[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて〜な 31問目 (1002ﾚｽ)
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1(7): 2020/01/27(月)20:12 ID:QSsw4R/8(1/2) AAS
過去ログ置き場(1-16問目)
外部ﾘﾝｸ:www3.tokai.or.jp
まとめwiki
外部ﾘﾝｸ:www6.atwiki.jp
1 2chｽﾚ:math
2 2chｽﾚ:math
3〜6「datが存在しません。」
7 2chｽﾚ:math
8 2chｽﾚ:math
9 2chｽﾚ:math
省24
903(2): 2020/03/24(火)00:23 ID:bCLJqQcJ(1) AAS
l = (sinθ/(1+sinθ))(θ+π/2) + (sinθ'/(1+sinθ'))(θ'+π/2) + cosθ/(1+sinθ) + cosθ'/(1+sinθ') + (π-θ-θ')
S = (θ/2)(sinθ/(1+sinθ))^2 + (θ'/2)(sinθ'/(1+sinθ'))^2 + (1/2)sinθcosθ/(1+sinθ)^2 + (1/2)sinθ'cosθ'/(1+sinθ')^2 + (π-θ-θ')/2
maximize S/l where θ,θ'≧0, θ+θ'≦π
BEｱｲｺﾝ:1mukb.png
904: 2020/03/24(火)01:36 ID:TnHQvRcs(1) AAS
>>896
レスありがとうございます。
こういうアルゴリズムになるのかと愚考しています。
事前分布を選択する（例. 有病率は高々10%として(0.0.1]の一様分布とする)、
陽性確率は真陽性確率と偽陽性確率の和、
陽性数はこの確率で二項分布、
905(1): 2020/03/24(火)02:07 ID:cfg1hqI2(1/2) AAS
>>897
具体的には球面上の2変数の座標系stがあって
st平面上の領域Dと球面が(x,y,z)=f(s,t)で対応しているとき
球面上の一様分布を与えるst2変数の密度関数g(s,t)が存在し
dS/4π=g(s,t)dsdt
となる
頑張ればf,gは具体的な式で与えることは出来る
球面上の4点をp1=f(s1,t1)・・・p4=f(s4,t4)で表して
これら4点を頂点とする4面体の体積を表す関数V(p1,p2,p3,p4)を
何とか式で表せはするから
省2
906(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/03/24(火)02:44 ID:G+Ea7M2l(1/3) AAS
前>>901
>>902
y軸を挟んで(0,0)に中心をあわせた半径1,中心角45°の扇形を1対並べ、それを両サイドから挟むように半径1/2,中心角45°の扇形を並べ、その左右端に半径1/4,中心角45°の扇形を弧が滑らかにつづくようにくっつけて並べ、
(0,1),(±1/√2,1/√2),(±1/2±1/2√2,1/2√2),(±3/4√2±1/4,1/4√2),(0,0)の8点が滑らかにつづくように結ぶ。
点(0,0)を挟む円弧の中心を(0,t),中心角をθとおくと、
正弦定理より、
sinθ=(3/2√2+1/2)/2t
ピタゴラスの定理より、
(3/4√2+1/4)^2+(t-1/4√2)^2=t^2
t=(3√2+3)/4
省15
907(2): 2020/03/24(火)06:11 ID:MOWxPvKi(1/4) AAS
>>903
Sの式で (θ/2) の所は (θ+π/2)/2、 (θ'/2) の所は (θ'+π/2)/2 では？
Steinerに習って対称性を仮定しますた。
l(θ) = 2(θ+π/2){sinθ/(1+sinθ)} + 2cosθ/(1+sinθ) + π -2θ,
S(θ) = (θ+π/2){sinθ/(1+sinθ)}^2 + sinθcosθ/(1+sinθ)^2 + π/2 -θ.
