[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学 (1002ﾚｽ)
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178(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/19(火)11:55 ID:a8Dbjf7f(4/5) AAS
>>177
つづき
例. 2
点集合 {x,y}
に離散位相を定めたものを X, 密着位相を入れたものを Y
とせよ.
f:X→Y を底集合の恒等写像とすると,
f は連続かつ全単射だが
逆写像
g*f-1
省22
179: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/19(火)11:57 ID:a8Dbjf7f(5/5) AAS
>>178
(引用開始)
例. 2
点集合 {x,y}
に離散位相を定めたものを X, 密着位相を入れたものを Y
とせよ.
f:X→Y を底集合の恒等写像とすると,
f は連続かつ全単射だが
逆写像
g*f-1
省8
180(3): 哀れな素人 2020/05/19(火)12:49 ID:LoI+QO8H(13/13) AAS
>>175
分らないアホだな(笑
大きくなったらダメとも、εが巨大だとダメとも言っていない(笑
巨大なεを禁止する、とも言っていない(笑
とにかく国語力が壊滅的にダメだ、お前は(笑
何でお前はそんなにアホなのか(笑
>>176
お前もか(笑
不都合なことがあるなどとは一言も言っていない(笑
不必要で無駄だと言っているのである(笑
省3
181: 2020/05/19(火)12:56 ID:ApaPDEMJ(10/10) AAS
>>180
εの値によって場合分けして、各場合ごとにδを選べば良いだけですよね
結局なにが言いたいのかさっぱりわかりません
182: 粋蕎 ◆C2UdlLHDRI 2020/05/19(火)15:13 ID:7g3VTWLw(4/4) AAS
ま〜た極限と連続の定義を混ぜて解釈し始めよったか
183(1): 2020/05/19(火)22:44 ID:hkrdHMen(1) AAS
国文科の爺さんが一番国語力が無いね
184: 2020/05/19(火)23:00 ID:zGnRKvHU(1) AAS
>>183
数学力がこのスレでびりっけつは断然コピペ工学部だろ。
185(6): 2020/05/20(水)02:25 ID:oF+A5ee1(1/4) AAS
>>167
>どこまでアホなんだ、お前は(笑
>>ε=1000000000の場合を考えてはいけない
>そんなことを僕がどこに書いた(笑
>考えてもいいが、不必要で無駄だと言っているのだアホ(笑
では必要で無駄じゃないεの値を具体的に答えて下さい
186(1): 哀れな素人 2020/05/20(水)08:10 ID:ncHJGaZr(1/3) AAS
>>185
だからそれを教えてやろうと思って>>172の質問を出しているのである(笑
答えは教えない(笑
自分で考えよ(笑
187(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/20(水)08:13 ID:y6TLK5vJ(1/4) AAS
>>177 補足
(引用開始)
まず ε によって, 値域における像 f(x)
の "近さの基準" が設定されます. ここに包まれないものは「近くないと見なすぞ」というわけです. この近さの基準をふまえて
x の "近さの基準" δ を設ければ, それは
ε によって大きくも小さくもなるだろうけれど, 少なくとも像の "近く"
δ 近傍の像は総て f(x)
の "近く" に写っていると判ります. このように解き明かしていくと, いよいよ当初の疑問であった
連続性はなぜ逆像によって定義されるのか
に手が掛かります.
省18
188(1): 哀れな素人 2020/05/20(水)08:20 ID:ncHJGaZr(2/3) AAS
εδ論法とは、εとδをどんどん小さくするとどうなるか、
あるいは、εとδをいくらでも小さく取れる、という論法なのである(笑
だから小さく取らないと意味がないのである(笑
分るか？(笑
だからどんな動画や教科書でも小さなεδを取って説明しているはずだ(笑
任意だからどんな巨大な数でもいい、
などと言っているのはお前らのようなバカしかいないのだ(笑
今朝はここまで(笑
189: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/20(水)08:23 ID:y6TLK5vJ(2/4) AAS
>>187 補足の補足
> ３．「Y側で、開集合の部分を探す。その逆像が、X側で開集合になっていることを確認する」
> それが、ごく自然な連続であることの確認手順であり、また、連続の定義になる！
一変数実関数の場合は
「Y側で、開集合の部分を探すと、必ず その逆像が X側で開集合になっています」
ですので、 「Y側で、開集合の部分を探す」だけで、関数の連続部分の調査が終了します
このことからも、”連続性はなぜ逆像によって定義されるのか”は あきらかですね（＾＾；
190(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/20(水)08:28 ID:y6TLK5vJ(3/4) AAS
>>188
哀れな素人さん、どうも（＾＾
(引用開始)
εδ論法とは、εとδをどんどん小さくするとどうなるか、
あるいは、εとδをいくらでも小さく取れる、という論法なのである(笑
だから小さく取らないと意味がないのである(笑
(引用終り)
同意です
”開集合”を考えると明かですね
”開集合”の範囲内に εが収まるように δを取らないと意味がない
省2
191(2): 2020/05/20(水)08:47 ID:oF+A5ee1(2/4) AAS
>>186
だから
∀ε>0 に対し 0<|x-2|<√(ε+4)-2 ⇒ |y-4|<ε だから lim[x→2]y=4
と答えてるだろがｗ おまえ字読めないの？
さあ早く>>185に答えろ また逃げる気か？
192(1): 2020/05/20(水)12:05 ID:rkCXtjJm(1/2) AAS
>>190
すみません、開集合だとしても、任意の開集合を考えますよね？
小さい開集合も大きい開集合も定義では全て調べる必要があるのですよ
