[過去ﾛｸﾞ] 二項定理を使ったフェルマーの最終定理の証明 (1002ﾚｽ)
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16(5): 日高 2020/09/12(土)07:48 ID:2epNoeZd(3/27) AAS
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。(aは有理数)
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、x,y,zは整数比とならない。
(2)はa=1以外、rが有理数のとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)のx,y,zも整数比とならない。
x,y,zが、無理数のときx^p+y^p=z^pが成り立つならば、x,y,zが、有理数のときも成り立つ。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
17(2): 2020/09/12(土)08:10 ID:TjxId053(1/12) AAS
>>16
> x,y,zが、無理数のときx^p+y^p=z^pが成り立つならば、x,y,zが、有理数のときも成り立つ。
x=sw、y=tw、z=uw とおくと、(s,t,uは有理数、wは無理数)
(sw)^p+(tw)^p=(uw)^p
両辺を w^p で割って、
s^p+t^p=u^p
省2
20(1): 2020/09/12(土)08:42 ID:DyDVTVYH(1) AAS
>>16の証明が正しいのなら
【日高定理】p=2のときx^p+y^p=z^pは自然数解を持たない
も成り立つ
x^2+y^2=(x+√2)^2の右辺を二項展開すると
yが有理数のときxは無理数となるのでx,y,zは整数比とならない
x^2+y^2=(x+2)^2=(x+√2*√2)^2だからx,y,zは整数比とならない
p=2のときx^p+y^p=z^pは自然数解を持たない
あるいは
x^2+y^2=(x+2)^2の右辺を二項展開すると
yが無理数のときx,y,zは整数比とならない
省7
26(2): 2020/09/12(土)09:16 ID:TjxId053(4/12) AAS
>>24
> >22
> １．s^p+t^p=u^p が成り立っている。
> ２．s,t,u は有理数である。
> ３．よって s,t,u は x^p+y^p=z^p の有理数解である。
>
> こういう意味です。
>
> これは、p=2の場合ですね。
どうして？
省3
29(1): 日高 2020/09/12(土)09:20 ID:2epNoeZd(10/27) AAS
>26
どうして？
pが奇素数でも、>>16の
> x,y,zが、無理数のときx^p+y^p=z^pが成り立つならば、x,y,zが、有理数のときも成り立つ。
から言えるよね？
「成り立つならば、」の場合は、言えます
30(5): 2020/09/12(土)09:24 ID:TjxId053(5/12) AAS
>>29
> >26
> どうして？
> pが奇素数でも、>>16の
> > x,y,zが、無理数のときx^p+y^p=z^pが成り立つならば、x,y,zが、有理数のときも成り立つ。
> から言えるよね？
>
> 「成り立つならば、」の場合は、言えます
でもあなた、無理数比の整数解
(sw)^p+(tw)^p=(uw)^p
省3
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