[過去ﾛｸﾞ] 楕円関数・テータ関数・モジュラー関数 (309ﾚｽ)
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1(3): 2020/11/02(月)07:00 ID:PUodusEe(1/3) AAS
三者の関係について語すスレ
2(2): 2020/11/02(月)07:04 ID:PUodusEe(2/3) AAS
ちなみに個人的な感想だが
楕円関数 ：生田絵梨花
モジュラー関数：SU-METALこと中元すず香
とすると
テータ関数 ：生田の親友についてSU-METALの姉である中元日芽香
か？
いく「ひめたん、そんなに大した存在だったっけ？」
すぅ「ですよね？」
ひめ「うるっせーよ！」
3(1): 2020/11/02(月)09:14 ID:apvzsYro(1) AAS
>>2
気持ち悪いよ爺
4: 2020/11/02(月)11:32 ID:PUodusEe(3/3) AAS
>>3
すまんすまん
冗談はこの程度にして
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
「テータ関数（テータかんすう、英: theta function）は、
θ(z,τ):=Σ_{n=-∞〜∞}e^{Πin^2τ +2πinz}.
で定義される関数のことである。」
「z の関数と見た場合には擬二重周期を持ち楕円関数に関係し、
τ の関数と見た場合はモジュラー形式に関係する。」
で、zのほうの係数はnで、τのほうの係数はn^2
省3
5(1): 2020/11/03(火)05:55 ID:egArMD8s(1/2) AAS
πin^2τ ですな。
目の付けどころはさすが。
どっから出てきたか？て、それを原初的なところから導出するというのは
企業秘密なところがありまして。
一つ言うと、リーマンが証明したように、変換公式
θ(0,ix)=(1/√x) θ(0,i/x)からリーマンゼータの函数等式が証明される
というか、メリン変換を通じて、これはリーマンゼータの函数等式と
同値である。つまり保型性=函数等式というヘッケ対応の嚆矢ですね。
だから、n^2とすることの背後には対称性がある。
6(1): 2020/11/03(火)07:02 ID:F9WRUhYe(1/6) AAS
>>5
＞目の付けどころはさすが。
まつ毛の下ですｗ
＞どっから出てきたか？て、
＞それを原初的なところから導出するというのは
＞企業秘密なところがありまして。
そこをなんとかｗ
＞一つ言うと、リーマンが証明したように、変換公式
＞θ(0,ix)=(1/√x) θ(0,i/x)
＞からリーマンゼータの函数等式が証明される
省26
7(1): 2020/11/03(火)09:07 ID:bh0eYlid(1) AAS
楕円関数は楕円曲線上の有理型関数
モジュラー関数はモジュラー曲線上の有理型関数
8: 個人の感想です 2020/11/03(火)09:31 ID:F9WRUhYe(2/6) AAS
>>7
>楕円関数は楕円曲線上の有理型関数
そうですね
>モジュラー関数はモジュラー曲線上の有理型関数
そうですね ただ・・・
モジュラー曲線って、楕円曲線の同型類の集合ってところが
ポイントだと思ったんですが・・・
省1
9: 2020/11/03(火)09:37 ID:F9WRUhYe(3/6) AAS
で、質問ですが、
・種数２以上の曲線についても
テータ関数のようなものを考えることで
モジュラス空間と何らかの関係づけが
できるんですか？
（楕円曲線は種数１）
10(1): 2020/11/03(火)15:05 ID:Yoc3OcsX(1/3) AAS
ネットのコピペでわかった気になってる人が多い(で何も知らない
11: 2020/11/03(火)18:22 ID:/TbfUol6(1/2) AAS
>>10
ネットで拾ったpdfのほうがへっぽこな本屋や図書館の蔵書よりかなりマシだろ。
特に英語のだと普通に研究者のプレプリ読めるんだし。
12(3): 2020/11/03(火)20:25 ID:Yoc3OcsX(2/3) AAS
楕円関数なら日本語で梅村の本があるし復刊されたばかり
あれより良い本は洋書でもそうはない（違う書き方はある）
梅村くらいを読んだ上で英語の論文漁るのはありだが
このスレはそんな高尚なスレじゃないだろ
13: 2020/11/03(火)20:53 ID:F9WRUhYe(4/6) AAS
>>12
そうなんだ じゃ読んでみようかな
著者は昨年お亡くなりになったようですね 合掌
