[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて〜な 32問目 (1002ﾚｽ)
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1(4): 2020/04/07(火)12:32 AAS
過去ログ置き場(1-16問目)
外部ﾘﾝｸ:www3.tokai.or.jp
まとめwiki
外部ﾘﾝｸ:www6.atwiki.jp
01 2chｽﾚ:math
02 2chｽﾚ:math
03 外部ﾘﾝｸ:mimizun.com
04 外部ﾘﾝｸ:mimizun.com
05 外部ﾘﾝｸ:mimizun.com
06 外部ﾘﾝｸ:mimizun.com
省28
903: 2020/08/10(月)10:59 ID:Y0L2GZC5(1) AAS
>>898
非負整数mと正整数nとでmm+mn+nnで表される整数が面積比として現れる
1 3 4 7 9 12 13 16 19…となるが、各々の後ろに2をつけて
12 32 42 72 92 122 132 162 192…とすると、対応するゴールドバーグ多面体が現れるところが面白い
904: 2020/08/10(月)11:16 ID:LgtUhmnG(1) AAS
>>898
おまえの連休、それでええんか？
905(1): 2020/08/10(月)12:28 ID:OMgDriQH(1/2) AAS
自然数 n に対し、以下を示せ。
(1) lim[n→∞] ∫[0,1] ((x^n)/(x+1)) dx = 0
(2) lim[n→∞] Σ[k=1,n] ((-1)^(k+1))/k = log(2)
906: 2020/08/10(月)19:50 ID:OMgDriQH(2/2) AAS
>>905
【追加】
(1)と(2)は同値であることを示せ。
907(1): 2020/08/11(火)01:19 ID:dwVOjOlW(1/2) AAS
立方体にくり抜いた穴にその立方体を通すことができるか？という有名な問題。
こういうCGはわかりやすいけど、グラフィックスで騙されていないかなとつい思ってしまうのだが、
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
実物作って実験した動画があった。
Prince Rupert’s cube live demonstration
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
まだ、10人しか見ていないｗ
908: 2020/08/11(火)01:26 ID:KLYyGItm(1/5) AAS
>>907
単に最大サイズっぽい6角形に正方形が含まれることを示したら良いのでは
909: 2020/08/11(火)01:38 ID:KLYyGItm(2/5) AAS
1辺(√6)/3の正六角形だから中に1辺1の正方形はほんの少し余裕持って収まるよ
910(1): 2020/08/11(火)10:54 ID:FoWZrPf+(1/2) AAS
ずっと最大の穴は対角方向だと思ってたけど違うんだな
911(1): 2020/08/11(火)11:10 ID:KLYyGItm(3/5) AAS
>>910
対角線に沿って射影したのが最大じゃ無いの？
まあ立方体を通すには対角線に沿ってでいいけど
912(3): 2020/08/11(火)11:36 ID:dlrqXygC(1/2) AAS
対頂点を1組選び、各々がら出ている三本の辺計6本を除いた6本の辺の中点を結んだ正6角形
立方体の一辺が1なら正六角形の一辺は1/√2
913: 2020/08/11(火)12:14 ID:KLYyGItm(4/5) AAS
>>912
>6本の辺の中点を結んだ正6角形
何でそれ考えるの？
平面への射影の中に1辺1の正方形が収まれば良いんでしょうに？
914(1): 2020/08/11(火)12:20 ID:FoWZrPf+(2/2) AAS
>>911
射影六角形の面積を最大にするのはもちろん対角方向のときだけど、射影六角形に含まれる正方形を最大にするのは違うときらしい
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
>>912
それは何か関係あるの？
915: 2020/08/11(火)12:25 ID:dlrqXygC(2/2) AAS
あ、失礼>>912は平面切断の最大
916: 2020/08/11(火)13:09 ID:KLYyGItm(5/5) AAS
