-θ10(x1)^2θ10(0)^2=0
θ11(x1)^2θ00(0)^2-θ01(x1)^2θ10(0)^2+θ10(x1)^2θ01(0)^2=0
が成り立つ

このことは、射影空間の点
[a0,a1,a2,a3]=[θ00(2z,τ),θ01(2z,τ),θ10(2z,τ),θ11(2z,τ)]
が、二つの関係式
省10

131: 2020/12/03(木)19:10 ID:p8E7HDxN(1) AAS
★定理3.4

∂θ11(z,τ)/∂τ|z=0　＝　-πθ00(0,τ)θ01(0,τ)θ10(0,τ)

☆補題3.11

∂^2θij(z,τ)/∂z^2=4π√(-1)θθij(z,τ)/∂τ

132: 2020/12/04(金)20:45 ID:BhD6Y/CZ(1/5) AAS
★定理3.5
i)無限級数Σ(n=1〜∞) |un|が収束するとき,
無限積Π(n=1〜∞) (1+un)は収束する
この時Π(n=1〜∞) (1+un)は絶対収束するという。
ii)絶対収束するとき、上記の無限積は
積の順序に関係なく一定の値に収束する。
さらに分配法則にしたがって無限積を
形式的に無限級数に展開してもよい。

133: 2020/12/04(金)20:46 ID:BhD6Y/CZ(2/5) AAS
★定理3.6
有界閉集合K⊂Cが存在して
un(z)は、任意のnについてK上正則とする。
さらに級数Σ(n=1〜∞) |un(z)|が
K上で一様収束すると仮定する　このとき
無限積Π(n=1〜∞) (1+un)はK上で一様収束し、
したがって正則である

134: 2020/12/04(金)20:47 ID:BhD6Y/CZ(3/5) AAS
☆補題3.12
z∈C,整数mに関する次の条件は同値である
i) ○((m+1/2)τ-z)=-1
ii) 整数nが存在し、2πi(z-(m+1/2)τ)=(2π+1)πiと書ける
iii)整数nが存在して、z=(m+1/2)τ+(n+1/2)と書ける

135(1): 2020/12/04(金)20:47 ID:BhD6Y/CZ(4/5) AAS
★定理3.7
テータ関数θ(z,τ)は以下のように無限積に展開される
θ(z,τ)=Π(m=1〜∞) (1-○(mτ)) Π(m=0〜∞) {[1+○((m+1/2)τ-z)][1+○((m+1/2)τ+z)]}

136: 2020/12/04(金)20:48 ID:BhD6Y/CZ(5/5) AAS
☆補題3.13
p(z,τ)=Π(m=0〜∞) {[1+○((m+1/2)τ-z)][1+○((m+1/2)τ+z)]}とおくと
i) p(z+1,τ)=p(z,τ)
ii)p(z+τ,τ)=○(-(1/2)τ-z)p(z,τ)

137(1): 2020/12/05(土)16:21 ID:IssG98Nd(1/3) AAS
>>135
定理3.7の公式は
q=○((1/2)τ),w=○((1/2)z)
とおくと、以下のように書ける

Σ(m=-∞〜∞) q^(m^2)w^(2m)
=Π(m=1〜∞) (1-q^2m)(1+q^(2m-1)w^2)(1-q^(2m-1)w^(-2))

上記の公式はJacobiの三重積公式と呼ばれている

138(1): 2020/12/05(土)16:22 ID:IssG98Nd(2/3) AAS
>>137
Jacobiの三重積公式の公式で
w=iq^(1/4)　q=q^3/2
を代入すると、Eulerの5角数公式を得る

Σ(m=-∞〜∞)(-1)^m*q^(m(3m+1)/2)
=Π(m=1〜∞) (1-q^m)

139: 2020/12/05(土)16:24 ID:IssG98Nd(3/3) AAS
>>138
Eulerの5角数公式の右辺を展開すると
Π(m=1〜∞) (1-q^m)
=1+Σ(n=1〜∞)q^n[E(n)-U(n)]

ここで
E(m)は整数mを偶数個の相異なる正整数の和に表す書き方の数
U(m)は整数mを奇数個の相異なる正整数の和に表す書き方の数

★定理3.8
正の整数mが与えられたとき、
正の整数nが存在して
省5

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