θで微分して
(d/dθ)(S/l) = {2 - (θ+π/2)cosθ/(1+sinθ)}{π･cos(2θ) -sin(2θ) -2θ}
／{4(1+sinθ)(π/2 -θ +π･sinθ +cosθ)^2},
ここで
2 - (θ+π/2)cosθ/(1+sinθ) >0 (0<θ<π)
省7
908: 2020/03/24(火)06:37 ID:MOWxPvKi(2/4) AAS
(補足)
θ｡ = 27.65781870881107747733891798287807ﾟ
(S/l)max. = (小円の半径) = sinθ｡/(1+sinθ｡)
= 0.31702857011315030244270875179918713
(原点〜中心の距離) = 1/(1+sinθ｡)
= 0.68297142988684969755729124820081287
909: 2020/03/24(火)07:06 ID:cfg1hqI2(2/2) AAS
>>905
まあ1点は固定して考えて良いし
2点目も1点目を通る大円で考えて
その上で一様分布で取れば良い(1次元)
3点目は半球内で一様に取るかな(2次元)
4点目は球上で一様に(2次元)
積分は5変数でよいかな
910(1): 2020/03/24(火)07:29 ID:MOWxPvKi(3/4) AAS
(続き)
l(θ｡) = 1.48625008894369638043092594627639431
S(θ｡) = 4.68806356604781887658254751068492774
S/l = 0.31702857011315030244270875179918713
また、θ=30° のとき
(小円の半径) 1/3,
(原点〜中心の距離) 2/3,
l(30°) = 2(3√3 +5π)/9 = 1.472358208
S(30°) = (3√3 +11π)/27 = 4.645359042
S/l = (3√3 +11π)/{6(3√3 +5π)} = 0.31695251
省4
911(1): 2020/03/24(火)08:31 ID:JQHHwetB(1/3) AAS
>>907
素晴らしい
数値としては0.317028570...で正解ですが、
なぜその形だと最大になるのか証明も欲しいところです
ヒントを言うと、あるパラメータ付き作用素の固有値をレイリー商により求めて、極限を飛ばすと(面積)/(周長)になることを利用します
912(1): 2020/03/24(火)11:07 ID:v/fj8fVi(1/2) AAS
>>911
閉曲線が囲む図形は
・凸集合として良い
・尖ってる部分が無いとして良い（つまり閉曲線は微分可能）
・半円の境界に接していない部分は、少なくとも局所的に曲率が等しいとして良い
ことから>>903の形を仮定していいはず
913: 2020/03/24(火)11:31 ID:MOWxPvKi(4/4) AAS
AA省
914(1): 2020/03/24(火)15:59 ID:JQHHwetB(2/3) AAS
>>912
凸なのと、曲率が局所一定はいいと思うのですが、微分可能なのはどうしてでしょうか
915(1): 2020/03/24(火)18:16 ID:v/fj8fVi(2/2) AAS
>>914
尖ってる部分の外角をθとして、こんな風にθ/2の傾きの直線で切った時のlとSの変化を考えると、
切る長さxに対してlの減少は 2x(1-cos(θ/2)) (as x→+0)で近似できるのに対し、
Sの減少は (x^2*sinθ)/2 (as x→+0) で近似できる。
よって、x>0を十分小さく定めれば、より大きい S/l を実現できる。
あと忘れてたけど
・最大の S/l を与える閉曲線が存在する
も言う必要あるな…大したことないかもだけど
BEｱｲｺﾝ:1muut.png
916(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/03/24(火)18:22 ID:G+Ea7M2l(2/3) AAS
前>>906
ピタゴラスの定理より、
(3/4√2+1/4)^2+(t-1/4√2)^2=t^2
t=(3√2+3)/4
=3(1+√2)/4
=1.81066017……
t^2=9(3+2√2)/16
sinθ=(4-√2)/6
=0.430964406……
θ=25.52877935……
省11
917: 2020/03/24(火)18:42 ID:JQHHwetB(3/3) AAS
>>915
あーなるほど...
たしかに角を小さく切る、つまり
xを(S/l)(4(1-cos(θ/2))/sinθより十分小さく取ればよりよい比が出るのか
ありがとうございました
Maxの存在ですが、そもそも閉曲線の集合を具体的に言ってなかったんですが、リプシッツ閉曲線の集合とすればおそらく存在は言えます
918(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/03/24(火)19:09 ID:G+Ea7M2l(3/3) AAS
前>>916
面積=π/2
周長=2π/2+2=π+2
とすると、閉曲線はいくらでも半円に近づけられるんじゃないか？
面積/周長=π/(2π+4)
=3.05507735……
919(2): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/03/25(水)17:58 ID:YcAWd6vy(1/2) AAS
前>>918直線も曲線のうち。
半径1の半円のコーナー2か所を半径rの円弧で円くカットするとき、
半円のカットされる円弧部分に対する中心角をθとすると、
(1-r)sinθ=r
sinθ=(1+sinθ)r
r=sinθ/(1+sinθ)
1-r=1/(1+sinθ)
r^2=sin^2θ/(1+sinθ)^2
面積=π/2-θ+(1-r)rcosθ+πr^2(π+2θ)/2π
=π/2-θ+(1-r)rcosθ+r^2(π/2+θ)
省8
920: 2020/03/25(水)18:54 ID:mDuON5Tg(1) AAS
>>919
正解だけどもう>>907で解答出てます
921(1): 2020/03/25(水)20:06 ID:8IQhbp71(1) AAS
いつもの芸風
922: 2020/03/25(水)21:25 ID:jmNOx22O(1) AAS