しかし、小さい開集合だけ調べておけば、大きい開集合で成り立つのは明らかだということなのです
193(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/20(水)16:45 ID:vYwp2FSf(1) AAS
>>192
>すみません、開集合だとしても、任意の開集合を考えますよね？
>小さい開集合も大きい開集合も定義では全て調べる必要があるのですよ
>しかし、小さい開集合だけ調べておけば、大きい開集合で成り立つのは明らかだということなのです
どうも
コメントありがとう
ですが、話が数学なので、はっきり申し上げるが
「小さい開集合だけ調べておけば、大きい開集合で成り立つのは明らか」は不成立でしょうね
例えば、下記の「関数の連続性と一様連続性」ご参照
さて、ある開区間 I＝（x1,x2） ∈ Xで、その区間内に（発散する）極 又は 跳躍不連続点（>>187） x0 （x1<x0<x2）があったとします
省20
194: 2020/05/20(水)17:29 ID:rkCXtjJm(2/2) AAS
>>193
いやだから、εに相当する行った先の開集合は任意にとりますよねってことですよ
195: 粋蕎 ◆C2UdlLHDRI 2020/05/20(水)19:57 ID:N5dEyDd3(1/2) AAS
AA省
196: 2020/05/20(水)21:20 ID:oF+A5ee1(3/4) AAS
分るか爺さん>>185に答えられずまた逃亡ｗ
この爺さん答えに困ると決まって逃亡するからなあ
国文科出身者ってこんなんばっかなの？ この爺さんが異常なの？
197(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/20(水)21:31 ID:y6TLK5vJ(4/4) AAS
>>193
お答えします
１．下記の 例 3: 真性不連続の図と式を見て下さい
２．この図で、5/(x-1)＝π/6 (つまり x=1+30/π)とすると f(x)＝1/2です
３．で、εを小さく 例えば ε＝0.1 とすれば、Yの側で 1/2±0.1 で、真性不連続点を含まない範囲に取れます。
４．しかし、ε＝2として、1/2±2の範囲を考えると、真性不連続点を含むことになります。それは、数学的には面白くない状況であり、あまり意味がない
５．たしかに、仰るように ”連続性の定義のε-δ に反しているわけではない”ですね（多分、厳密には（小さいεのδの値を、大きいεに適用すれば良い？））。
６．だが、明らかに 数学的に重要なのは、「εをいくらでも小さく取れる」であり、力点は「εの小さい方」にありますよね （＾＾；
（それに、εが大きすぎると、ε-δ法に対する 位相空間の開集合の逆像を使う方法 との関係も見にくいし）
（参考）
省21
198(1): 哀れな素人 2020/05/20(水)22:18 ID:ncHJGaZr(3/3) AAS
>>191
何度言えば分るのかアホ(笑
お前の答えは>>172に対する答えではない(笑
僕はεやδのことを質問しているのではない(笑
どんな範囲のｘ、ｙを考えているのか、と質問しているのである(笑
分るか？(笑
お前が答えた式のｘ、ｙとしてお前は具体的に、
どんな範囲のｘ、ｙを考えているのか、と質問しているのだ(笑
分るか？(笑
何でお前らはこんな単純な質問の意味が理解できないのか(笑
省7
199: 粋蕎 ◆C2UdlLHDRI 2020/05/20(水)22:30 ID:N5dEyDd3(2/2) AAS
∀ε(>0)と書かれてる時点で正実数全体を考えてる事になるけどね
200(2): 2020/05/20(水)22:35 ID:oF+A5ee1(4/4) AAS
>>198
>0<|x-2|<√(ε+4)-2
これがxの範囲でなくて何なの？
>|y-4|<ε
これがyの範囲でなくて何なの？
屁理屈はいいからまず答えろ x,yの範囲ではなく何なのか？
201(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/21(木)07:52 ID:ROnGhytK(1) AAS
>>197 訂正
２．この図で、5/(x-1)＝π/6 (つまり x=1+30/π)とすると f(x)＝1/2です
↓
２．この図で、5/(x-1)＝-11π/6 (つまり x=1-30/(11π))とすると f(x)＝1/2です
補足
f(x)
= sin(5/(x-1)) for x<1
で、f(x)＝1/2となる点を求めようとしたのだが、周期2πで
5/(x-1)＝π/6-2nπとして、n=1のときが x=1-30/(11π)<1 です
エクセルで計算すると、0.131882129 になりました
省1
202(2): 哀れな素人 2020/05/21(木)08:09 ID:FnEc9WYK(1) AAS
>>200
分らん奴だな(笑
だから|x-2|、|y-4|、このx、yとして
どのような範囲のx、yをお前は考えているのか、
と質問しているのである(笑
何でこんな簡単な質問の意味も理解できないのか、お前らは(笑
今朝はここまで(笑
203: 粋蕎 ◆C2UdlLHDRI 2020/05/21(木)08:38 ID:yrtUewGg(1/4) AAS
安達老人…定義域または値域と不等式の関係さえ分かってないで言っとるとは恐れ入るわ
204(1): 2020/05/21(木)15:28 ID:A8Jg1LlG(1/5) AAS
>>202
すみません、これ何を言わせたいのか全くわからないのですけど、誰か教えてくださいよ
>>201さんとかわからないんですか？
あなたも安達さん系統の人だからなんかわかるんじゃないですか？
205(1): 2020/05/21(木)15:34 ID:A8Jg1LlG(2/5) AAS
>>197
小さいεを考えるだけで十分であり、大きなεを考える必要はない
それはそうですよ
しかしですね、安達さんは、大きなεを考えてはいけないと言っているのですよ
>>197
＞（多分、厳密には（小さいεのδの値を、大きいεに適用すれば良い？））。
安達さんはこの操作を否定します
バカか(笑)巨大なεをとることに意味はないのだ(笑)
省1
206: 2020/05/21(木)15:35 ID:A8Jg1LlG(3/5) AAS
考える必要がない、と口では言っていますが、実際言っていることは考えてはいけない、なのです
安達さんはその違いがわからないのです
207(1): 粋蕎 ◆C2UdlLHDRI 2020/05/21(木)15:42 ID:yrtUewGg(2/4) AAS
