現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77

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739: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/09(水) 07:26:53.48 ID:2o5RsZjT

>>738
>このスレッドは
>「現代数学　情報収集スレ」
>とでも改名したほうがいいｗ

テンプレ>>1より
＞スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
とある

テンプレ>>5より、下記
スレ68 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560374890/10-
10 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/06/13(木) 06:35:46.84 ID:tNmlg93R [10/62]
大学新入生もいると思うが、間違っても５ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
もう半分は、ここはおれのメモ帳だ （ここには、自分が面白いと思った情報を集めてあるんだ。過去ログ見ると、いろいろ面白い情報（リンクやPDF があるよ（＾＾ ）
（ もしサイト移動などでリンク切れのときは、引用してある文章のキーワードによる検索をお願いします ）

以下過去スレより再掲
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/7
7 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/19(水) 22:07:49.66 ID:gLi5Ebjw
まあ、過去何年かにわたって、猫さん、別名、￥ ◆2VB8wsVUooさんが、数学板を焼いていたからね
ガロアスレは別として、数学板は焼け跡かな

再生は無理だろう
そもそも、５ＣＨ（旧２ＣＨ）は、数学に向かない

アスキー字に制限され、本格的な数学記号が使えない
複数行に渡る記法ができない

複数行に渡る矢印や、図が描けない（ＡＡ（アスキーアート）で数学はできない）
大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/739

740: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/09(水) 07:28:41.97 ID:2o5RsZjT

スレ68 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560374890/11-
個人的には、下記類似” 先生＞周りの人＞知恵袋の人>>> ５ＣＨ（旧２ＣＨ）の人”と思う（＾＾

http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/494
前にも紹介したが、新入生もいるだろうから、下記再掲しておく。なお、信用できないに、私スレ主も含めること。定義から当然の帰結だが（＾＾；
https://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n98014
Yahoo 知恵袋
数学の勉強法　学部〜修士
ライター：amane_ruriさん 最終更新日時:2012/8/6
(抜粋)
私は修士1年生ですので、正直に言いますとこの部分はあまり書いているのが正しいとは思えません。趣味で書いているものだと認識していただければ良いのではないかと思っております。
大学3、4年に入ってまず怖いのが数学の本の氾濫でしょう。まず何を読んで何をすればいいのか分からなくなります。
そして、自分のやっていることがいかにちっぽけな存在なのかというのを実感させられます。（多分皆がそうでしょう。）そして、結果が問われてきます。
ここで、数学科は「入るのは易しいけどプロになるのは難しい」ということが実感させられてきます。
2012年8月3日現在、書泉グランデで有名数学者の薦める本がありました。森重文先生を初めとして本の多さに圧倒されました。（足立恒雄先生は信頼と安心のブレなさ）

2. 2ｃｈ*)の内容は信用できるか？
基本的に信用できません。先生＞周りの人＞＞＞ 2ｃｈ*)や知恵袋の人です。何故かというといつも同じことしか言っていないから。多分きちんと検証していないで想像で議論しているだけではないのかと私は思っています。
（まあ、自分もあんまり信用できないけど）
数学をする場合は、問題が解けることも重要なのですが問題設定を作ることが大切です。そういう時に、どういう風に学んできたのかとか、正確な知識がどういう部分でどれだけ持っているのか、調和性や、生まれて来た環境っていうのが重要になってきます。
ただ、それがどうも2ｃｈ*)の人は見られない（し、そもそも偉そうなことを言っている人が本当にできるかどうか分からない。）。こういう類のものは勉強不足ですとか、分かっていませんでしたで済まされるものではないと個人的には思うのですが。
(引用終り) (注*)：2ｃｈは、現5ｃｈ)

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/740

741: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/09(水) 07:30:00.28 ID:2o5RsZjT

>>740 つづき

スレ68 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560374890/12-
12 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/06/13(木) 06:36:37.80 ID:tNmlg93R [12/62]
過去スレより
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/338
338 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/09(日) 23:46:26.46 ID:Rh9CzQs6
スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です

じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます

が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし

”証明”とかいうらしいですね、数学では
その”証明”がしばしば、間違っていることがあるとか、うんぬんとか

有名な話で、有限単純群の分類
”出来た！”と宣言した大先生が居て、みんな信用していたら、何年も後になって、”実は証明に大穴が空いていた”とか

おいおい、競馬じゃないんだよ（＾＾；

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4
単純群
1981年にモンスター群が構成されてからすぐに、群論の研究者たちがすべての有限単純群を分類したという、合計10,000ページにも及ぶ証明が作られ、1983年にダニエル・ゴレンスタインが勝利を宣言した。
これは時期尚早だった、というのはいくつかのギャップが、特に準薄群（英語版）の分類野中で発見されたからである。このギャップは2004年に1300ページに及ぶ準薄群の分類によって埋められており、これは現在は完璧であると一般に受け入れられている。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/741

755: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/09(水) 11:15:54.73 ID:nHmzRvjt

>>718
>正規部分群の手前の変換σ-1・Ｈ・σ自身の理解が不正確でした
>みなさんに、教えて頂きました
>ありがとう（＾＾

変換σ-1・Ｈ・σは、共役変換というんだけど（＾＾
下記の共役類wikipediaに詳しい
（（編集されて変わることがあるので）スナップショットとして抜粋コピペするけど文字化けご容赦。原文リンク見た方が良いだろう）
元で書くと、σ-1・ｈ・σだけど、積演算（・）が可換（アーベル）だと、
σ-1・ｈ・σ＝σ-1・σ・ｈ＝ｈなので
高校数学の範囲では可換ばかりだから、”何が、そんなにうれしいのか！？”となるのよｗ（＾＾
大学数学で非可換を勉強すると分かる。群論を、これからやる人、いまやっている人は、”共役”を理解しておくといい

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%B9%E9%A1%9E
共役類
(抜粋)
とくに群論において、任意の群は共役類（きょうやくるい、英: conjugacy class）に分割できる。同じ共役類の元は多くの性質を共有し、非アーベル群の共役類の研究はそれらの構造のたくさんの重要な特徴を明らかにする[1][2][要ページ番号]。

定義
G を群とする。G の2つの元 a と b が共役 (きょうやく、conjugate) であるとは、G の元 g が存在して

b = g^-1ag
を満たすことである[注釈 1]。ここで元 g^-1ag を ag のように表すこともある[3]。

共役性は同値関係であり、したがって G を同値類に分割する[注釈 2]ことが直ちに示せる。G の元 a を含む同値類

aG = { ag | g ∈ G }
は a の共役類 (conjugacy class) と呼ばれる[4]。群 G の共役類が C1, …, Ch であるとき数 k(G) := h を類数[訳語疑問点] (class number) と呼ぶ[4]。

一般に、対称群 Sn の共役類の数は n の分割の数に等しい。これは各共役類が、 {1, 2, ..., n} の元の並び替えを除いて、{1, 2, ..., n} のちょうど 1 つの分割を巡回置換（英語版）の集まりと見做したものに対応するからである。

立方体の（自明でない）回転（英語版）は、（面ではなく立体としての）対角線に関する置換として特徴づけることができるが、これも共役変換として記述することができる。

ユークリッドの運動群はユークリッド空間における対称性の共軛変換（英語版）によって調べられる。

つづく

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/755

758: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/09(水) 11:17:21.83 ID:nHmzRvjt

>>757
つづき

応用例
非自明な有限 p-群 P（つまり位数 pn の群、ただし p は素数で n > 0）を考えよう。類等式を使うと

「すべての非自明な有限 p-群は非自明な中心をもつ」
ことが証明できる[9]。

証明：P の任意の共役類の元の数は P の位数を割らなければならない。よって中心に含まれていない各共役類 Ci の元の数もまたあるベキ pki（ただし 0 < ki < n）であることが従う。すると類等式から pn = |P| = |Z(P)| + ?i pki となる。ゆえに p は |Z(P)| も割らなければならず、したがって |Z(P)| > 1 であることがわかる。