>>921
正確がでてからも延々と誤答を連発するのが芸風だったようなｗ
923(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/03/25(水)23:17 ID:YcAWd6vy(2/2) AAS
.､､,,
彡`e)⌒〜っ
⌒〜っ
ιγ)
`彡´
υ´前>>919別解を探ってんだよ。
924(2): 2020/03/28(土)04:00 ID:H8zc980P(1/4) AAS
単位正方形を面積0.21未満の三角形5つで分割せよ
925: 2020/03/28(土)04:01 ID:H8zc980P(2/4) AAS
正方形は面積の等しい奇数枚の三角形では分割出来ないことを証明せよ
926(2): 2020/03/28(土)05:11 ID:z8xV0i7R(1) AAS
>>924
正方形を座標 [0,1]×[0,1] におく。
アドホックだけど
周上の3点 A(0,1), B(0.4,0), C(1,0.59) を考えると
線分ABが面積0.2の三角形を切り出す。
線分ACが面積0.205の三角形を切り出す。
線分BCが面積0.177の三角形を切り出す。
残った三角形ABCは面積が0.418だから、AからBCの中点へ線分を引くとこれを面積0.209ずつに等分する。
927: 2020/03/28(土)05:28 ID:H8zc980P(3/4) AAS
>>926
素晴らしい
正解です
928: 2020/03/28(土)05:40 ID:H8zc980P(4/4) AAS
ちなみに
「正方形を5つの三角形で分割したとき、一番大きな三角形の面積の下限」
については私は答えを知りません
おそらく>>926タイプが最小だと思うけど証明出来ません
929(3): 2020/03/28(土)08:19 ID:BJlezchp(1/5) AAS
n(=10)人の中から無作為にm(=2)人選んだらその中に少なくとも一人の感染者がいた。
全体で何人の感染者がいるかの期待値を求めよ。
5.345794人であってる？
930: 2020/03/28(土)08:34 ID:BJlezchp(2/5) AAS
>>929
4.324324人かな？
931(1): 2020/03/28(土)08:40 ID:BJlezchp(3/5) AAS
いや、6.5人じゃないかな？
932(2): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/03/28(土)09:18 ID:zOKjl8OR(1) AAS
前>>923
>>929違うと思う。
少なくとも1人ということは、2人中1人か2人が感染している。
2人中1.5人が感染しているから、10人だと、
1.5(10/2)=7.5
∴7人か8人が感染している。
933: 2020/03/28(土)10:07 ID:GB5uxKLH(1) AAS
>>924
周上の3点 A(0, 1) B(√2 -1, 0) C(1, 2-√2) を考えると
4つの?が合同になり (√2 -1)/2 = 0.20710678 > 1/5
残った直角2等辺三角形は (√2-1)^2 = 0.171572875
一番小さい三角形の面積の範囲は 0.1682〜0.18 ですかね
934: 2020/03/28(土)10:34 ID:BJlezchp(4/5) AAS
6.5の計算式
x=0:n # 感染者数:x, 非感染数:n-x
pmf=1- choose(n-x,m)/choose(n,m) # 感染者がx人のときにm人中誰かが感染している確率 ＝ 1 - (ｍ人全員非感染の確率)
pdf=pmf/sum(pmf) # 確率密度関数化して
(E=sum(x*pdf)) # 期待値を計算
935: 2020/03/28(土)11:11 ID:BJlezchp(5/5) AAS
>>932
2人の感染数の期待値1.5に固定ではなくて全体の感染率に依存するんじゃないの？
# p:感染確率
p1=2*p*(1-p) # 一人だけ感染確率
p2=p^2 # 二人とも感染確率
(1*p1+2*p2)/(p1+p2) # 感染人数の期待値
1.5になるのはp=2/3のとき。
936(1): 2020/03/29(日)02:03 ID:mVS6e59j(1/2) AAS
AA省
937: 2020/03/29(日)04:48 ID:Uzyj10C6(1) AAS
面白い問題見つけてきました、けっこう簡単だけども。
n次元実数空間上にn個の点P_1,P_2,…,P_nを、それぞれの座標が
P_1:(1,0,0,…,0)
P_2:(0,2,0,…,0)
P_3:(0,0,3,…,0)
…
P_n:(0,0,0,…,n)
となるように取る。
P_1〜P_nのn個の点で作られる(n-1)次元空間と原点Oの距離をd(n)としたとき
lim[n→∞] d(n) を求めよ。
省2
938: 2020/03/29(日)06:28 ID:aOvcdyIH(1/2) AAS
(n-1)次元空間 (超平面とよぶ) は
x_1 + (1/2)x_2 + ････ + (1/n)x_n = 1,
で表わされる。
この超平面上の点X (x_1, x_2, ････, x_n) と原点O (0,0,････,0) の距離|OX|の2乗は
|OX|^2 = Σ[k=1,n] (x_k)2
≧ {Σ[k=1,n] (1/k)x_k}^2 / {Σ[j=1,n] 1/jj} (← コーシー)
= 1 / {Σ[j=1,n] 1/jj}
= d(n)^2,
d(n) = {Σ[j=1,n] 1/jj}^(-1/2)
→ {Σ[j=1,∞] 1/jj}^(-1/2) (n→∞)
省4
939: 2020/03/29(日)06:44 ID:aOvcdyIH(2/2) AAS
(n-1)次元空間 (超楕円面とよぶ) は
(x_1)^2 + {(1/2)x_2}^2 + ････ + {(1/n)x_n}^2 = 1,
で表わされる。
この超楕円面上の点X (x_1, x_2, ････, x_n) と原点O (0,0,････,0) の距離|OX|の2乗は
|OX|^2 = Σ[k=1,n] (x_k)2
≧ Σ[k=1,n] {(1/k)(x_k)}^2
= 1
= d(n),
lim[n→∞] d(n) = 1.