>>914
面白い！
しかし正方形だと単純なのが立方体だと相当複雑
この先次元上げて同じ問題考えたときはどうなるンかいヤ
917: 2020/08/11(火)15:41 ID:cs2e13nz(1) AAS
モンティホール問題はモンティが意図的にドアを開けるから
プレイヤーにとって最初に選んだ当たりのドアの確率は
1/3のまま不変
トランプ問題はシャッフルして無作為に選択するから
10/49に下がる
918(4): 2020/08/11(火)16:44 ID:vLWirhb5(1/2) AAS
a(n)=Σ[i=1,n]gcd(i,n)とする
nの素因数分解をn=Π(p_i)^(e_i)としたとき
a(n)=n×Π((e_i)(1-1/(p_i)+1)となることを示せ
例えばn=720=2×2×2×2×3×3×5のとき
a(n)=720×(4×(1-1/2)+1)(2×(1-1/3)+1)(1×(1-1/5)+1)=9072
となる
919: 2020/08/11(火)16:45 ID:vLWirhb5(2/2) AAS
>>918
カッコミス
誤 a(n)=n×Π((e_i)(1-1/(p_i)+1)となることを示せ
正 a(n)=n×Π((e_i)(1-1/(p_i))+1)となることを示せ
920(2): 2020/08/11(火)20:23 ID:vj5zwGo/(1) AAS
>>918
a(n) はオイラーの φ 関数を使うと
a(n) = n Σ[d|n] φ(d)/d
と書けることから、 a(n) は（互いに素な数の積に関して）乗法的であることがわかる。
（ a(n) はgcd-sum functionまたはPillai's arithmetical functionと呼ばれているらしい）
また、上の式と φ 関数の性質から、素数 p のべき乗 p^k について
a(p^k) = (p^k)(1 + k(1 - 1/p))
が成り立つので、
a(n) = Π a((p_i)^(e_i)) = Π ((p_i)^(e_i))(1 + (e_i)(1 - 1/p_i))
= n Π (1 + (e_i)(1 - 1/p_i))
921: 2020/08/11(火)20:59 ID:WVTEAQ4r(1) AAS
>>920
正解です！
名前は知りませんでした、ありがとうございますm(_ _)m
922(3): 2020/08/11(火)23:14 ID:dwVOjOlW(2/2) AAS
ジュースディスペンサー
例 画像ﾘﾝｸ[png]:event21.co.jp
に１００％天然果汁が１０L入っていて常に撹拌されている。
すなわち、濃度はいつも均一とする設定。
コックにトラブルがあって１分間に１０ｍLずつ漏れている。
それを補うために１分間に１０ｍLの天然水を補っているとする。
５０％天然果汁のジュースになるのは何分後か？
923(1): 2020/08/12(水)01:00 ID:oejKmXQz(1/2) AAS
>>918
部分和の謎公式みつけたかも。q(x)=1-2(x-[x])とおく
Σ[i=1〜k]gcd(i,n)=Σ[i=1〜k, j=1〜n]q(ij/n)
924(4): 2020/08/12(水)01:05 ID:vgqXhROq(1) AAS
充填した時刻をt=0、濃度をC(0) とする。
時刻tでの濃度をC(t)とすると、題意より
dC(t)/dt = - 0.001 C(t),
これを解いて
C(t) = C(0)exp(-0.001t),
半減期をT(分)とする。
C(T) = C(0)/2,
log(2) = 0.001T
T = 1000 log(2) = 693.15(分)
925(1): 2020/08/12(水)01:23 ID:JIB7mcFI(1/2) AAS
>>923
{x} = x - [x] （ x の小数部分）を使えばさらに不思議な式に
Σ[i=1,k] gcd(i,n) = Σ[i=1,k] Σ[j=1,n] (1 - 2{ij/n})
926(2): 2020/08/12(水)01:36 ID:oejKmXQz(2/2) AAS
>>925
よく考えたらもっと直接
gcd(i,n)=Σ[j=1,n] (1 - 2{ij/n})
と計算できることがわかりました！
927(1): 2020/08/12(水)01:56 ID:JIB7mcFI(2/2) AAS
>>926
Σ[j=1,n] 2[ij/n] = gcd(i, n) - n + i(n+1)
から従うわけですね
928(1): 2020/08/12(水)04:20 ID:KrQ981jo(1/4) AAS