共役集合と共役部分群
群 G の部分集合 S （S は部分群である必要はない）と g ∈ G に対して

Sg = g^-1Sg = { g^-1sg | s ∈ S }
を S の g による共役集合という[10]。SG を部分集合 S の群 G における共役集合からなる集合とする。 次の定理はよく使われる。 G の部分集合 S が与えられたとき、SG の元の数は G における S の正規化群 NG(S) の指数に等しい[4]：

|SG| = [G : NG(S)].
これは G の元 g と h に対して Sg = Sh であることと gh^-1 が NG(S) の元であること??つまり g と h が NG(S) を法として等しいこと??の同値性から従う。

この公式は共役類の元の数に対する前に与えられたものを一般化することに注意しよう（S = {a} とせよ）。

上記は G の部分群について話すときに特に有用である。部分群のなす集合は共役部分群へ分割できる。共役部分群は同型であるが、同型な部分群が共役であるとは限らない。たとえば、アーベル群は同型な 2 つの異なる部分群をもつかもしれないが、それらは決して共役でない。
一方でシロー部分群は互いに共役である（シローの定理）。また、部分群 H がそのすべての共役部分群と一致することは部分群は正規部分群であることに他ならない。

つづく

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/758

761: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/09(水) 13:25:04.58 ID:nHmzRvjt

メモ

https://www.nikkei.com/article/DGXMZO40853860U9A200C1X20000/
プリファード・ネットワークス 深層学習の応用容易に
日経優秀製品・サービス賞
2019/2/4 13:30

リサーチャー 得居誠也氏

「なんか使いにくいよね」。深層学習のフレームワーク「Chainer（チェイナー）」を開発したきっかけは、会社で同僚と交わした何気ない雑談だった。2015年、当時27歳だった。

フレームワークは、深層学習のプログラムを書くのに利用する。チェイナーを開発するまで一般的だったものは、自然言語処理では使いにくかった。同僚との雑談で浮かんだヒントを基に、休みを活用して開発に着手。幸いにもバグなど落とし穴がなく、基礎となる部分のコードを書き上げるまでは10日ほど。

チェイナーの名前は、プログラムを書くとデータが鎖状につながるため、岡野原大輔副社長のアイデアでつけられた。

1カ月後の15年6月に「チェイナー」として発表し、誰でも使えるソフトウエアとして公開した。チェイナーの利用者が増えるとともに、利用者がよりよく改良してくれる流れができればと考えた。グーグルやフェイスブックなど、米国のネット大手より先んじたことで、PFNが持つ技術力などを認知してもらえるきっかけにもなった。

チェイナーはAIのシステム開発でよく使われている「パイソン」というプログラミング言語の力を最大限に活用した。プログラミングが得意な人ばかりではなく、数学や統計学を学んできた人もいる。プログラミングに不慣れでもパイソンさえ理解していれば、深層学習のプログラムを書けるようにすることで、アイデアを落とし込みやすく、研究を早く進められるようにした。

15年の公開以降、日本だけでなく海外も含めて、多くのエンジニアがチェイナーを使ってくれていることに感謝している。先日、インドにいる大学生から質問のメールが送られてきて、遠く離れた国の人も愛用してくれているのが、うれしかった。

今、取り組んでいるのは高速化だ。深層学習の研究で扱うデータの規模が大きくなっているほか、画像処理半導体（GPU）などハードウエアの性能の進化も著しい。どれだけ大規模で高速に学習できるかが問われるようになっている。他のフレームワークの先を行くよう改良に全力をそそいでいる。

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/761

766: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/09(水) 21:30:57.78 ID:2o5RsZjT

吉野彰さん、ノーベル賞おめでとう（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%89%E9%87%8E%E5%BD%B0
吉野彰
(抜粋)
吉野 彰（よしの あきら、1948年（昭和23年）1月30日[1] - ）は、電気化学を専門とする日本のエンジニア、研究者。大阪大学博士（工学）、旭化成名誉フェロー。
携帯電話やパソコンなどに用いられるリチウムイオン二次電池の発明者の一人。
エイ・ティーバッテリー技術開発担当部長、旭化成 イオン二次電池事業推進室・室長、同 吉野研究室・室長、リチウムイオン電池材料評価研究センター・理事長、名城大学大学院理工学研究科・教授などを歴任。2019年にノーベル化学賞受賞[5]。