面白い！
940: 2020/03/29(日)07:59 ID:mVS6e59j(2/2) AAS
>>392
嘘をついてしまい申し訳ありませんでした
＞∴ p(m+1)-pm>0⇔ Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k > 1
Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k<log((n-1)/m)より、(n-1)/m<eのとき、右辺<1よりp(m+1)<pmなので、
(n-1)/e<mのうち最小でないmは不適だから[n/e]+1より大きいmは不適
Σ[m≦k≦n-1] 1/k>log(n/m)より、n/m>eのとき、右辺>1よりp(m-1)<pmなので、
n/e>mのうち最大でないmは不適だから[n/e]より小さいmは不適
（また、p([n/e]+2)<p([n/e]+1)だからΣ[[n/e]+2≦k≦n-1] 1/k<1で、
Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/k<1+1/([n/e]+1)<2）
Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/kが1未満のときm=[n/e]で、1以上のときm=[n/e]+1で最大だから、
省2
941: 2020/03/29(日)08:15 ID:LkZjh/9V(1) AAS
>>936
レスありがとうございます。
多数決で決める事項ではないけど同じ結論の人がいてほっとしました。
942: 2020/03/29(日)09:33 ID:WogCQeQk(1/4) AAS
（謎）
昨日の東京のコロナ陽性者は87人検査して63人陽性であったという。
検査の感度0.6 特異度0.9と仮定して、87人中に感染者は何人と推定されるか？
943(1): 2020/03/29(日)09:43 ID:WogCQeQk(2/4) AAS
キャバクラ客100人から無作為に5人から検体を採取してこの検体を混合攪拌してコロナ検査したところ陽性であった。
100人のキャバクラ客の陽性数の期待値を求めよ
944: 2020/03/29(日)09:45 ID:WogCQeQk(3/4) AAS
>>943
401/7 になった
945: 2020/03/29(日)10:35 ID:WogCQeQk(4/4) AAS
>>929
ベイズ的に考えると
n人からm人選んだら少なくとも一人の感染者がいたとする。
Ax: x人の感染者がいる(x=0~n)という事象
B:最低一人の感染陽性判定という事象
Pr[Ax|B]=Pr[B|Ax]Pr[Ax]/Pr[B]
Pr[Ax]:事前確率
Pr[B|Ax]:尤度
Pr[B]:周辺尤度(規格化定数)
求めたい期待値Eは
省4
946(1): 哀れな素人 2020/03/30(月)08:24 ID:7yoNMR67(1) AAS
↓この問題を初等幾何で解け
【幾何】日本数学オリンピック予選 23
【解説】日本数学オリンピック予選 ２００９年 問４
外部ﾘﾝｸ:www.youtube.com
947: 2020/03/30(月)14:05 ID:zICzxEKY(1) AAS
>>946
哀れな素人さん、どうもガロアスレのスレ主です。
面白い問題やね（＾＾；
948(1): 2020/03/30(月)15:45 ID:7S3Fype3(1) AAS
(1) s²+s=n^4-n² を満たす整数s, nは存在するか。有限組あるならすべて求めよ
(2) 5^c+s²+s=n^4-n² を満たす整数c, s, n は存在するか。有限組あるならすべて求めよ
949: 2020/03/30(月)16:33 ID:uxzDymBq(1/2) AAS
(1)
0 = s(s+1) - nn(nn-1) = (s+nn)(s+1-nn),
∴ s = -nn または s = nn-1. (無数にある)
950: 2020/03/30(月)17:23 ID:uxzDymBq(2/2) AAS
(2) s(s+1) も nn(nn-1) も偶数だから矛盾。
951(1): 2020/03/30(月)18:15 ID:oNI+nbzZ(1) AAS
b(x) は奇関数で、aを実数として
b(x)= ∫[0, x] b(u) du + ∫[a, x+a] b(u) du
を満たす。
(1) b(a), b(2a) を求め、
(2) a_n=∫[0, na] b(u) du とする。a_1= ∫[0, a] b(u) du =1 としてa_nをnを用いて表せ。
952(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/03/30(月)23:34 ID:psAYFPlW(1) AAS
前>>932
>>948(1)
(s,n)=(3,2),(3,-2),
(0,1),(0,-1),
(-1,1),(-1,-1),
(8,3),(8,-3),
(-9,3),(-9,-3)
953: 2020/03/31(火)10:49 ID:NdCHFxJo(1/2) AAS
>>951
b(x) = F(x) + F(x+a) - F(a),
ここに F(x) = ∫[0,x] b(u)du は偶関数。
b(x+a) = - b(-x-a)
= - F(-x-a) - F(-x) + F(a)
= - F(x) - F(x+a) + F(a)
= - b(x),
よって b(x) は周期2aをもつ。