>>153
安達老人。何度も言うとるが
自然数∈整数∈有理数∈実数∈超実数∈累超実数∈超現実数
じゃぞ
208(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/21(木)16:22 ID:/Gwy0a5c(1) AAS
>>204
>>>201さんとかわからないんですか？
>あなたも安達さん系統の人だからなんかわかるんじゃないですか？
うん？ 呼んだ？（＾＾；
あなた達、なんで、哀れな素人さんと、延々 エンドレスの議論しているのですか？
ユークリッド幾何の第五公準を知っていますか？
哀れな素人さんは、文系の人ですよ
あなた達、ヒマなんですか？（＾＾；
209(1): 2020/05/21(木)16:50 ID:MrMDabso(1/6) AAS
>>207
＞自然数∈整数∈有理数∈実数∈超実数∈累超実数∈超現実数
粋蕎・・・おまえも名声乞食同様、集合論の∈を誤解する馬鹿だったか
210: 2020/05/21(木)16:51 ID:MrMDabso(2/6) AAS
>>208
＞ユークリッド幾何の第五公準を知っていますか？
その質問にどういう意味がある？
自惚れ素人の質問は、いつもながら意図が不明
211(1): 2020/05/21(木)16:53 ID:A8Jg1LlG(4/5) AAS
>>208
ひまだからおもちゃで遊んでるんじゃないですかw
あなたでもやっぱり解読不可能だということなんでしょうかね
212(1): 粋蕎 ◆C2UdlLHDRI 2020/05/21(木)17:18 ID:yrtUewGg(3/4) AAS
>>209
ああ所属と集合を一緒くたにした書き方をした
1からの自然数から成る半群∈0からの自然数から成るモノイド∈整数環∈有理数体∈実数体∈超実数体∈累超実数体∈超現実数体
213(1): 2020/05/21(木)17:41 ID:MrMDabso(3/6) AAS
>>212
根本的に分かってないな
包含関係だから⊂を使う
例えば
自然数（モノイド）⊂整数（環）⊂有理数（体）⊂実数（実閉体）⊂複素数（代数的閉体）
214: 2020/05/21(木)17:57 ID:MrMDabso(4/6) AAS
∈と⊂の混同って、世間ではざらなのか？
自分は◆e.a0E5TtKEがこの間違いをやらかしたのを見たとき
正真正銘の馬鹿だとおもったもんだが
215(1): 2020/05/21(木)18:05 ID:WT/FVANi(1) AAS
公理的集合論だとa∈aという記法は普通なんだろ
数学だと見ることはないね
216: 2020/05/21(木)19:33 ID:MrMDabso(5/6) AAS
>>215
＞公理的集合論だとa∈aという記法は普通なんだろ
いいや
それ、正則性公理に反するし
（正則性公理抜いた集合論も考えられなくはないが、通常の数学では使わない）
217: 粋蕎 ◆C2UdlLHDRI 2020/05/21(木)19:35 ID:yrtUewGg(4/4) AAS
ほーん
>>213
じゃあ順序体に関して言えば
1からの自然数から成る半群⊂0からの自然数から成るモノイド⊂整数環⊂有理数体⊂実数体⊂超実数体⊂累超実数体⊂超現実数体=順序体の集合
で良ぇのかな｡
218: 2020/05/21(木)20:16 ID:A8Jg1LlG(5/5) AAS
a∈aてかa∈bじゃないですかね
a,bどちらも集合で
219: 2020/05/21(木)21:07 ID:MrMDabso(6/6) AAS
公理的集合論では、集合以外のものは存在しないから
集合Sの一番外側の{}を外したときに出てくるのがSの要素
一方集合S'が、集合Sに含まれる、というのは
集合S'の要素が集合Sの要素であるとき、そのときに限る
したがって要素（∈）と、包含（⊂）は全然異なる
220(1): 2020/05/21(木)22:27 ID:UJO/I9oe(1/2) AAS
>>202
x,yの範囲ではなく何なのか？と聞いてるのにまた答えない
おまえ逃げてばっかりだな
もうおまえ出てくんなよ
221: 2020/05/21(木)22:34 ID:UJO/I9oe(2/2) AAS
分るか爺さんはもしかして定義域、値域を聞いてるのか？
f:R→R f(x)=x^2 だよ
バカみたいに範囲範囲じゃなくちゃんと通じる言葉でしゃべれやアホ爺
222: 粋蕎 ◆C2UdlLHDRI 2020/05/22(金)03:16 ID:OHCJf9VK(1/6) AAS
>>45で述べた超現実数の認識を更新する。儂は勘違いしとった｡
超現実数体では 1=0.999…;…999…;…999…;…+ε である。超現実数では任意の無限小差、違いも加味する為｡
累超実数体では 1=0.999…;…999…;…999…;… である。累超実数体では上位の無限小累超実数差が排斥される為｡
超実数体では 1=0.999…;…999… である。超実数体では無限小超々実数差が排斥される為｡
実数体では 1=0.999… である。実数体では無限小差が排斥される為｡
有限数学では 0.999… 其の物が認められない。有限数学では無限概念と共に無限小数が排斥される為｡
安達数学では無限概念と共に無限小数を排斥され意味を失した 0.999… を 0.999…999 の意味で略述する事を認めた有限数学｡
安達数学は周回遅れや世代遅れ、世紀遅れどころではない、時代遅れも時代遅れ、古代の数学｡
223: 粋蕎 ◆C2UdlLHDRI 2020/05/22(金)03:22 ID:OHCJf9VK(2/6) AAS
今、0.999…を1の準表示とする｡
⇔0.333…を1/3の準表示とする｡
⇔1.41413562…を√2の準表示とする｡
a-(aの準表示)=a*{1-(1の準表示)}=a*(1-0.999…)=a*ε
無理数の小数展開のランダム性に捕らわれとった、此んな小学生乃至中学生で簡単に分かる事じゃった｡
何も 1-0.999…=0≠ε とせず 1-0.999…≠ε としても連続性担保できたんじゃ｡
何の問題も無く、連続体に成る。否、手抜かり述べ足らず考え足らずじゃった｡
>>45は実に杞憂じゃった、不必要かつ余計にファジィ解に分類しておった｡
誰か言った通りじゃった｡
> いや、現れるんじゃないかな
省6
224: 粋蕎 ◆C2UdlLHDRI 2020/05/22(金)03:24 ID:OHCJf9VK(3/6) AAS
1-1.999…/2=2/2-1.999…)/2=(2-1.999…)/2=(1+1-1+0.999…)/2=(1-0.999…)/2=ε/2