略歴
1960年 - 吹田市立千里第二小学校卒業
1963年 - 吹田市立第一中学校卒業
1966年 - 大阪府立北野高等学校卒業
1970年 - 京都大学工学部石油化学科卒業
1972年 - 京都大学大学院工学研究科石油化学専攻修士課程修了
1972年 - 旭化成工業株式会社（現旭化成株式会社）入社
1994年 - （株）エイ・ティーバッテリー技術開発担当部長
1997年 - 旭化成（株）イオン二次電池事業推進室 室長
2003年 - 旭化成フェロー就任
2005年 - 論文博士にて大阪大学で博士（工学）の学位取得
2005年 - 旭化成（株）吉野研究室 室長
2017年 - 名城大学大学院理工学研究科 教授
2019年10月 - ノーベル化学賞受賞が決定

リチウムイオン電池の開発
吉野が次の点に着目したことによりLIB（リチウムイオン・バッテリー）が誕生した

正極にLiCoO2を用いることで、
正極自体がリチウムを含有するため、負極に金属リチウムを用いる必要がないので安全である
4V級の高い電位を持ち、そのため高容量が得られる
負極に炭素材料を用いることで、
炭素材料がリチウムを吸蔵するため、金属リチウムが電池中に存在しないので本質的に安全である
リチウムの吸蔵量が多く高容量が得られる
また、特定の結晶構造を持つ炭素材料を見いだし[10]、実用的な炭素負極を実現した
1986年、LIBのプロトタイプが試験生産され、米国DOT（運輸省、Department of Transportation）の「金属リチウム電池とは異なる」との認定を受け、プリマーケッティングが開始された
1991年、リチウムイオン二次電池 (LIB) は吉野の勤務する旭化成とソニーなどにより実用化された

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/766

768: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/09(水) 22:24:15.43 ID:2o5RsZjT

>>765
>これ、なんで部分群の列じゃダメなの？

それは、”ガロア対応”って話なんだけど、その前に、もう少し、
共役変換σ-1・Ｈ・σを語ると

・一応、話を有限群論に限って
　HがGの部分群として、σはH以外の元とする
　σ-1・Ｈ・σは、また、群になるのです
・(略証)
　１）単位元の存在、単位元e∈Hに対し、
　　σ-1・e・σ＝σ-1・σ＝e∈σ-1・Ｈ・σ
　２）逆元の存在、元h∈Hに対し、逆元が存在してh^-1∈Hなので
　　(σ-1・h・σ)・(σ-1・h^-1・σ)＝　(σ-1・h)・(σ・σ-1)・(h^-1・σ)＝(σ-1・h)・(h^-1・σ)＝e
　　なので、逆元の存在σ-1・h^-1・σ∈σ-1・Ｈ・σ
　　が示された
・ガロアが、シュバリエへの手紙で、「固有分解」などと書いているが
　正規部分群N では、σ-1・N・σ＝N （これは定義でもある）
　(略証)
　例えば、二つの元 n1,n2∈Nとして
　(σ-1・n1・σ)・(σ-1・n2・σ)＝(σ-1・n1)・(σ・σ-1)・(n2・σ)＝σ-1・(n1・n2)・σ
　ここで、e＝σ・σ-1を真ん中に挟むと
　σ-1・(n1・n2)・σ＝σ-1・(n1・σ・σ-1・n2)・σ＝(σ-1・n1・σ)・(σ-1・n2・σ)
　ここで、σ-1・N・σ＝Nだったから、σ-1・n1・σ＝n1'∈N、σ-1・n2・σ＝n2'∈N なる、元n1'、n2'がN中に存在する
　なので、(σ-1・n1・σ)・(σ-1・n2・σ)＝n1'・n2'∈N が、定義「σ-1・N・σ＝N」から導かれるのです
・σ-1・N・σ＝N→左からσを作用させると σ・σ-1・N・σ＝σ・N→”N・σ＝σ・N”が成立します
・これが、共役変換σ-1・Ｈ・σの意味です

（参考）
https://plaza.rakuten.co.jp/azabird/diary/201001130000/
2010.01.13 オーギュスト・シュバリエへの手紙(ガロアによる）バード6787さん
(抜粋)
　Ｇの夢より http://galois.motion.ne.jp/index.html