954(1): 2020/03/31(火)11:05 ID:NdCHFxJo(2/2) AAS
ゆえに
b(x) = ∫[0,x] b(u)du + ∫[0,x] b(u+a)du
= ∫[0,x] b(u)du - ∫[0,x] b(u)du
= 0,
955(10): 2020/03/31(火)21:32 ID:YPumKBAH(1) AAS
半径2の円内に交わりのない単位正方形を8つ詰め込むにはどうしたらよいか
956(1): 2020/03/31(火)22:52 ID:0eySXOLI(1) AAS
>>955
x軸の上に、四角を横に三個並べ、その上に同様に三個乗せ、その上に二個を中央に並べる
右下の角は(3/2,0)、中段の右上の角は(3/2,2)、最上段の右上の角は(1,3)だが、
どれも(0,√7/2)からの距離が2を超えないのでここを中心に円を書けばいい
957(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/03/31(火)23:00 ID:DSOHFKJI(1) AAS
前>>952
>>955
円の中心を原点(0,0)として、
(-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形、
(0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形、
(-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形、
(-1/2,√15/2),(-1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2)を頂点とする単位正方形の4つを描き、
あとの4つはそれぞれ4つの象限に正方形の中心を置き、y軸に対して2つが対称になるように置く。
x軸に正対させるんじゃなく斜め45°ぐらいで先に置いた4つの単位正方形にぎりぎり接するか接さないかぐらいで探るとよい。
958: 2020/04/01(水)00:03 ID:jY1QTlKF(1) AAS
>>955
外部ﾘﾝｸ:imgur.com
完全に手探りで詰め込んでみました. ( Geogebra で作図 )
描画線幅のボヤケで接触してるように見える箇所も実際は離れています.
959: 2020/04/01(水)00:49 ID:3A39oS9Q(1/3) AAS
>>956
円の中心を(0,0)とすれば
(±3/2, -(√7)/2) と (±3/2, 2 -(√7)/2) のなす長方形に６個
(±1, √3) と (±1, √3 -1) のなす長方形に２個
ですね。
* 2 - (√7)/2 = 0.677124344
√3 - 1 = 0.7320508
960(1): 【大吉】 2020/04/01(水)01:12 ID:hhUwhMFY(1/4) AAS
前>>957
残り4つのうち2つを第3象限と第4象限に斜め45°で入れようとすると、
点(1/2,√15/2-1)と直線y=x-1/2+1-√3+1/2√2の距離は、
|4√2-√30-2√6+1|/4=0.929837703……＜1
予想通り残りの2つを第1象限と第2象限に入れることができない。
つまり第3象限と第4象限に入れようとした2つの単位正方形を最初に置いた2つの単位正方形の1つの頂点(-1,1-√3)および(1,1-√3)辺が接したままその点を支点に円弧側に傾けて、残り2つの単位正方形が入るようにする。
最大限傾けると点(1/2,√15/2-1)と第4象限で傾けた単位正方形の最も近い辺の距離は1を超えるはず。
点(1,1-√3)から√5/2の距離にある単位正方形の2つの頂点が決まり次第お伝えしたい。
961: 2020/04/01(水)03:55 ID:MHhYU/kR(1) AAS
微分四次元
962: 2020/04/01(水)08:37 ID:+rNOlT7Q(1) AAS
一辺の長さ3の正方形を、半径1の円5つで被覆することは可能か
963: 2020/04/01(水)09:38 ID:3A39oS9Q(2/3) AAS
上から √3 =1.7320508 の部分を1×√3の長方形に三等分する。
下から (√7)/2 = 1.3322875 の部分を 3/2 × (√7)/2 の長方形に二等分する。
各長方形は、対角線の長さが2だから、半径1の円で被覆することが可能。
964: 2020/04/01(水)09:48 ID:3A39oS9Q(3/3) AAS
〔問題〕半径Rの円板上に、直径1の円板何枚かを互い
に重なる部分が無いように置きたいのですが、最大何枚
まで置けるでしょうか。
・R=2 の場合。
数セミ増刊「数学の問題 第(3)集」日本評論社 (1988)
●104
(日本MOでも使われたらしい。)
965: 2020/04/01(水)13:03 ID:YULTPcko(1) AAS
外部ﾘﾝｸ:en.m.wikipedia.org
966: 2020/04/01(水)14:00 ID:ZUQmzTxS(1) AAS
大小2つの円を用意したら結果はどうなるかな
967(1): 【末吉】 2020/04/01(水)17:55 ID:hhUwhMFY(2/4) AAS
前>>960方針変更。最初の4つは同じ。傾き45°は変えない。
>>955
5つ目〜8つ目の単位正方形を第1象限〜第4象限に振り分け、y軸に対して2つを対称に、かつ辺がy=xまたはy=-xと平行になるように置くと、5つ目の単位正方形の頂点の座標は、