尚、数論でも難しいもんは超現実数に舞台を移すと余計に難しくなるが同質｡
12年前に「いや超現実数でも 0.999…=1 だからｗ」と言った人の意見に流されたばかりか
流された先に>>45の杞憂に停滞してもうた｡
ふむ、超現実数体の連続性は如何なる累超実数体の連続性よりも洗練されとった｡
此う成るとカントールの対角線論法は超現実数対象の際には補正せにゃならんじゃろうな｡
225: 粋蕎 ◆C2UdlLHDRI 2020/05/22(金)03:42 ID:OHCJf9VK(4/6) AAS
Reject前 Surreal(1-0.999…)=0≠ε & Game(1-0.999…)=ε≠0
Reject後 Surreal(1-0.999…)=ε≠0 & Game(1-0.999…)=ε≠0
よって 1-0.999…=ε≠0 なる結果を得るに当たりhackenbush gameを持ち出す迄も無いので
比較は超現実数とhackenbush gameではなく超実数と超現実数で良い事に成る｡
改定前 Surreal(1-0.999…)=0≠ε & Game(1-0.999…)=ε≠0
改定後 hyperreal(1-0.999…)=0≠ε & Surreal(1-0.999…)=ε≠0
他
1-0.999…=:ε≠0
0.999…=1-ε<1.999…/2=1-ε/2<1
1/3-0.333…=1/3-0.999…/3=(1-0.999…)/3=ε/3
省11
226: 粋蕎 ◆C2UdlLHDRI 2020/05/22(金)03:47 ID:OHCJf9VK(5/6) AAS
超現実数体上の 1 1/3 √2 π について ε=(:最小超限順序数ωの逆数) とすれば
1=0.999…+ε=0.999…+0.999…*ε+ε^2=0.999…+0.999…*ε+0.999…*ε^2+ε^3=…
={Σ[k=1,ω-1]0.999…*ε^k}-ε^ω
1/3=0.333…+ε/3=0.333…+0.333…*ε+ε^2/3=0.333…+0.333…*ε+0.333…*ε^2+ε^3/3=…
={Σ[k=1,ω-1]0.333…*ε^k}-ε^ω/3
√2=1.414…+√2*ε=1.414…+1.414…*ε+√2*ε^2=1.414…+1.414…*ε+1.414…*ε^2+√2*ε^3=…
={Σ[k=1,ω-1]1.414…*ε^k}-√2*ε^ω
π=3.141…+π*ε=3.141…+3.141…*ε+π*ε^2=3.141…+3.141…*ε+3.141…*ε^2+π*ε^3=…
={Σ[k=1,ω-1]3.141…*ε^k}-π*ε^ω
超現実数体では 1=0.999…;…999…;…999…;…+ε である。超現実数では任意の無限小差、違いも加味する為｡
省11
227: 粋蕎 ◆C2UdlLHDRI 2020/05/22(金)04:36 ID:OHCJf9VK(6/6) AAS
超現実数は任意の無限小順序を備える。反対に
累超Archimedes性で無限小累超実数roundingにより下位の無限小累超実数が丸められ超実数を得る｡
超々Archimedes性で無限小超々々実数roundingにより無限小超々々実数が丸められ超々実数を得る｡
超Archimedes性で無限小超々実数roundingにより無限小超々実数が丸められ超実数を得る｡
Archimedes性で無限小超実数rounding(=標準化関数)により無限小超実数が丸められ実数を得る｡
0.999… を 1 とする性質の正体は無限小roundingだった｡
228(1): 哀れな素人 2020/05/22(金)07:56 ID:sVechzr6(1/2) AAS
>>205
お前もくどいな(笑
>安達さんは、大きなεを考えてはいけないと言っているのですよ
そんなことは一言も言っていない(笑
そんなことは一言も言っていないと言い続けているのに
延々と同じことを書くアホ(笑
お前ほど国語力が壊滅的にダメなアホはいない(笑
>>211
>ひまだからおもちゃで遊んでるんじゃないですかw
自分のアホさも知らず延々とアホを晒しているバカが言うことか(笑
省8
229: 2020/05/22(金)08:28 ID:kXbn6oPF(1/4) AAS
>>228
また逃げた
もうおまえ出てくんなよ
230(1): 2020/05/22(金)08:30 ID:kXbn6oPF(2/4) AAS
>>200から逃げてばかりの分るか爺さんはもう出て来るな
231(2): 哀れな素人 2020/05/22(金)11:35 ID:sVechzr6(2/2) AAS
>>230
まったくお前もしつこいな(笑
だから|x-2|、|y-4|、このx、yとして
どのような範囲のx、yをお前は考えているのか、
と質問しているのである(笑
何でこんな簡単な質問の意味も理解できないのか、お前らは(笑
逃げた逃げたと書いているが、質問の意味も分らないアホに
一体何と答えればいいのか(笑
もう一週間以上お前ら（とくに質問少年）は答えていない(笑
逃げ続けているのはお前ら（とくに質問少年）ではないか(笑
省5
232(1): 2020/05/22(金)12:59 ID:aB1T5l6w(1) AAS
>>231
>>197
＞５．たしかに、仰るように ”連続性の定義のε-δ に反しているわけではない”ですね（多分、厳密には（小さいεのδの値を、大きいεに適用すれば良い？））。
スレ主さんのこのレス、意味わかってますか？
安達さんとスレ主さんとの違いは、これを理解できてるかどうかです
スレ主さんはわかってますが、安達さんはわかってない
省2
233(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/22(金)21:25 ID:gk5ulKI8(1/2) AAS
メモ貼る
外部ﾘﾝｸ:www.quantamagazine.org
Quanta magazine
KNOT THEORY
Graduate Student Solves Decades-Old Conway Knot Problem
(抜粋)
It took Lisa Piccirillo less than a week to answer a long-standing question about a strange knot discovered over half a century ago by the legendary John Conway.