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
14: 2020/11/03(火)20:58 ID:F9WRUhYe(5/6) AAS
>>12
＞このスレはそんな高尚なスレじゃないだろ
立てた人は素人みたいですが
玄人の人がよってたかって教育する
スレにしてほしいみたいですね
15(1): 2020/11/03(火)21:20 ID:Yoc3OcsX(3/3) AAS
＞玄人の人がよってたかって教育する
5chに何を期待してるのだw
16: 2020/11/03(火)21:48 ID:/TbfUol6(2/2) AAS
>>12
六千円の学術書が田舎の中高生に簡単に手に入るとは思えん。
まあ自称阪大工学部が無能なコピペ野郎なのは同意するが。
17: 2020/11/03(火)21:54 ID:F9WRUhYe(6/6) AAS
>>15
5chは低俗だという思い込みをまず払拭してほしいな
18: 2020/11/03(火)23:53 ID:egArMD8s(2/2) AAS
その梅村さんが、自分はパンルヴェ方程式など特殊函数でいろいろ仕事ができたけど
テータ函数方面は憧れはあっても何もできなかった。この方面で仕事が
残せるのは、選ばれたごく一部の数学者だけなのだ、と大略そういうことを
書いていたかと思う。だから、楕円、テータ、モジュラーの中では
実はテータが最も神秘的な対象かと思う。
19(1): 2020/11/04(水)00:01 ID:7isCfgpM(1/3) AAS
>>6
ヘッケ対応というのは、ヘッケ指標というよりヘッケ作用素の話ですね。
ゼータ函数と保型函数を関連付けるもので、もとはラマヌジャンの
仕事から理論化されました。リーマンゼータとの関係は
リーマンの原論文か、概要なら解説記事
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
にあります。
20(1): 2020/11/04(水)00:08 ID:7isCfgpM(2/3) AAS
>>1さんの趣味としては、モジュライ問題に興味がおありなのだろう。
確かに幾何学的に王道的な関心である。分野としては代数幾何ですね。
21(1): 2020/11/04(水)00:24 ID:sEOoTOms(1) AAS
このスレも自称阪大工学部のコピペ馬鹿が沼に沈めつつあるな
22(1): 2020/11/04(水)02:04 ID:7isCfgpM(3/3) AAS
梅村嫁のひとは、なんでn^2が出てくるか？って言ったら
「計算したらそうなった」としか言えないでしょ。そんなことは
ヤコビの時代から分かってたんで。
しかし、テータには重さ半整数の保型形式という面もあって
その視点は楕円函数論とはまた別もんですね。
23: 2020/11/04(水)06:38 ID:26WHSv4q(1/3) AAS
>>19
ヘッケ作用素・・・それ検索で見つからなかった
ヘッケ環とヘッケ指標は見つかったんですが・・・
>>20
おっしゃるとおり、モジュライに興味があります
代数幾何というよりトポロジー的な関心ですけど
写像類群に興味があるんで
>>22
んー、梅村の他にもいい本ありますか？
最初は邦書がいいなとおもってるんですが（ヘタレ）
省5
24: 2020/11/04(水)06:55 ID:26WHSv4q(2/3) AAS
>>21
>このスレも自称阪大工学部のコピペ馬鹿が沼に沈めつつあるな
あの人、なんか必死ですよね
何と闘ってるんだか・・・
25(1): 2020/11/04(水)09:26 ID:pNdjXpBl(1) AAS
Mumford
26: 2020/11/04(水)18:31 ID:26WHSv4q(3/3) AAS
>>25
"Tata Lectures on Theta"ですね
内容はざっとどんな感じなんですか？
27: 2020/11/06(金)06:59 ID:bMp0VkKr(1) AAS
楕円積分
外部ﾘﾝｸ[html]:math-functions-1.watson.jp
楕円関数
外部ﾘﾝｸ[html]:math-functions-1.watson.jp
楕円テータ関数
外部ﾘﾝｸ[html]:math-functions-1.watson.jp
楕円モジュラー関数
外部ﾘﾝｸ[html]:math-functions-1.watson.jp
保型関数
外部ﾘﾝｸ[html]:math-functions-1.watson.jp
省2
28(1): 2020/11/07(土)07:36 ID:Zuepujnh(1/7) AAS