(2-√15/4-√3/2,1/2+√15/4-√3/2),
(2+√2/2-√15/4-√3/2,1/2-√2/2+√15/4-√3/2),
(2+√2-√15/4-√3/2,1/2+√15/4-√3/2),
(2+√2/2-√15/4-√3/2,1/2+√2/2-√15/4-√3/2)
6つ目,7つ目は第2象限,第3象限に置くとして8つ目の単位正方形を5つ目の単位正方形とぴったりくっつけたままy軸方向に寄せると、
y=x-3/2-√2+√15/2とx=1/2の交点は、
(1/2,-1-√2+√15/2)
省7
968(1): 【令和】 2020/04/01(水)19:46 ID:hhUwhMFY(3/4) AAS
前>>967
最初に描いたy軸を挟んで円弧と接する2つの単位正方形の第3象限のを?,第4象限のを?,次に描いた原点を含むのを?,y軸の+方向で円弧と2か所で接するのを?とすると、?と?が接さない可能性がある。
つまり5つ目と8つ目を接したまますべらせつつ右回転、6つ目と7つ目を接したまま左回転し、円内に納める。
名づけて八星天道虫作戦。
969(1): 【ぴょん吉】 2020/04/01(水)22:58 ID:hhUwhMFY(4/4) AAS
前>>968
>>955
円の中心を(0,0)とし、
(-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形?、
(0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形?、
(-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形?、
(-1/2,√15/2),(-1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2)を頂点とする単位正方形?を描き、
5つ目の単位正方形?を第1象限に、
6つ目の単位正方形?を第2象限に、
?と?がy軸に対して線対称となるように置き、
省9
970: 2020/04/02(木)11:17 ID:4wgrunsr(1) AAS
いま、ある人がコロナに感染しており、n個のコロナウイルスを持っている
コロナは一時間ごとに増減し、確率pでa個増え、1-pでb個減るとする(0<p<1、aとbは自然数)
また、コロナはS個以下になれば生存確定、T個以上になれば死亡確定とする
生存確率の範囲は？
Tを正の無限大に飛ばしたときの生存確率の範囲は？
971(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/04/02(木)22:45 ID:RYC4Exv5(1) AAS
前>>969別解。
>>955
???はそのまま、?を原点のほうに寄せ?にくっつけ、?と?および?と?をそれぞれ縦に並べ??を挟みこむようぴったりつける。
???
???の6つはy軸に対して左右線対称なので、
?の右上の座標(3/2,3-√3)が円内にあれば単位正方形8つはすべて円内にある。
(3/2)^2+(3-√3)^2=9/4+9-6√3+3
=57/4-6√3
=14.25-6･1.7320508……
=14.25-10.3923048……
省2
972(2): 2020/04/03(金)09:50 ID:mgebV0rK(1/5) AAS
半径2の円内に交わりのない単位正方形を8つと
（2/3)×√3 の長方形を１つ詰め込むにはどうしたらよいか
973: 2020/04/03(金)11:41 ID:iElvV83p(1) AAS
>>954
定数関数って奇関数じゃなくね
974: 2020/04/03(金)12:03 ID:y55gm0o6(1/2) AAS
>>972
こんな感じの詰めかたで半径1.9991425…くらい
画像ﾘﾝｸ[png]:imgur.com
975: 2020/04/03(金)12:21 ID:mgebV0rK(2/5) AAS
正解です！
(√3）+ (√15)/2 - 3 = 0.66854248
√(8√7 - 7）- 2 = 1.763776094
まではいけそうです。
976: 2020/04/03(金)12:40 ID:mgebV0rK(3/5) AAS
充てん率で言えば 9.1547/4π = 0.72851
（単位正方形8つの 2/π = 0.63662 より向上)
977(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/04/03(金)13:38 ID:1jf5ZUTP(1/2) AAS
前>>971
>>972
???まで同じ。
?はy軸切片2の位置ら辺の周に頂点をひっかけて待つ感じ。
????を第1,2,3,4象限に配置し片側に寄せると、?または?が円周につかえるためやや内側に押され、?と?が頂点で?のとなりあう2辺と接する形になる。
たとえば左寄せで?と?の縦の面をあわせて横幅2/3,縦に√3の辺が来るようにすると、
右上の頂点(11/3-√3,1/2)の座標から、
(11/3-√3)^2+(1/2)^2=3.99273852……＜4
なんとか円内に入る。
?の左上辺または右下辺を傾ける角度は、
省2
978(2): 2020/04/03(金)14:40 ID:mgebV0rK(4/5) AAS
半径2の円内に交わりのない √(5/8)×√(3/2) の長方形を１0個詰め込むにはどうしたらよいか
979: 2020/04/03(金)15:08 ID:y55gm0o6(2/2) AAS
>>978