画像ﾘﾝｸ[jpg]:d2r55xnwy6nx47.cloudfront.net
Lisa Piccirillo’s solution to the Conway knot problem helped her land a tenure-track position at the Massachusetts Institute of Technology.
n the summer of 2018, at a conference on low-dimensional topology and geometry, Lisa Piccirillo heard about a nice little math problem. It seemed like a good testing ground for some techniques she had been developing as a graduate student at the University of Texas, Austin.
省4
234: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/22(金)21:26 ID:gk5ulKI8(2/2) AAS
>>233
つづき
Before the week was out, Piccirillo had an answer: The Conway knot is not “slice.” A few days later, she met with Cameron Gordon, a professor at UT Austin, and casually mentioned her solution.
“I said, ‘What?? That’s going to the Annals right now!’” Gordon said, referring to Annals of Mathematics, one of the discipline’s top journals.
“I don’t think she’d recognized what an old and famous problem this was,” Gordon said.
省5
235: 2020/05/22(金)23:28 ID:kXbn6oPF(3/4) AAS
>>231
だから>>191でx,yの範囲を答えてるだろ
それに対しお前は>>191はx,yの範囲ではないと主張してるんだろ？
だから>>191がx,yの範囲ではないなら何なのか聞いているのにおまえは逃げ続けて答えない
なんでそんなに逃げ続ける必要があるのか？ それは>>185から逃げるためである
逃亡しかできない分るか爺さんは数学板に不要 いいかげんどっか失せろや
236: 2020/05/22(金)23:30 ID:kXbn6oPF(4/4) AAS
さっさと>>185に答えるか、今すぐ数学板から失せるか
好きな方を選べやアホ爺さん
237: 哀れな素人 2020/05/23(土)07:53 ID:apNgHhOh(1/4) AAS
>>232
まったくしつこいアホだな(笑
>εは大きくしてはいけない
僕はそんなことは一言も言っていないのである(笑
一体何度言えば分るのか(笑
大きく取る必要はないと言っているのだ(笑
その理由を教えてやろうと思って>>172の質問を出しているのだ(笑
それにεを大きく取っても連続であるかどうかは不明なのである(笑
εを小さくしたときに初めて連続か不連続かが分るののである(笑
分るか？(笑
省5
238(2): 哀れな素人 2020/05/23(土)07:55 ID:apNgHhOh(2/4) AAS
ID:kXbn6oPF
これはサル石ではなさそうだ(笑
どうも文章がサル石とは少し違う(笑
だから|x-2|、|y-4|、このx、yとして
どのような範囲のx、yをお前は考えているのか、
と質問しているのであって、
この質問の意味も分からないようなアホを相手に
一体何を語ればよいのか(笑
今朝もここまで(笑
239: 哀れな素人 2020/05/23(土)08:05 ID:apNgHhOh(3/4) AAS
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
↑関数の連続に関する動画
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
関数の極限に関する動画
どんな動画もεδを小さな範囲に取って説明しているだろ(笑
ε=1000000などと取って説明していないだろ(笑
wikipediaにもε、δは数学で非常に小さな数を表すと書かれているだろ(笑
「任意だからどんな巨大な数でもいい」
省1
240: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/23(土)09:03 ID:jlNBK+nU(1) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ[php]:www.shinshu-u.ac.jp
理学クエストトップ
信州大学 理学部
空間の代数的模型 -圏を行き来して幾何学的対象を理解する-
現在の研究テーマ：空間の代数的模型
栗林 勝彦
数学科
241(1): 2020/05/23(土)10:02 ID:9RDbx8CD(1/2) AAS
>>238
＞だから|x-2|、|y-4|、このx、yとして
＞どのような範囲のx、yをお前は考えているのか、
＞と質問しているのであって、
スレ主さんがこれに助け舟だしてくれない時点で、こんな意味不明な文章は安達さんしか理解できないのだとわかっていただきたいものですけどねぇ
242: 哀れな素人 2020/05/23(土)11:15 ID:apNgHhOh(4/4) AAS
>>241
超低脳ウルトラ馬鹿乙(笑
こんな質問の意味を理解できないバカはお前だけ(笑
くだらないレスを書く暇があるなら早く答えを書け(笑
ちなみにスレ主はお前が思っているようなレベルの男ではない(笑
そのことはサル石が一番よく知っている(笑
コピペしかできないところを見れば分るだろう(笑
しかしそんなスレ主でさえ、お前らのように
「任意だからどんな巨大な数でもいい」
などというアホなことは考えていない(笑
省2
243: 2020/05/23(土)12:00 ID:9RDbx8CD(2/2) AAS
安達さんもイプシロンデルタはコピペしかできてなかったですけどね
244: 2020/05/23(土)13:18 ID:qT7w3mi3(1/2) AAS
>>238
x,yの範囲を答えてるのに答えてないと強弁し>>185から逃げ続けるアホ爺は数学板に不要 さっさと失せろ
245: 2020/05/23(土)13:22 ID:qT7w3mi3(2/2) AAS
>>342
「あれ？アホ爺も分かってきたかな？」と思うこともあったが、その後コピペしてただけってバレてるしね
246(1): 哀れな素人 2020/05/24(日)08:01 ID:iBM07Qq9(1) AAS
ε、δは数学で非常に小さな数を表す、
という正しいことをコピペして何が悪いのか(笑
お前らのようなアホが常識を知らないからコピペしただけ(笑
何度でもいうが、お前らは
「任意だからどんな巨大な数でもいい」と思っているが、
そんなアホなことを考えているのはお前らだけ(笑
常識のないアホが数学をやると、お前らのようになる（ｹﾞﾗｹﾞﾗ
247: 2020/05/24(日)10:14 ID:PZHyt/0p(1/2) AAS
>>246
非常に小さな数って具体的にはいくつ以下？
248: 2020/05/24(日)10:54 ID:PZHyt/0p(2/2) AAS
アホ爺 ↓に答えらえず逃亡
・「どんな巨大な数でもいい」の否定は何か？
・「0<|x-2|<√(ε+4)-2」がxの範囲でないなら何か？
・「|y-4|<ε」がyの範囲でないなら何か？
・「必要で無駄じゃないε」とは具体的にはどんな値か？
・「非常に小さな数」とは具体的にはいくつ以下か？
アホ爺よ これ以上逃げ回って恥を上塗るくらいならさっさと消え失せたら？
249(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/24(日)13:05 ID:WD4sBPKv(1/2) AAS
＜メモ＞
楕円曲線に、”27”って 結構出てくるね
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
谷山?志村予想
谷山・志村予想（たにやましむらよそう、Taniyama?Shimura conjecture）は、「すべての有理数体上に定義された楕円曲線はモジュラーである」という主張
参考文献
導手について
27で割れない場合 リチャード・テイラー他 1999 Conrad, B.; Diamond, F.; Taylor, R. (1999). “Modularity of Certain Potentially Barsotti-Tate Galois Representations” (PDF). J. Amer. Math. Soc. 12: pp. 521-567.
