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純粋・応用数学 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582599485/
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530: １３２人目の素数さん [] 2020/06/11(木) 00:56:58 ID:CYYvm9O2 X，Y：集合 f：X→Y(写像) とする このときIm f=Yを考える ? Im f⊆Y ∀f(x)(f(x)∈Im f→f(x)∈Y (1) ¬(∀f(x)(f(x)∈Im f→f(x)∈Y) (2) (∀f(x))f(x)∈Im f (3) ¬((∀f(x))f(x)∈Y) (4) f(a)¬∈Y (5) f(a)∈Im f ゆえに矛盾なし ? Y⊆Im f ∀f(x)(f(x)∈Y→f(x)∈Im f) (1) ¬(∀f(x)(f(x)∈Y→f(x)∈Im f)) (2) (∀f(x))f(x)∈Y (3) ¬((∀f(x))f(x)∈Im f) (4) f(a)¬∈Im f (5) f(a)∈Y ゆえに矛盾なし 以上より命題は不成立である このようにタブロー法では何ら問題ないのだが 対偶法を使うとIm f=Yが示せてしまったので 私は対偶法を使うことを止めた http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582599485/530
531: １３２人目の素数さん [] 2020/06/11(木) 01:15:19 ID:CYYvm9O2 【Im f =Yとなる対偶法の失敗例】 写像f：X→Yについて X → Y ∪ ∪ X → Im f と書ける このときIm f=Yを示したい そのためにY⊆Im fをいえばよい 対偶 ∃f(x_1)(f(x_1)∈Im f→f(x_1)∈Y) を示す ∃f(x_1)(f(x_1)∈Im f)を前提とする このとき適当にf(a)∈Im fを選ぶ いまIm f⊆Yであるから標準的単射 Im f→Y； f(x_2)→f(x_2) が存在する ここでもf(x_2)について適当にf(a)∈Im fを選べば f(a)∈Yを得る ゆえに対偶が成立するのでY⊆Im fが成立する このようにタブロー法を知る前の僕の黒歴史です 初めは対偶について ∃f(x_1)(f(x_1)¬∈Im f→f(x_1)¬∈Y)や ∃f(x_1)(f(x_1)¬∈¬Im f→f(x_1)¬∈¬Y) について考えていましたが∃f(x_1)(f(x_1)¬∈¬Im f→f(x_1)¬∈¬Y)は ∃f(x_1)(f(x_1)∈Im f→f(x_1)∈Y)と同値であることに気づいたものの 適当な元のとり方を知らなかったのでこのような過ちが起きていました しかも ∃f(x_1)(f(x_1)¬∈Im f→f(x_1)¬∈Y) というのはIm fやYに属さない元なら何でもよいという話になるので 意味不明でした そういう意味で対偶法は危険です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582599485/531
533: １３２人目の素数さん [] 2020/06/11(木) 01:25:16 ID:CYYvm9O2 >>532 否定は全体に係る つまり ¬(∀x Px→ Qx) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582599485/533
534: １３２人目の素数さん [] 2020/06/11(木) 01:37:46 ID:CYYvm9O2 A：原子命題 A_n(∃n∈N) とする このとき A_1,A_2,...,A_n |= A_n+1 を示したいとき A_1,A_2,...,A_n |= ¬(A_n+1) という方法と ¬(A_1,A_2,...,A_n→A_n+1) という方法がある 否定が全体に係るとはそういう意味 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582599485/534
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