a^2+((3/2)b)^2＝(2a)^2+b^2＝2^2
を解いてa＝√(5/8),b＝√(3/2)って係数を得たということね
980(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/04/03(金)16:30 ID:1jf5ZUTP(2/2) AAS
前>>977
>978
横長に下から1つ2つ3つ重ねると上面は、
3√(5/8)-√[2^2-{(1/2)√(5/8)}^2]=0.411159852……
残り4つを半円より小さな上のエリアに、
￥マークのように2つの長方形をソの字に置き、その上に2つを□に置くか、
または羊の異体字のように横向きの長方形を上下に離して置き、そのあいだに左右からハの字に楔状につっこむ。
981: 2020/04/03(金)17:58 ID:1+NoQgUm(1/4) AAS
x軸の上に長方形を寝かせて三個並べる
その上に中央に寝かせて二個並べる
下段の右上の角は(長辺の長さ×3/2,短辺の長さ)
上段の右上の角は(長辺の長さ,短辺の長さ×2)
どちらも原点からの距離が4なので原点中心の半円に五個はまる
982: 2020/04/03(金)21:39 ID:mgebV0rK(5/5) AAS
正解です！
充てん率で言えば 9.68246 / 4π = 0.770505
半径2の円内に交わりのない (2/√13)×(8/√13) の長方形を8つ詰め込むにはどうしたらよいか
983(1): 2020/04/03(金)22:04 ID:1+NoQgUm(2/4) AAS
長方形を寝かせて六段重ねたものを作り、両サイドの中央に一個づつ立たせてくっ付ける
重ねた長方形の角までの距離=(長辺÷2)^2+(短辺×3)^2=2^2
横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(短辺)^2=2^2
984: 2020/04/03(金)22:07 ID:1+NoQgUm(3/4) AAS
>>983訂正
× 横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(短辺)^2=2^2
○ 横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(長辺÷2)^2=2^2
985: 2020/04/03(金)22:10 ID:1+NoQgUm(4/4) AAS
また間違えた距離じゃなくて距離^2だった
986(1): 2020/04/04(土)01:09 ID:hLQ36is2(1/3) AAS
ほぼ正解です！
充てん率で言えば 9.846154 / 4π = 0.783532
□よりも細長い方が収まりがいい（?)
987(1): 2020/04/04(土)02:01 ID:pmTrKGmv(1) AAS
正直あまり数学って感じでもないけど
ある日の午前中に雪が降り始めた。
除雪車が正午ぴったりに動き出し、
1時間で2マイルの除雪を完了し、
さらに1時間で1マイルの除雪を完了した。さて雪が降り始めた時刻は？
ただし、その日雪が降り始めるまでの積雪は0、雪は一定の速さで降り積もり、除雪車が単位時間あたりに処理する雪の体積は常に一定とする。
上記のようなSnow plow problemの派生として
それでは2時間後の加速度が1時間後の半分になる場合、雪が降り始めた時刻を数値的に求める場合にあると便利な数表はなにか？理由付きで。
電卓等は使わないものとする
988: 2020/04/04(土)10:39 ID:hLQ36is2(2/3) AAS
>>986
√(8/17) × 3√(8/17) の長方形を7つ詰め込むと充てん率が
9.882353 / 4π = 0.7864
となり、正方形の内接円の充てん率 (π/4=0.7854) を超える。
とくに意味はないが････
989: 2020/04/04(土)11:47 ID:hLQ36is2(3/3) AAS
正午よりc時間前に雪が降り始めたとする。
積もった雪の高さは t+c に比例し、
除雪車の速さv(t)は t+c に反比例する。
v(t）= k/(t+c),
正午からt時までに除雪車が進んだ距離は
∫[0,t］v(t')dt' = ∫[0,t] k/(t'+c）dt'
= k･log{(t+c)/c}
題意により、
k･log{(c+1)/c｝= 2マイル
k･log{(c+2)/c｝=（2+1)マイル
省11
990: 2020/04/04(土)11:55 ID:S2S4Ftgc(1) AAS
時間当たり除雪量をJ、時点tのときの雪の高さをH(t)=(t+a)/hとし、除雪車の位置をx(t)
除雪車は短い時間dtでdx進み、その間少しの雪dxH(t)を除雪するから、dtJ=dxH(t)
x(t)=∫dx=∫dtJ/H(t)=Jh∫dt/(t+a)、x(t)-x(0)=Jhln((t+a)/a)だから、
x(1)-x(0)=Jhln((1+a)/a)=2、x(2)-x(0)=Jhln((2+a)/a)=3、3ln((1+a)/a)=2ln((2+a)/a)
((1+a)/a)^3=((2+a)/a)^2、a^2+a-1=0より、aはフィボナッチ数(√5-1)/2
雪は正午から(√5-1)/2時間前に降り始めた
dx(t)/dt=Jh/(t+a)、ddx(t)/dtdt=-Jh/(t+a)^2だから、-Jh/(2+a)^2=(-Jh/(1+a)^2))*1/2と置くと、
(2+a)^2=2(1+a)^2、a^2-2=0、なので√2時間前