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ams.org
JOURNAL OF THE
省21
250: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/24(日)13:07 ID:WD4sBPKv(2/2) AAS
>>249
つづき
外部ﾘﾝｸ:toyama.repo.nii.ac.jp
富山大学学術情報リポジトリ 2018/02/01
第25 回整数論サマースクール報告集
「楕円曲線とモジュラー形式の計算」
木村巌・横山俊一・編
P13
2.2.2 Weierstrass の標準形
E′: y^2 = x^3 - 27c^4x - 54c6 (2.5)
省17
251(2): 2020/05/25(月)04:50 ID:a2BCPKof(1/3) AAS
古代ギリシャ時代の有限数学では 0.999… 其の物が認められない。有限数学では無限概念と共に無限小数が排斥される為｡
実数体では 1=0.999… である。実数体では無限小差が排斥される為｡
超実数体では 1=0.999…;…999… である。超実数体では無限小超々実数差が排斥される為｡
超々実数体では 1=0.999…;…999…;…999… である。超々実数体では無限小超々々実数差が排斥される為｡
累超実数体では 1=0.999…;…999…;…999…;… である。累超実数体では上位の無限小累超実数差が排斥される為｡
超現実数体では 1=0.999…;…999…;…999…;…+ε である。超現実数では任意の無限小差、違いも加味する為｡
超現実数体上の 1 1/3 √2 π について ε=(:最小超限順序数ωの逆数) とすれば
1=0.999…+ε=0.999…+0.999…*ε+ε^2=0.999…+0.999…*ε+0.999…*ε^2+ε^3=…
={Σ[k=1,ω-1]0.999…*ε^k}-ε^ω
1/3=0.333…+ε/3=0.333…+0.333…*ε+ε^2/3=0.333…+0.333…*ε+0.333…*ε^2+ε^3/3=…
省5
252(1): 2020/05/25(月)04:50 ID:a2BCPKof(2/3) AAS
あ、間違って此処に書いた
253: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/25(月)06:26 ID:eyKRxUQp(1) AAS
>>251-252
どんまい
ありがとう（＾＾
254(2): 哀れな素人 2020/05/25(月)07:36 ID:dTHhCGiV(1/2) AAS
>>530
お前のしつこさとアホさに呆れる(笑
大きく取る必要はない、という文章は、
大きく取ってはいけない、という意味ではないぞ(笑
お前、それが分っているのか？(笑
大きく取る必要はない、とは、
大きく取ってもかまわないが、その必要はない、という意味だ(笑
分るか？(笑
僕は「どんな巨大な数でもいい」は間違いだと言っているのではない(笑
そんな巨大な数を取るのは不必要で無意味だと言っているのだ(笑
省8
255(3): 哀れな素人 2020/05/25(月)07:39 ID:dTHhCGiV(2/2) AAS
花咲か爺さんの桜の木の下に宝が埋まっていると分れば、
その桜の木の下を掘ればいいのであって、
村中の土を掘り返す必要はないのである(笑
分るか？(笑
「任意だからどんな巨大な数でもいい」というのは、
「とにかく土の下に宝が埋まっているのだから、
村中の土を掘り返せばいいのだ」というのと同じくらい、
ばかげたことであり不必要なことであり無駄なことなのである(笑
分るか？(笑
僕は村中の土を掘り返してはいけない、と言っているのではない(笑
省2
256: 2020/05/25(月)08:17 ID:0kzc96OE(1) AAS
>>254 >>255
アホ爺は今日も逃亡ｗ
257: 粋蕎 ◆C2UdlLHDRI 2020/05/25(月)10:10 ID:a2BCPKof(3/3) AAS
あっりゃ〜 k=1,ω-1じゃのうて k=0,ω-1じゃった >>251
>>254
無限概念から逃げるな、拒むな
>>255
其の無駄を語れてこそ数学である
258(1): 2020/05/25(月)10:41 ID:CAsqqzur(1) AAS
>>135
＞２．あと、例えば、ある１点x0で不連続な関数があって、不連続なx0の近傍での連続を考える場合に、不連続な部分を含める意味もまた、無いのです
T1空間なら成り立つはずです
ε-δ論法の対象が距離空間なりハウスドルフ性を持っているから成り立つだけで
いじわるな位相だと不連続な点を分離できないことがある
259(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/25(月)12:10 ID:ynbMVhgd(1/2) AAS
>258
>＞２．あと、例えば、ある１点x0で不連続な関数があって、不連続なx0の近傍での連続を考える場合に、不連続な部分を含める意味もまた、無いのです
>T1空間なら成り立つはずです
>ε-δ論法の対象が距離空間なりハウスドルフ性を持っているから成り立つだけで
>いじわるな位相だと不連続な点を分離できないことがある
仰る通り。T1空間、ハウスドルフは下記ね。なお、下記”いくつかの分離公理の図示”は見ておくのが良いと思う
（図を使わない ブルバキ流には反するがね（なお、私は図を使ってイメージを作る方が絶対良いと思うよ））
ところで、ε-δ論法が普通活躍する 一変数実関数を考えると、
ハウスドルフ性は満たされているので、y=f(x)で ｙ側に開集合が取れれば（それをOyとして）、
即 逆像f^-1(Oy) もまた 開集合になるのです
省13
260: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/25(月)12:10 ID:ynbMVhgd(2/2) AAS
>>259
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
分離公理
数学の位相空間論周辺分野において、考えたい種類の位相空間を割り出すための様々な制約条件が知られている。そういった制約のうちのいくつかが分離公理（ぶんりこうり、英: separation axioms）と呼ばれる条件によって与えられる。アンドレイ・チホノフ（英語版）に因んで、チホノフの分離公理とも呼ばれる。