>>924
(1-0.001)^x=0.5
log(0.5)÷log(0.999)
=692.8005491785
929: 2020/08/12(水)04:23 ID:KrQ981jo(2/4) AAS
>>928
微妙に違うな。
930: 2020/08/12(水)06:28 ID:KrQ981jo(3/4) AAS
0.1分後の濃度は1-1/10000になるから
50%になるのは
(log0.5)/log(0.9999)*0.1=693.112522623342になる
0.01分後だと
(log0.5)/log(0.99999)*0.01
=693.143714821421
になって
>924の値に近づいた。
微分方程式なしで子供に説明できそう。
931(1): 2020/08/12(水)06:30 ID:KrQ981jo(4/4) AAS
>>922
>それを補うために１分間に１０ｍLの天然水を補っているとする。
これを５mLに変えたらどうやって計算すればいいんだろう？
932(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/08/12(水)15:08 ID:VaAaef6o(1/2) AAS
前>>862
>>922
1分後 果汁9990ml+天然水10ml
2分後 果汁9980.01ml+天然水19.99ml
3分後 果汁9970.02999ml+天然水29.97001ml
4分後 果汁9960.05996001ml+天然水39.94003999ml
5分後 果汁9950.09990004999ml+天然水49.90009995001ml
n分後 果汁A_n=0.999A_n-1=10000(0.999)^n=5000
天然水10000-A_n=10000-0.999A_n-1
(0.999)^n=1/2
933(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/08/12(水)15:25 ID:VaAaef6o(2/2) AAS
前>>932
>>922
(0.999)^692=0.50040063528......
(0.999)^693=0.49990023464......
∴693分で希釈できる。
934: 2020/08/12(水)16:04 ID:/JkmxmVW(1/2) AAS
>>931
１分毎に間欠的に5mLの水を補充するモデルで考えた。
V(t):t分後のジュースの総量
C(t):をt分後の濃度
V(0)=10000
V(1)=10000-10+5
V(t)=10000-5*t
C(0)=1
C(1)=9990/9995=C(0)*(V(0)-10)/V(1)
C(2)=C(1)*(V(1)-10)/V(2)
省7
935: 2020/08/12(水)16:13 ID:/JkmxmVW(2/2) AAS
>>924
放射性物質の崩壊仮定とそっくりの式になるんですね。
レスありがとうございました。
936: 2020/08/14(金)07:02 ID:Vqud894y(1) AAS
例）
エルビウム(Er)-165 の半減期は 621.5 (分) です。
937(2): 2020/08/14(金)07:57 ID:GJ+vKVSe(1/2) AAS
セシウム137の半減期を30年、セシウム134の半減期を２年としたときに総セシウムの数の半減期と総放射能の半減期は何年か？
って厳密解が計算できる？
どうやって計算するの分からなかったからシミュレーション解しか出せなかった。
938(1): 2020/08/14(金)07:59 ID:GJ+vKVSe(2/2) AAS
>>937
(補足)
最初にセシウム137とセシウム134が1:1で存在しているとする。
939: 2020/08/14(金)08:43 ID:pzSK4b+7(1) AAS
>>937
式を簡単にするために、最初の量を2とする
1/(2^(t/30))+1/(2^(t/2))=1
wolfram先生によると t=5.93045 らしい
940: 2020/08/14(金)11:29 ID:cIdouH6q(1/2) AAS
数値解ならだせるんだが、
C137 <- function(t) 0.5*(1/2)^(t/30)
C134 <- function(t) 0.5*(1/2)^(t/2)
C_total <- function(t) C137(t)+C134(t)
curve(C_total(x),0,30)
