[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレPart403 (1002ﾚｽ)
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906(3): 2020/03/22(日)20:48 ID:fYa2zo9P(1) AAS
>>867
　愛し合うのは良いことですが、スレチですね。

まづ
x^3 +y^3 +z^3 -3xyz
　= (x+y+z){(xx+yy+zz) - (xy+yz+zx)}
　= (x+y+z){(x-z)^2 + (y-z)^2 + (x-y)^2}／2
と因数分解し、次に
　x+y+z ≧ x+y-2z = 2{(x+y)/2 - z},
と
　(x-z)^2 + (y-z)^2 = 2{(x+y)/2 - z}^2 + (1/2)(x-y)^2,
省2

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907(1): 2020/03/23(月)00:18 ID:O5lTfF0I(1) AAS
4(x^3+y^3+z^3-3xyz)
=(x+y+z)(4x^2+4y^2+4z^2-4xy-4yz-4zx)
=(x+y+z)(x^2+y^2+4z^2+2xy-4yz-4zx+3x^3+3y^3-6xy)
=(x+y-2z+3z)((x+y-2z)^2+3(x-y)^2)
=(x+y-2z)^3+3(x+y-2z)(x-y)^2+3z((x+y-2z)^2+3(x-y)^2)

従って　x^3+y^3+z^3-3xyz-2((x+y)/2-z)^3=(3/4)((x+y+z)(x-y)^2+z((x+y-2z)^2))≧0
等号は　x-y=0　かつ　x+y-2z=0　つまり、x=y=z　の時

>>906　等号条件出せます？

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919: 2020/03/25(水)14:49 ID:HGxb7s8y(1) AAS
>>917
>> = (x+y+z){(x+y)/2 - z}^2 + (3/4)(x+y+z)(x-y)^2
>>　≧ (x+y-2z){(x+y)/2 - z}^2 + (3/4)(x+y+z)(x-y)^2　(← x+y-2z=0)
この変形ならok

しかし、>>906では
>> x+y+z ≧ x+y-2z = 2{(x+y)/2 - z}
と使われていた。こちらは間違い。
これでは、不等式が、 x+y+z ≧ x+y-2z　つまり、z ≧ -2z 由来となり、
等号がz=0(偽の条件式)の時、成立となる。

一方、上の式の両辺に、{(x+y)/2 - z}^2　がかけられた形
省3

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920: 2020/03/26(木)04:33 ID:zUlAmjt2(1) AAS
>>906
の式は
　x+y+z ＞ x+y-2z = 2{(x+y)/2 - z}
と訂正します。

ところで･･･
　? = (x-y)(y-z)(z-x),
とおくと
〔楠瀬の不等式〕
　x^3 +y^3 +z^3 -3xyz ≧ k･｜?｜,
　　k = √(9+6√3) = 4.403669475
省5

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