分離公理が「公理」であるのは、位相空間に関する概念を定義するときに、これらの条件を余分な公理として追加して、位相空間がどのようなものかによってより制限された概念を得るという意味においてのみである。
現代的なアプローチでは、きっぱりと位相空間を公理化（英語版）してしまってから位相空間の「種類」について述べるという形になっているが、「分離公理」の語が定着している。いくつかの分離公理に "T" が付くのは「分離公理」を意味するドイツ語の Trennungsaxiom に由来する。
分離公理に関する用語の正確な意味は時とともに変化してきた。特に、古い文献を参照する際には、そこで述べられているそれぞれの条件の定義が、自分がそうだと思っている語の意味と一致しているかどうか確認しておくべきである。
省10
261(1): 2020/05/25(月)12:44 ID:7LlZYqhp(1) AAS
>>255
わかりますよ
それについては誰も文句言ってません
でも、安達さん口ではそう言ってますが、本当は違うこと思ってるじゃないですか
桜の木だけ調べてもいいけど村中の木を調べても良いのですよね？
安達さんを批判してる人は、村中の木を調べる愚直な方法について考えているわけです
イプシロンデルタ論法ですよね
任意のイプシロンを考えて良いと
省3
262(2): 哀れな素人 2020/05/26(火)08:02 ID:toUsS2Dt(1) AAS
>>261
分らん奴だな(笑
桜の木の下に宝が埋まっていると分っているのに、
なぜ村中の木を調べる必要があるのか(笑
なぜそんな無駄なことをする必要があるのか(笑
村中の木を調べても良いが、
そんな無駄なことをする必要はないのである(笑
そのことを教えてやろうと思って
>>172の質問を出しているのだ(笑
実際、どんな動画や数学書を見ても、
省2
263(1): 2020/05/26(火)08:33 ID:MC4o+gWw(1) AAS
>>262
言ったはずだが。屁理屈はいいので↓に答えろと
・「どんな巨大な数でもいい」の否定は何か？
・「0<|x-2|<√(ε+4)-2」がxの範囲でないなら何か？
・「|y-4|<ε」がyの範囲でないなら何か？
・「必要で無駄じゃないε」とは具体的にはどんな値か？
・「非常に小さな数」とは具体的にはいくつ以下か？
264(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/05/26(火)10:16 ID:/1WeSRXo(1/2) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
一様連続
一様連続性の定義はユークリッド空間や、それを一般化した概念である距離空間において定義される。 さらに一般に一様空間上でも定義可能である。
一様空間
位相空間の間の連続写像が位相的性質を保つように、一様空間の間の一様的性質を保つ写像は一様連続写像と呼ばれる。一様連続性は厳密には次のように定義される[1]：
定義 f を一様空間X から一様空間Y への写像とする時、f が一様連続 であるとは以下の性質を満たす事をいう：Y の任意の近縁V に対しX の適切な近縁U を取れば全てのx 、y ∈X に対し、
(x,y)∈ U → (f(x),f(y))∈ V
特にf が全単射でf 、f -1 がいずれも一様連続であるとき、f は一様同型 であるという。
任意の一様連続写像は、一様性から誘導される位相に関して、必ず連続である[1] 。
省10
265: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/05/26(火)10:16 ID:/1WeSRXo(2/2) AAS
>>264
つづき
目次
1 定義
1.1 近縁系による定義
1.2 擬距離による定義
1.3 一様被覆による定義
2 一様空間の位相
2.1 一様化可能空間
3 一様連続性
省7
266(1): 2020/05/26(火)12:01 ID:dol2Tbep(1) AAS
>>262
xとyの範囲の意味が安達さん以外誰もわかってないのですけど？？
xとyをεやδの不等式で表すのは、範囲じゃないんですよね？
267: 2020/05/26(火)12:32 ID:6iZ5iimt(1) AAS
数学掲示板群 外部ﾘﾝｸ[aspx]:x0000.net
学術の巨大掲示板群 - アルファ・ラボ 外部ﾘﾝｸ:x0000.net
数学 物理学 化学 生物学 天文学 地理地学
IT 電子 工学 言語学 国語 方言 など
PS 連続と離散を統一した！
外部ﾘﾝｸ[aspx]:x0000.net
微分幾何学入門
外部ﾘﾝｸ[aspx]:x0000.net
268: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/27(水)07:22 ID:dv6rS0Xa(1/7) AAS
＜デデキントエータ関数（イータ関数とも）についてメモ＞
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.nippyo.co.jp
『数学セミナー』2020年3月号
「高校数学ではじめる整数論」
連載●第 12 回
オイラーの無限積 付録
谷口 隆◎神戸大学大学院理学研究科
エータ関数
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
デデキントのイータ関数
省25
269: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/27(水)07:22 ID:dv6rS0Xa(2/7) AAS
つづき
リーマン面 Γ\H*
Γ を SL(2,Z) の部分群で有限な指数を持つとすると、そのような群 Γ は、SL(2,Z) と同様に上半平面 H に作用する。商位相空間 Γ\H はハウスドルフ空間であることが示される。
この空間は必ずしもコンパクトでないが、カスプ（尖点）と呼ばれる有限個の点を加えてコンパクト化できる。
カスプは H の境界を実軸とみなしたときにそのうちで有理数 Q に対応する点もしくは ∞ であり、その点を固定する Γ の放物元（トレースが ±2 である行列）が存在するような点をさす。[1]
これをつけ加えてコンパクトな位相空間 Γ\H* を考える事ができる。この商空間にリーマン面の構造を与えることができ、Γ\H 上の正則函数や有理型函数を定義することができる。
ここに「カスプにおいて有理型」であるとは、虚軸の正部分に沿った z → i?∞ なる極限においてモジュラー形式が有理型であることをいう。