Ａ「２００年前の手紙にも、説明が書いてある。こんな風に。

群Ｇが群Ｈを含むとき、群Ｇは
　　Ｇ = H + HS + HS' + ･･･
と、Ｈの順列に同じ置換を掛けて作られる組へと分解されるし、また
　　Ｇ = H + TH + T'H + ･･･
と、同じ置換にＨの順列を掛けて作られる組へとも分解される。
　この２通りの分解は、通常は、一致しない。一致するときが、固有分解と呼ばれるものだ。

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/768

773: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/10(木) 10:32:57.70 ID:K6AlmfoH

>>772
まあ、そう慌てないで

種本でもないけど、お薦めは、下記「矢ヶ部　巌：数?方式　ガロアの理論」
これ分かり易かった。大学教程のガロア理論を学んだ人なら、一日で読めるでしょう

あと、PDFでネットに落ちているのが、下記「ガロア第一論文（galois-1.pdf）渡部 一己 著」PDF
ここから、引用させてもらおうと思います

紙の本は、書棚に沢山あるけど、マウス選択からコピペができないんだな
ネットに上がっている文書がコピペには楽です

本なら、アルティンとか、Coxとかもあるけどね（＾＾

http://www.ne.jp/asahi/music/marinkyo/matematiko/suusan.html.ja
矢ヶ部　巌：数?方式　ガロアの理論 まりんきょ学問所 数学の部屋 MARUYAMA Satosi 最終更新日：2019-08-23

概要
３人の対話により、ガロアの理論を紹介している。副題は「アイデアの変遷を追って」

感想
初版は 1976 年、第 9 刷は 2002 年に出ている。その後入手困難となっていたが、 2016 年に新装版が出た。
(引用終り)

https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む 渡部 一己 著（2018.1.28）

https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf
ガロア第一論文（galois-1.pdf）渡部 一己 著（2018.1.28）

紹　介
　ガロア（1811-1832）の「第一論文」とは方程式が累乗根で解けるための条件を求めたもので，ガロアが残した論文の中でも一番まとまりのある論文である．
　５次以上の一般方程式が代数的に解けないということは，1826年にアーベルが証明した．一旦このことが明らかにされると，解ける方程式と解けない方程式の違いは一体何なのか，それが気になってくる．
それを明らかにしたのが，ガロアの「第一論文」である．
ガロアは二十歳という若さで早世した大数学者だが，彼がどのようにしてそれを発見したのか．
もちろん方程式が解ける理由は知りたいが，やはりガロアがどのようにして彼の理論を発見したのか，それが知りたかった．

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/773

783: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/11(金) 07:51:47.75 ID:aKfhohl9

>>782
つづき

7. 解の置換(ガロア群)
「5次方程式に解の公式がないこと」と「円周等分方程式がべき根で解けること」の証明はどちらも、方程式がどんな解の置換を持っているかということが重要だった。
そこでより一般的にどんな方程式にも通用する形で解の置換を定義したい。歴史的には次の2つのやり方がある。
・単拡大(単純拡大)性にうったえて、原始元とその最小多項式を使って定義する(ガロア)。
・体の自己同型写像として定義(デデキント)。
このうちデデキントのものの方が簡潔だしたぶん判りやすい。ただし「方程式が解けるかどうか」という視点から見ると、解が判らない状態でどうやってその写像を求めていいのかサッパリ判らないところが気持ち悪いかもしれない。

8. 原始元の最小多項式と基本定理の証明

さらに、もしも次の2つの性質

1)g(x)は重解を持たない。
2)vをどの解vkに置換することも可能である(別に言い方をすると、全てのvkがvの有理式で書ける。体の言葉でいうと、どのvkももとの体に入っている)。ガロアの定義ではこれが成り立っている場合だけを扱っている。
が成り立っている場合は
群について: 解の置換の総数(群の位数) = g(x)の次数
となる。