(t0.5=uniroot(function(t,u0=1/2) C_total(t)-u0, c(0,30))$root)
> (t0.5=uniroot(function(t,u0=1/2) C_total(t)-u0, c(0,30),tol = 1e-12)$root)
[1] 5.930454
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com
941(1): 2020/08/14(金)12:11 ID:cIdouH6q(2/2) AAS
総放射能の半減期は
C137 <- function(t) 0.5*(1/2)^(t/30)
C134 <- function(t) 0.5*(1/2)^(t/2)
CR_total <- function(t) (log(2)/30)*C137(t) + (log(2)/2)*C134(t) # log(2)/半減期=崩壊定数
curve(CR_total(x),0,30)
CR_total(0)
(tr0.5=uniroot(function(t,u0=CR_total(0)/2) CR_total(t)-u0, c(0,30))$root)
> (tr0.5=uniroot(function(t,u0=CR_total(0)/2) CR_total(t)-u0, c(0,30))$root)
[1] 2.178902
942(3): 2020/08/17(月)02:25 ID:U7f6nYy/(1) AAS
時刻tで未崩壊の総セシウム数は
f(t) = 30･(1/2)^(t/30) + 2･(1/2)^(t/2)
に比例する。
これが現在の半分になる時が t=T とすると
f(T) = f(0)/2,
T = 27.2071525 (年)
セシウム134 は ほとんど残ってない。
残っているのは ほぼ全部セシウム137.
943: 2020/08/17(月)17:57 ID:h5k/PqLF(1/2) AAS
原子数=放射能/崩壊定数=放射能/(log2/半減期)=放射能*半減期*log2だから放射能が同じなら原子数∝半減期だから>942の通りですね。
944: 2020/08/17(月)19:09 ID:h5k/PqLF(2/2) AAS
原子数=放射能/崩壊定数=放射能/(log2/半減期)=放射能*半減期*log2
原子数で１：１なら、
放射能は原子数＊崩壊定数＝原子数＊log2/半減期 ∝ 原子数/半減期
なので、原子数で１：１のときに放射能が１／２になるのは>941で
>942の計算は放射能比でCs137とCs134の比が１：１の計算でどちらも正しいと思う。
945: 2020/08/17(月)19:56 ID:W/1NrXP0(1/3) AAS
>>942
これは総セシウム数が半分になる期間で総放射能が半分になる期間ではないと思う。
946(1): 2020/08/17(月)20:22 ID:f+AbBcsh(1) AAS
時刻0において、何が1:1なのか？
初期状態において、セシウム137由来の放射線量と、セシウム134由来の放射線量が1:1と解釈するのか、
セシウム137の物質量と、セシウム134の物質量が1:1と解釈するのかでは、自ずと別の問題になる。
>>938の補足は、後者だという意思表明だと思うが、いずれであろうとも、
初期状態の設定の違いとして現れるだけなので、回答を作成する場合には、本質的な差は無い。
それよりも、混合線源に対して、「半減期」なるものは定義できないのでは？
問題作成者に問題があるとおもうが。
947: 2020/08/17(月)20:36 ID:W/1NrXP0(2/3) AAS
フクイチから放出されたセシウム137、セシウム134のベクレル比が１：１とすると本日の残存セシウム総数とそれからの放射能は
> cesium_now()
$mol_ratio
[1] 0.7561325
$radioactivity_ratio
[1] 0.02628639
という値になった。
セシウム総数が半分になるのが27年ということなので9.4年めの今は75％残存は感覚としてもあってそう。
948: 2020/08/17(月)20:37 ID:W/1NrXP0(3/3) AAS
>>946
＞混合線源に対して、「半減期」なるものは定義できないのでは
これはご指摘の通りです。初期状態の半分になる時間と考えてください。
949: 2020/08/21(金)07:00 ID:eKSCCB4p(1/2) AAS
>>900
「n」の正六角形
原点−中心の距離がn,
(外接円の半径R) = (一辺の長さ) = √n,