f(z + 1) = f(z) すなわち、モジュラー形式が周期 1 を持つ周期函数であり、したがってフーリエ級数展開を持つことに注意。
保型因子とその他の一般化
デテキント・エータ函数は、
省9
270: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/27(水)07:23 ID:dv6rS0Xa(3/7) AAS
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
j-不変量
数学では、複素変数 τ の函数としたときのフェリックス・クライン(Felix Klein)の j-不変量 (j-invariant)、（もしくは、j-函数と呼ぶこともある）とは、複素数の上半平面上に定義された SL(2, Z) のウェイト 0 のモジュラー函数を言う。
尖点（カスプ）で一位の極を持つ以外は正則な、一意的な函数である。
jの有理函数はモジュラーであり、実はすべてのモジュラー函数を与える。古典的には、j-不変量は C 上の楕円曲線のパラメータ化として研究されていたが、驚くべきことに、モンスター群の対称性との関係を持っている（この関係はモンストラス・ムーンシャインと呼ばれる）。
省21
271(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/27(水)07:23 ID:dv6rS0Xa(4/7) AAS
つづき
類体論と j-不変量
j-不変量は、多くの注目すべき性質をもっている。
τ が虚数乗法であると、すなわち、虚数部が正である虚二次体の任意の元である（従って、j-不変量が定義される）と、j (τ) は代数的整数である[1]。
体の拡大 Q[j (τ), τ]/Q(τ) はアーベル的、すなわち、ガロア群がアーベル的になる。
Λ を {1, τ} で生成される C の中の格子とすると、乗法の下に Λ を固定する Q(τ) のすべての元が、整環（英語版）(order)と呼ばれる環の単位元(unit)を形成することがの容易にわかる。
同じような方法で同一の整環の生成子 {1, τ′} を持つ格子は、Q(τ) 上で j (τ) の代数的共役である j (τ') を定義する。包含関係に従い、Q(τ) の唯一の最大整環は、Q(τ) の代数的整数の環の τ の値であり、Q(τ) の不分岐拡大を導く。
これらの古典的な結果は、虚数乗法論の出発点となっている。
代数的定義
今までは、j を複素変数の函数として考えてきたが、楕円曲線の同型類の不変量としては、j を純粋に代数的に定義することもできる。
省4
272: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/27(水)07:24 ID:dv6rS0Xa(5/7) AAS
>>271
＜余録メモ＞
外部ﾘﾝｸ:www.nippyo.co.jp
「高校数学ではじめる整数論」付録ページ
谷口 隆◎神戸大学大学院理学研究科
2019年4月号「素数のレース」 4月号詳細情報 付録PDF（3月12日up！）
2019年5月号「関とベルヌーイの数列」 5月号詳細情報 付録PDF（4月12日up！）
2019年6月号「あまりたちのなすサイクル」 6月号詳細情報 付録PDF（5月10日up！）
省9
273(2): 哀れな素人 2020/05/27(水)08:08 ID:Z2rDQ2p1(1/2) AAS
>>263
しつこいアホだな(笑
何でお前はそんな無意味な質問を延々と続けるのか(笑
僕は「どんな巨大な数でもいい」
という考えを否定しているわけではないのに(笑
「どんな巨大な数でもいい」の否定は一つではない(笑
「どんな巨大な数でもいいわけではない」がその一つの答えだ(笑
しかしそれは「巨大な数ではいけない」という意味ではない(笑
「巨大な数では意味がない」という意味も含まれている(笑
分るか？(笑
省9
274(1): 哀れな素人 2020/05/27(水)08:10 ID:Z2rDQ2p1(2/2) AAS
>>266
xとyの範囲の意味が分らないおバカはお前らだけ(笑
フツーの数学徒なら誰でも答えられる(笑
僕はx、yとδ、εの関係などを質問しているのではない(笑
どんな範囲のx、yを考えているのか、と質問しているのだ(笑
何でこんな簡単な質問の意味が分らないのか、お前らは(笑
こんな簡単な質問の意味が分らないということが、
お前らがεδ論法が分っていない決定的証拠なのである(笑
275: 2020/05/27(水)09:26 ID:/0KzVtdE(1/2) AAS
>>273
不正解ｗ
>>274
>僕はx、yとδ、εの関係などを質問しているのではない(笑
>どんな範囲のx、yを考えているのか、と質問しているのだ(笑
εδ論法を全く分かってないｗ
アホ爺はやはりアホだったｗ
276: 2020/05/27(水)22:19 ID:/0KzVtdE(2/2) AAS
>>273
>僕は「巨大な数では意味がない」と言っているのだ(笑
意味のあるεとはどんな値？具体的に答えてね
277(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/27(水)23:33 ID:dv6rS0Xa(6/7) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
楕円曲線
複素数体上の楕円曲線
楕円曲線の複素射影平面（英語版）の中のトーラスの埋め込みとしての定式化は、ヴァイエルシュトラスの楕円関数の不思議な性質から自然に導かれる。
複素数上に、どの楕円曲線も九個の変曲点を持っている。これらの点のうちの二つを通るどの直線も、三つ目の変曲点を通る。九つの点と12の直線はこのようにしてヘッセ配置（英語版）を成す。
代数体上の楕円曲線
有理数体 Q 上、あるいは一般に代数体 K 上定義された曲線 E/K についても接線と割線の方法 (the tangent and secant method) による加法は、E にも適用できる。群構造を定義したときにも述べたように、明示公式から、2つの K-有理点 P, Q の和は、P と Q を結ぶ直線は K 上に係数を持つゆえ、再び K 上に座標を持つ。
このようにして、E の K-有理点全体のなす集合は E の複素数点（K が実代数体の場合は実数点）全体のなす群の部分群を成す。この意味において、楕円曲線はアーベル群、すなわち P + Q = Q + P となっている。
高さ
省5
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