おおざっぱに言えば、1が成り立つのを分離拡大、2が成り立つのを正規拡大、1+2をガロア拡大と呼ぶ。なのでガロア拡大の場合は、
・体の拡大次数 = 群の位数
が成り立つ。
ガロア理論の基本定理は一言で言えば
ガロア拡大では、体(拡大体の中間体)と群(ガロア群の部分群)が1対1に対応する
というもので、それはこの「ガロア拡大では、体の拡大次数=群の位数」を使って証明される。ちゃんと証明するにはいろいろ細かな補足が必要になるけど。
(基本定理における体と群の対応というのは、もう少し詳しくは
・体 → 体のどの元(数)も動かさない置換の集まり(群)
・群 → 群のどの元(置換)でも動かない数の集まり(体)
がちょうど逆の関係になるというもの。
またアルティンの線形代数的な証明では、拡大次数と写像の個数の関係を、単拡大性や多項式の話を使わずに導く)

つづく

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/783

785: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/11(金) 08:17:28.47 ID:aKfhohl9

>>781
下記、8.4 有理式と置換の
”系 8.21. f, φ を n 変数有理式とする．f を変えない Sn の置換全体を G とする：
G = {σ ∈ Sn | σf = f}. G の置換を φ に作用させて得られる異なる式全体を
φ = φ1, φ2, . . . , φl とする．このとき，φ1, φ2, . . . , φl の対称式は f の有理式に表わさ
れる．”
が基本になるのだが、詳しく説明されない場合が多い
矢ヶ部本や倉田本には、詳しい（＾＾

（参考）
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/
数学第4研究室 N. Yamauchi, Dept. of Math. 岐阜聖徳学園大学
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3digchap8add.pdf
8.4 有理式と置換
(抜粋)
8.4.3 有理式の有理式
定理 8.20. 2 個の有理式 f(x1, . . . , xn), φ(x1, . . . , xn) について，f を変えない Sn の置
換は φ も変えないとする．
(σf) = f ⇒ σφ = φ.
このとき，φ は f の有理式に表わされる．

系 8.21. f, φ を n 変数有理式とする．f を変えない Sn の置換全体を G とする：
G = {σ ∈ Sn | σf = f}. G の置換を φ に作用させて得られる異なる式全体を
φ = φ1, φ2, . . . , φl とする．このとき，φ1, φ2, . . . , φl の対称式は f の有理式に表わさ
れる．

（追加参考）
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig08.pdf
第 8 章 置換の群
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3digchap9.pdf
第 9 章 根の有理式
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig05.pdf
第 5 章 数体
5.3 方程式と体
5.3.5 べき根による解法
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig04.pdf
第 4 章 4 次方程式
http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig0-2.pdf
代数学 III 2017
目次
(抜粋)
5 次方程式には「解の公式」が存在しないことが証明され，次いでガロア. （Evariste Galois, 1811-1832）が一般次数の方程式について解の公式が存在するための条. 件を求めることに成功した．
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/785

787: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/12(土) 10:38:55.78 ID:0oc9Ztsl

>>786
追加 正二十面体関連

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E4%BA%8C%E5%8D%81%E9%9D%A2%E4%BD%93
正二十面体
https://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry
Icosahedral symmetry

http://hooktail.sub.jp/algebra/PolyhedronGroup2/
物理のかぎしっぽ 著者 : Joh , 初版 : 2006-04-23, 最終更新 : 2006-04-23
正多面体群２
正十二面体と正二十面体
補
正十二面体が 5 次の交代群に対応することは，当初面倒なので結果しか示さなかったのですが，要望があったのでここに補足します．

https://kiu.repo.nii.ac.jp/?action=repository_action_common_download&item_id=334&item_no=1&attribute_id=18&file_no=1
[PDF] 正20面体群の構造(石田秀美教授退職記念号) 北川正一 著 九州国際大学 雑誌名教養研究  2010-03

https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/
Yuji Tachikawa  Professor, Kavli IPMU, University of Tokyo.
https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/japanese-articles.html
日本語による解説記事
https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/transp/nadanotes.pdf
群と対称性の話 立川裕二 2014 年 10 月 18 日
（出身高校で選択制土曜講座で話せと言われたので準備した。）
1 正多面体の対称性
まず、おしまいのページの展開図を切り取って、正四面体、正八面体、正二十面体をつくっておくこと。