面積が (3√3)/2・n,
aが中心ならば -3a, -3ωa, -3ω~a も中心
950: 2020/08/21(金)18:48 ID:eKSCCB4p(2/2) AAS
>>900
自然数mに対して「m^2」の正六角形がある。
中心は -m^2, -m^2･ω, -m^2･ω~
(外接円の半径 R) = (一辺の長さ) = m,
面積が (3√3)/2・m^2
951(4): 2020/08/23(日)08:46 ID:zNwHrz2Z(1) AAS
ボルトの頭ってなんで六角形が多いの？
五角形の方が良くない？
角が少ない分、角が潰れることが少ないし、
角度は90度未満で回せる点は六角形に劣らない。
952: 2020/08/23(日)09:23 ID:UbZvhaLk(1) AAS
作りやすさってのもあるんじゃないか？
953: 2020/08/23(日)09:31 ID:WSLH6TNX(1) AAS
レンチをどうするん？
954: 2020/08/23(日)09:57 ID:DAxswYAA(1) AAS
>>951
二角形がベストと言うことか
955(1): 2020/08/23(日)11:11 ID:+zeUDUO0(1/2) AAS
>>927 或いは >>926
この等式の証明が分からない。誰か教えて。
流れ元の >>918 >>920 の方は理解できた。
956: 2020/08/23(日)11:22 ID:Wi06ZCqF(1) AAS
平行な辺がないとレンチをきっちり当てるのに苦労しそうだな
レンチをはめることを考えると四角形より六角形の方がやりやすく、角をなめにくいことを考えると八角形以上より六角形の方が有利
ってことで六角形なんじゃないか？
957: 2020/08/23(日)15:01 ID:+zeUDUO0(2/2) AAS
>>955 これ自己解決しました。
閉領域 [0...n]× [0...i] に於ける格子点を考える。
P, Q, M を其々 直線: y= (i/n) * x の 下方にある/ 上方にある / 乗っている 格子点数とする。
(n/2, i/2) に対しての点対称性より P = Q, それと M= gcd(i,n)+1
領域の全格子点数は (n+1)(i+1) = P+M+Q = 2P + gcd(i,n)+1
∴ Σ[j=1,n] 2[ij/n] = 2( P + M -1-n ) = (n+1)(i+1) -gcd(i,n)-1 + 2(gcd(i,n) -n)
= gcd(i,n) -n + i(i+n)
958: イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/08/23(日)23:30 ID:Q5A4PXq6(1) AAS
前>>933
>>951
ペンチやモンキーで挟むとき辺が平行じゃないと力が均等にかからないから回しにくい。よって正方形か正六角形か正八角形が考えられるが、正方形の場合ペンチを差しこむ体勢が2つしかない。となりのネジに障って回せなかったりコードに手が支えたりするなか確率の低いことをするとなんでネジを正方形にすんねんてなる。逆に正八角形だとネジとペンチの接触面が少なく力をじゅうぶんに伝えられず効率がわるい。
あいだをとって正六角形にするのがよいと考えられている。もちろん別の考えで別のかたちのネジを作ってもよいが、世間に認められるかどうかは別だ。
959: 2020/08/25(火)08:56 ID:7va++JjE(1) AAS
>>951
数学脳は真実を見ない典型だな
72°>60°
これに尽きる
960: 2020/08/25(火)18:38 ID:LqiSh/C2(1) AAS
なるほど
おもしろいですね
961: 2020/08/26(水)06:06 ID:+5D/ly7R(1) AAS
>>951
円でない理由は俺にもわかるｗ
962(1): 2020/08/27(木)13:45 ID:hFWBTQEb(1) AAS
∫^1_0ln(x^2-x+1)/(x*(x-1))dxはどのようにして求められますか？
963: 2020/08/27(木)14:12 ID:bBlfWfYS(1) AAS
大先生にお伺いをたてる
外部ﾘﾝｸ:www.wolframalpha.com
964(3): 2020/08/27(木)15:07 ID:17pR8ej1(1/4) AAS
組合せ論の天才ロバース（数学オリンピック3回金メダル）の本だけあって面白い問題がありました。