テータ函数によるアーベル多様体の射影空間への埋め込み
というのがあって、最初に証明したのはレフシェッツらしい。
後にヴェイユが再発見した。
マンフォードのレッドブックの付録にも載ってるらしい？
Tata lectures というのは三分冊でマニアックすぎるかな？
レッドブックの付録の方がコンパクトに纏められてるだろう。
29(1): 2020/11/07(土)07:45 ID:Zuepujnh(2/7) AAS
楕円函数論は竹内端三（クロネッカー青春の夢の1の3乗根の体
いわゆるアイゼンシュタイン数体の場合を解決したひと）
の本がコンパクトに纏められていて名著。
楕円函数論は流儀が多くて混乱しがちだが、流儀ごとの関係も
まとめられている。
楕円函数論は歴史的経緯はともかく、ヤコビ流よりワイエルシュトラス流
の方が圧倒的に使いやすいと思う。
それはそれなりに理由があるのであって。（だから現代では主流になっている。）
30(1): 2020/11/07(土)07:56 ID:Zuepujnh(3/7) AAS
ヤコビの特色は、テータを独立の函数として扱い
整数論への多くの応用を見出したこと、とされる。
31(1): 2020/11/07(土)08:13 ID:zpeR/n4w(1/7) AAS
>>28
The Red Book of Varieties and Schemes
…そういうタイトルなんだｗ
>>29
「楕円函数論 1-4、代数函数論」
『岩波講座数学』第4（解析学）、
岩波書店編、岩波書店、1935年（昭和10年）
…戦前の本だなぁ
楕円関数は19世紀の話だから問題ないけど
>>30
省6
32(1): 2020/11/07(土)09:01 ID:Zuepujnh(4/7) AAS
>>31
>Red Book
実は邦訳が出てますね。
代数幾何学講義 (シュプリンガー数学クラシックス)
D.マンフォード (著), 前田 博信 (翻訳)
>竹内本
新しい版は文字も改められてるし、別に戦前くさいとかはないですね。
昔先輩が10冊くらいまとめ買いしてて、1冊譲ってもらった思い出の本。
>保型形式とユニタリ表現 (数学の杜 2)
>高瀬幸一 (著)
省2
33(1): 2020/11/07(土)09:28 ID:zpeR/n4w(2/7) AAS
>>32
翻訳出てるんだ・・・ ちょっと見てみるかな
竹内端三って名前は目にしたことがあるんですよ
ただ「たけのうち」って読むっていうのは、最近知ったけど
肝心なこと聞くの忘れてたけど、例えばモジュライに興味がある場合
数論については特に知らなくてもいいんですか？
（別に知りたくないわけではない）
34(1): 2020/11/07(土)09:50 ID:Zuepujnh(5/7) AAS
>>33
興味がおありなら知っておいてもいいのでは。
関心の方向性として、かなり違うのではと思っただけで
分野の違いなどは些末と言えばそうでしょう。
数論は細かい話が多いですね。数論も幾何学も
両方分かっていれば最強ですね。
35(1): 2020/11/07(土)11:06 ID:zpeR/n4w(3/7) AAS
>>34
なるほど
もしよろしければ専攻を教えていただけますか？
数学科出身ですよね？
36: 2020/11/07(土)11:19 ID:Zuepujnh(6/7) AAS
>>35
専攻は整数論ですね。
37(1): 2020/11/07(土)11:27 ID:Zuepujnh(7/7) AAS
整数論的興味からすると、一般的・高次元の場合よりも、特殊な場合に話を深める方が好みだったりするんですよ。
まぁ、学力の問題もありますが。
しかし、加藤和也という偉い先生が来て講義したとき言ってましたが
「"アーベル多様体"と言っても、実際には具体的には楕円曲線で考えていることが多い。
一般のアーベル多様体は難しい」というように言われていたかと思います。
38(1): 2020/11/07(土)11:35 ID:/J8VNvlf(1) AAS
このレベルの本のことを自分で何にも調べられないような人には、教えてもムダだと思うよ。
幾ら教えても、どうなるか結果が見える。
39: 2020/11/07(土)11:40 ID:zpeR/n4w(4/7) AAS
>>37
>整数論的興味からすると、一般的・高次元の場合よりも、
>特殊な場合に話を深める方が好みだったりするんですよ。
それはそうでしょうね
虚二次体の虚数乗法論とかは、楕円関数の範囲内のことでしょうから
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