https://glim-re.repo.nii.ac.jp/
GLIM-IR 学習院学術成果リポジトリ
https://glim-re.repo.nii.ac.jp/?action=repository_uri&item_id=1279&file_id=22&file_no=1
解の公式と正多面体群 益子雅文 学習院高等科紀要,(5),35-47 (2007-07-20)
(抜粋)
四次以下の方程式は，係数から出発し，それらに四則演算とべキ根をとる算法（n√）
とを行って，解をすべて表わすことができる（解の公式）．この小論では，まず方程式の
ガロア群である対称群Snを正多面体群によって視覚化し，それを用いて四次以下の方程
式の解をベキ根で表わす過程を示し，さらに五次方程式の解の公式が一般には存在しないことをみてみようと思う．

つづく

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/787

805: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/14(月) 12:02:11.79 ID:w6tqRMw5

>>802
> ５次以上の代数方程式の根はよっぽど幸運でもない限り

いやね
５次の代数方程式のガロア群が、正20面体群になるんだけど（下記）
正20面体群がいまいち、すっきりしたイメージが湧かないので
（証明では、位数60の単純群までしか分解できないのは、長さ3と5の置換の組合わせで位数60になるというのだけれど・・）
下記の「正20面体と5次方程式　（シュプリンガー数学クラシックス）」も、買って読みましたよ
あとまあ、いろいろ調べたりして、なんとなく分かった気になったよ（＾＾

なお、５次の代数方程式が代数的に解けるのは、方程式のガロア群が
彌永先生の本や倉田本では、線形群と書いていたけど、位数20の群になるとき
まあ、下記の「PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著 -修士論文 ?2003」に詳しい

（参考）
https://books.rakuten.co.jp/rb/9570192/
楽天ブックス
正20面体と5次方程式　（シュプリンガー数学クラシックス）
フェリックス・クライン
発売日： 1997年04月
著者／編集： フェリックス・クライン, 関口次郎
出版社： シュプリンガー・ジャパン
発行形態： 単行本
ページ数： 317p

http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf
PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著 -修士論文 ?2003

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E4%BA%8C%E5%8D%81%E9%9D%A2%E4%BD%93
正二十面体
(抜粋)
正二十面体の回転対称群（英語版）は5文字の交代群  A_{5} に同型である。位数は60。
この非可換単純群は5文字の対称群  S_{5} の唯一の非自明な正規部分群である。
一般の五次方程式のガロア群は5文字の対称群に同型であり、そしてこの正規部分群が単純で非可換なので、一般の五次方程式は冪根による解を有しない。
アーベル‐ルフィニの定理の証明はこの単純な事実を用いる。
そしてフェリックス・クラインは正二十面体的対称性（英語版）の理論を利用して一般の五次方程式の解析的解法を導く本を書いた (Klein 1888)。
詳しい歴史ならびに関係する7文字と11文字の対称性については正二十面体的対称性#関連する幾何学的性質（英語版）を見よ。

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/805

807: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/14(月) 12:09:43.04 ID:w6tqRMw5

>>805
>詳しい歴史ならびに関係する7文字と11文字の対称性については正二十面体的対称性#関連する幾何学的性質（英語版）を見よ。

下記（”Klein's investigations continued with his discovery of order 7 and order 11 symmetries”）だね
https://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry#related_geometries
Icosahedral symmetry
(抜粋)
A regular icosahedron has 60 rotational (or orientation-preserving) symmetries, and a symmetry order of 120 including transformations that combine a reflection and a rotation.
A regular dodecahedron has the same set of symmetries, since it is the dual of the icosahedron.

The set of orientation-preserving symmetries forms a group referred to as A5 (the alternating group on 5 letters), and the full symmetry group (including reflections) is the product A5 × Z2.
The latter group is also known as the Coxeter group H3, and is also represented by Coxeter notation, [5,3] and Coxeter diagram CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Related geometries

Klein's investigations continued with his discovery of order 7 and order 11 symmetries in (Klein & 1878/79b) and (Klein 1879) (and associated coverings of degree 7 and 11)
and dessins d'enfants, the first yielding the Klein quartic, whose associated geometry has a tiling by 24 heptagons (with a cusp at the center of each).

Similar geometries occur for PSL(2,n) and more general groups for other modular curves.

http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1568026331/807

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