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2^n × 2^nのチェス盤から1つのマス目だけ取り除いた欠損チェス盤は以下のL字牌で敷き詰められることを証明せよ。
省2
965(1): 2020/08/27(木)15:30 ID:TE2F4JaV(1) AAS
2^n 倍に拡大したL字を 4^n 個のL字で敷き詰められることから帰納法
966: 2020/08/27(木)15:48 ID:MGNmMRXt(1) AAS
>>962
∫[0,1] log(x^2-x+1)/(x(x-1)) dx
と解釈すると、すぐに思いついたのは、 log(1+x) のテイラー展開より |x| < 1 のとき
log(1+x) = Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1)x^n/n
で、 log(x^2-x+1)/(x*(x-1)) = log(1+x(x-1))/(x(x-1)) において
0 ≦ x ≦ 1 のとき |x(x-1)| < 1 だから、
log(1+x(x-1))/(x(x-1)) = Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1)(x(x-1))^(n-1)/n
より、項別積分によって 0 ≦ x ≦ 1 における定積分が計算できる
ここで
∫[0,1] (x(x-1))^(n-1) dx = (-1)^(n-1) Β(n, n)
省5
967: 2020/08/27(木)17:41 ID:bnTgCcB8(1) AAS
とりあえず
Σ[n=0,∞]n!n!/(2n+2)!=3F2(1,1,1;2,3/2;1/4)
になってコレにClausen's formulaなるものを使うと
=(2F1(1/2,1/2;3/2;1/4))^2
になりコレに2F1(1/2,1/2;3/2;s^2)=(1/s)arcsin(s)を適用すると
=(2(π/6))^2=π^2/9
にはなった
968(2): 2020/08/27(木)19:52 ID:yuNusFyR(1) AAS
Σ[n=m,∞] n!n!/(2n+2)! = 3Ｆ2(1,m+1,m+1;m+2,m+3/2;1/4)
で m=0 の場合。
>>965
□□
□△
○△△□
○○□□
のように分解していく････
969(3): 2020/08/27(木)19:54 ID:2PsWGfvW(1) AAS
面白いな
関さんのブログに計算方法みつけたけど規制でリンク貼れない
外部ﾘﾝｸ:integers.hate●nablog.com/entry/2018/12/19/150752
(●抜いて)
970(2): 2020/08/27(木)20:02 ID:17pR8ej1(2/4) AAS
>>968
模範解答は実は非常に分かりやすいんです。
971(1): 2020/08/27(木)20:08 ID:17pR8ej1(3/4) AAS
帰納法でやるんですが、例えば、
2^1のときには明らかに敷き詰め可能です。
2^kのときOKと仮定します：
□□□□
□■□□
□□□□
□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
省32
972: 2020/08/27(木)20:09 ID:17pR8ej1(4/4) AAS
中央の
■■
□■
黒い部分（欠損している部分）はL字牌で敷き詰められます。
以上です。
973: 2020/08/27(木)22:05 ID:9j7a53Tx(1) AAS
>>970
さんの持ってる模範解答はともかくとして
Clausen's identity
(2F1(a,b;a+b+1/2;z))^2
=3F2(2a,2b,a+b;2a+2b,a+b+1/2;z)
ってどうやって示すんだろう？
974: 2020/08/28(金)00:17 ID:y9rDl245(1/2) AAS
>>970
良いスナその模範解答キモチヨイ
975(3): 2020/08/28(金)00:25 ID:PuYYvvEm(1) AAS
次の漸化式で定められた数列の全ての項は平方数であることを示せ
a_1=a_2=a_3=1
a_(n+3)=-a_(n+2)+2*a_(n+1)+8*a_n
976(1): 2020/08/28(金)01:08 ID:HSbg+0jD(1/2) AAS
10
11
20
31
52
121
200
314
512
これ次の数字分かる人いる？
省2
977(1): 2020/08/28(金)01:19 ID:Rc1d/x4d(1) AAS
851,1228,...