平方根表が必要
991(1): 【凶】 2020/04/04(土)19:39 ID:xmNOPA8p(1) AAS
前>>980
>>955
円の中心を(0,0)とし、
(-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形?、
(0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形?、
(-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形?、
(0,2),(-√2/2,2-√2/2),(0,2-√2),(√2/2,2-√2/2)を頂点とする単位正方形?を描き、
5つ目の単位正方形?を第1象限に、
6つ目の単位正方形?を第2象限に、
?と?がy軸に対して線対称となるように置き、
省4
992(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/04/05(日)14:29 ID:kyAykWoL(1/2) AAS
前>>991
>>955予想。
??をy軸に対して線対称にハの字型に置き、?の右下辺の傾きを4/3、?の左下辺の傾きを-4/3としy軸上で接するようにする。
?は原点付近に中心を置き正対させ、?をy軸に対して45°回転させ頂点を(0,2)と(0,2-√2)に置く。
?〜?の中心を第1〜4象限に置き、
??は?と同じ傾きにし、??は?と同じ傾きにすると、
?,?,?〜?をそれぞれ1つずつの頂点で円に内接するように置くことがぎりぎりできないかと思う。
993(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/04/05(日)22:22 ID:kyAykWoL(2/2) AAS
前>>992
>>955別解。
??をy軸に対して線対称に置き、?の左上辺の傾きを3/4,左下辺の傾きを-4/3にする。
?の中心を原点に配置しx軸,y軸に正対させ、?をy軸に対して45°回転、頂点を(0,2),(0,2-√2)に配置する。
?の左上辺と右下辺の切片の差は7/5。
???の左上辺の傾きを3/4,
???の右上辺の傾きを-3/4にあわせ、
?をめいいっぱい上げて?の左端のx座標が1/2より大きく、かつ右端の座標の2乗和が、
x^2+y^2≦4の範囲にあればいい。
?の左端の頂点を?の右下辺よりわずかに下にとるには、
省28
994: 2020/04/06(月)03:03 ID:39Ei0lMN(1) AAS
[0,1]上の無理数xに対して、
xの連分数展開を[a_0;a_1,a_2,...]とする.
p_n(x):= [a_0;a_1,a_2,...,a_n]としたとき、
極限lim(n→∞) (x-p_n(x))^(1/n)を求めよ.
995: イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/04/07(火)03:01 ID:St9xu4sq(1) AAS
前>>993訂正。?の左上辺と右下辺の切片の差は5/4。
>>955
単位正方形??の頂点を(0,-1.07),(±0.6,-1.87),(±1.4,-1.27),(±0.8,-0.47)
単位正方形?の頂点を(-0.5,0.5),(-0.5,-0.5),(0.5,-0.5),(0.5,0.5)
単位正方形?の頂点を(0,2),(-√2/2,2-√2/2),(0,2-√2),(√2/2,2-√2/2)
単位正方形??の頂点を(±0.4,0.98),(±1,0.18),(±1.8,0.78),(±1.2,1.58)
単位正方形??の頂点を(±0.56,-0.15),(±1.16,0.95),(±1.96,-0.35),(±1.36,0.45)にする。
996(1): 哀れな素人 2020/04/07(火)08:37 ID:D9Jvum39(1) AAS
↓この問題を初等幾何で解け
和算【数学検定1級 過去問】
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
997: 2020/04/07(火)12:33 AAS
次スレ
2chｽﾚ:math
998: 2020/04/07(火)20:30 ID:ZlV3F5Vq(1) AAS
>>996
乾円の直径をD
坤円の直径をd
水平線の長さを 2L
とする。
?の相似により D：L=L：d
水平線の長さ L = √(Dd) … (1)
Dをδだけ変えたとき、
・乾円の面積は（πD/2)δ 変わる。
・黄色部分の面積は（2L - πD/2)δ だけ変わる。
省4
999: 2020/04/08(水)00:20 ID:ZohoKp5e(1) AAS
>>987のまねをしてみた
雪の降り方は一定ではなく次第に衰え、降り止んで以降は溶け出すものと変更する
降り始めてからt時間後の時点での雪の積もる速度はcos(πt/3)とする(0<t<4)
正午前に雪が降り始めて正午から除雪車を稼働させる
雪が降り始めて一時間半後の時点で一マイルの除雪ができた
さらにその後30分で一マイルの除雪ができた
雪が降り始めた時間を知るにはどんな表が必要か
1000: 2020/04/08(水)01:38 ID:8k14h8i+(1) AAS
=1000+1000-1000*1000/1000
1001(1): 1001 ID:Thread(1/2) AAS
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