[過去ﾛｸﾞ] フェルマーの最終定理の簡単な証明2 (1002ﾚｽ)
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828(3): 日高 2019/11/25(月)21:33 ID:GLgYCARi(17/17) AAS
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^p…�@を、z=x+rとおいて、x^p+y^p=(x+r)^p…�Aとする。
�Aを積の形に変形してrを求める。x,y,z,rは0を除く有理数と仮定する。
�Aを(x/r)^p+(y/r)^p=(x/r+1)^p, (y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+…+x/r},
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…➂とする。
➂はr^(p-1)=pとすると、r=p^{1/(p-1)}となるので、�AはX^p+Y^p=(X+p^{1/(p-1)})^p…➃となる。
rは無理数となるので、➃は仮定に反する。
➂の右辺に、a(1/a)を掛けるとr^(p-1){(y/r)^p-1}=pa{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…�Dとなる。a(1/a)=1となる。
r^(p-1)=p以外の場合は、r^(p-1)=paとなる。r=(pa)^{1/(p-1)}となるのでrは有理数となる。�AはX^p+Y^p=(X+(pa)^{1/(p-1)})^p…�Eとなる。
�EのX,Y,Zは�Cのx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となるので、X:Y:Z=x:y:zとなる。よって、�Eも仮定に反する。
省1

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829: 2019/11/25(月)21:47 ID:qquH/EjC(3/3) AAS
>>828
> x,y,z,rは0を除く有理数と仮定する。
この仮定はその先の証明のどこで使われているのですか？

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832(1): 2019/11/25(月)22:47 ID:xvK62Wtt(1) AAS
皆さんもご存じの通り、方程式 x^3+19y^3=z^3 は、(x,y,z)=(2,1,3) という立派な自然数解を持つ。
この方程式も、>>828 のやり方を使うと、自然数解がないことになってしまう。
不思議だね。実に不思議だ。

【定理】pが奇素数のとき、x^p+19y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+19y^p=z^p…�@を、z=x+rとおいて、x^p+19y^p=(x+r)^p…�Aとする。
�Aを積の形に変形してrを求める。x,y,z,rは0を除く有理数と仮定する。
�Aを(x/r)^p+19(y/r)^p=(x/r+1)^p, 19(y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+…+x/r},
r^(p-1){19(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…➂とする。
➂はr^(p-1)=pとすると、r=p^{1/(p-1)}となるので、�AはX^p+19Y^p=(X+p^{1/(p-1)})^p…➃となる。
rは無理数となるので、➃は仮定に反する。
省4

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839: 日高 2019/11/26(火)07:58 ID:rKDBhwFV(4/26) AAS
>皆さんもご存じの通り、方程式 x^3+19y^3=z^3 は、(x,y,z)=(2,1,3) という立派な自然数解を持つ。
この方程式も、>>828 のやり方を使うと、自然数解がないことになってしまう。
不思議だね。実に不思議だ。

方程式 x^3+19y^3=z^3 は、{19(y/r)^p-1}となるので、19(y/r)^pの部分が異なります。

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