978: 2020/08/28(金)01:24 ID:HSbg+0jD(2/2) AAS
>>977
正解
これ注意書きなく単に「次の数字は？」って出し方したら悪問かな
どう思う？
自分は別にいい気がするけど
979(1): 2020/08/28(金)02:06 ID:sIUBKqp2(1/4) AAS
>>975
力技だけど
4項間漸化式を特性方程式x^3+x^2-2x-8=0の根
α=2, β=(-3+√(-7))/2, γ=(-3-√(-7))/2
を使って
a_n=Aα^n+Bβ^n+Cγ^n
と形を決めて、初項から
A=2/7, B=-1/7, C=-1/7
と係数を決定して
a_n=(2^(n+1)-((-3+√(-7))/2)^n-((-3-√(-7))/2)^n)/7
省9
980: 2020/08/28(金)02:12 ID:Q3hz88VV(1) AAS
>>975
p=(-1+√7i)/2, q= (-1-√7i)/2, bn=(p^n-q^n)/(p-q)
とおく
b1=1, b2=-1, b3=-1
である
b[n+2]=-b[n+1]-2bn
によりbnは全て整数
cn=bn^2とおくとcnは全て平方数である
c1=c2=c3=1
cn=(p^2n+q^2n+2^n)/(p-q)^2
省7
981: 2020/08/28(金)02:27 ID:sIUBKqp2(2/4) AAS
>>969
このarcsinの2乗のテイラー展開は神秘的だな
逆三角関数のwiki英語版には書いてるけど日本語版には書いてない
982: 2020/08/28(金)04:14 ID:Lqo6RwyU(1/2) AAS
>>969
この記事ではChu-Vandermondeの恒等式とやらを使って証明しているけど、
f(x) := (arcsin(x))^2 のテイラー展開は普通に微分係数を計算しても証明できるみたい
f(0) = 0
f'(x) = 2arcsin(x)/(1-x^2)^(1/2) より f'(0) = 0
f''(x) = 2(1/(1-x^2) + xarcsin(x)/(1-x^2)^(3/2)) より f''(0) = 2
ここで微分方程式
(1-x^2)f''(x) = xf'(x) + 2
が成り立つので、この両辺を n 階微分すると、
(1-x^2)f^(n+2)(x) = (2n+1)xf^(n+1)(x) + (n^2)*f^(n)(x) より
省15
983(2): 2020/08/28(金)09:44 ID:RJx6/e6A(1/4) AAS
>>979 より
b_0 = 0, b_1 = 1, b_{n+2} = -b_{n+1} - 2b_n,
ここで
b_n = (-√2)^n B_n, cosθ = 1/√8,
とおくと
B_0 = 0, B_1 = 1/(-√2),
B_{n+2} = 2cosθ･B_{n+1} - B_n,
これと sinθ の和積公式
sin((n+2)θ) = 2cosθ･sin((n+1)θ) - sin(nθ),
を比べて
省9
984: 2020/08/28(金)09:52 ID:sIUBKqp2(3/4) AAS
ついこの前も3項間漸化式をわざわざチェビシェフ多項式で解いてたレス見たわ
ところで偶然にも>>969のテイラー展開はチェビシェフ多項式を使った「チェビシェフ展開」と見れる説が浮上してる
985: 2020/08/28(金)11:47 ID:RJx6/e6A(2/4) AAS
>>983
β,γは特性方程式の因数 x^2 + 3x + 4 = 0 の根
これより漸化式
a_{n+2} = - 3a_{n+1} - 4a_n + 2^{n+2},
を得る。ここで
a_n = (2^n)(A_n + 2/7), cos(2θ) = -3/4,
とおくと
A_1 = 3/14, A_2 = -1/28, A_3 = -9/56,
A_{n+2} = 2cos(2θ)･A_{n+1} - A_n,
これと cos の和積公式
省6
986: 2020/08/28(金)12:06 ID:RJx6/e6A(3/4) AAS
>>976
2^n を (n+1)進法で表わしたもの。
外部ﾘﾝｸ:oeis.org
987(2): 2020/08/28(金)12:40 ID:Lqo6RwyU(2/2) AAS
