[過去ﾛｸﾞ] フェルマーの最終定理の簡単な証明4 (1002ﾚｽ)
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1(34): 日高 [kokaji222@yahoo.co.jp] 2019/12/20(金)15:51 ID:1mOJhAe/(1/11) AAS
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】pは奇数なのでx^p+y^p=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}と変形できる。
したがって、z^p×1=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}…(1)となる。
(1)の左辺の右側と右辺の右側は等しいので、1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}…(2)となる。
(2)の有理数解は、x=y=1のみである。z^p=(x+y)にx=1,y=1を代入する。
z^p=1+1=2となる。z^p=2を満たす有理数zはない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
2(9): 日高 2019/12/20(金)15:57 ID:1mOJhAe/(2/11) AAS
【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
【証明】p=2なので、z^2-y^2=(z+y)(z-y)と変形できる。
したがって、x^2×1=(z+y)(z-y)…(1)となる。
(1)の左辺の右側と、右辺の右側は等しいので、1=(z-y)…(2)となる。
(2)をx^2=(z+y)に代入すると、x^2=2y+1…(3)となる。
(3)のxに任意の有理数を代入すると、yは、有理数となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
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