線型回帰数列の一般項を求めるのに線型代数を使おうが母関数を使おうが自由ではあるが、
一般項を求めるだけでは解決しない問題にわざわざ複雑な方法を使う意味がわからない
別の方法で計算したところで全く役に立ってないし
988(1): 2020/08/28(金)13:38 ID:RJx6/e6A(4/4) AAS
>>968
盤を 1x1のマスの集まりと見て、■マスを b_0
2x2 ブロックの集まりと見たとき、■を含むブロックを b_1
4x4 ブロックの集まりと見たとき、■を含むブロックを b_2
････
2^n x 2^n ブロック全体、b_n
とする。
b_0 ⊂ b_1 ⊂ ････ ⊂ b_n
これらの差分は、辺長が2ベキであるn個のL字形である。辺長は
(1,2), (2,4),････, (2^{n-1},2^n)
省5
989(1): 2020/08/28(金)16:23 ID:2EjgpYll(1) AAS
n^2 + 1個の相異なる整数からなる数列には、長さn+1の増加部分列があるか、あるいは長さn+1の減少部分列があることを証明せよ。
990(1): 2020/08/28(金)16:31 ID:jXffUYs/(1/2) AAS
>>964 >>971
面白い問題ですね。
区画を 2*2 の4区画に分割していき、
切り分ける際に交点が1つあるのがミソですね。
これ、パーツを変更して
□□
ただの2マスの棒にしたら
成立しないんだよな。(面積が偶数になってしまうからスペースが残せない)
991: 2020/08/28(金)16:36 ID:sIUBKqp2(4/4) AAS
>>989
分からない問題スレの方に説明書くわ
992: 2020/08/28(金)16:54 ID:jXffUYs/(2/2) AAS
>>964
□□■…
□□□…
□□□…
…
サイズが a^n × b^n のチェス盤がある。
1つのマス目だけ取り除いた欠損チェス盤が
以下の部品で敷き詰められる
ようなチェス盤は存在するか？
□□□
省2
993: 2020/08/28(金)22:59 ID:y9rDl245(2/2) AAS
>>990
たりめーじゃん
994(1): 2020/08/29(土)03:30 ID:nEvr3uHf(1/3) AAS
>>964 の追加問題
■の位置が決まれば、L字形の敷き詰め方は >>988 に限るか？
頂点(i,j)については
○−△
｜ ｜
△ ○−△
｜ ｜
○−△−○
○ i+j=偶数
△ i+j=奇数
省4
995: 2020/08/29(土)03:50 ID:nEvr3uHf(2/3) AAS
>>983
U_0 = 1, U_1(x) = 2x, U_2(x) = (2x)^2 -1, U_3(x) = (2x)^3 - 2(2x), …
U_{n-1}(x) は 2x の整係数(n-1)次式。
∴ (√2)^{n-1} U_{n-1}(1/√8) は整数
996(1): 2020/08/29(土)03:51 ID:gICDV3If(1/2) AAS
>>994
>実数だけで解ける問題にわざわざ複素数を使う意味が分からぬ
そういうことはせめて一般項を具体的に書き下してから言ってね
何？ sin(nθ) って？
それに>>987は>>975の解決に一切役に立っていないことを批判しているわけだが
わからないのか？
997: 2020/08/29(土)06:16 ID:xlGB+YDQ(1) AAS
実数だけの問題を解くのに複素数を使うほうが楽な例はある
波動方程式とかね
そういうとき複素数を使うことに違和感はないけどな
998(1): 2020/08/29(土)10:28 ID:nEvr3uHf(3/3) AAS
>>996
cosθ = 1/√8,
すなわち
θ = arccos(1/√8) = (1/2)arccos(-3/4) = 1.2094292…
ですね。
よく見て「批判」しましょう。
999: 2020/08/29(土)12:17 ID:gICDV3If(2/2) AAS
>>998
閉じた式に書けないんですね
1000: 2020/08/29(土)13:06 ID:5wZMCkV+(1) AAS
後半へ〜続く！
面白い問題おしえて〜な 33問目
2chｽﾚ:math
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